बहुपदी

ज्या बैजिक राशींमध्ये चलांचे घातांक पूर्ण संख्या (म्हणजे 0, 1, 2, 3...) असतात, त्या राशीला बहुपदी (Polynomial) असे म्हणतात.

• उदाहरणे:
• p^3 - (1/2)p^2 + p
• m^2 + 2n^3 - 3m^5
• 6 (येथे 6 = 6x^0 असल्याने घातांक 0 आहे, जी पूर्ण संख्या आहे.)

• बहुपदी नसलेल्या राशी:
• y + 5 (येथे y^(1/2) + 5 मध्ये y चा घातांक 1/2 आहे, जी पूर्ण संख्या नाही.)
• 1/y - 3 (येथे y^(-1) - 3 मध्ये y चा घातांक -1 आहे, जी पूर्ण संख्या नाही.)

• स्थिर बहुपदी (Constant polynomial):
• 6, -7, 1/2, 0, √3 यांसारख्या स्थिर संख्यांना स्थिर बहुपदी म्हणतात.
• शून्येतर स्थिर बहुपदीची कोटी नेहमी 0 असते.
• शून्य बहुपदीची कोटी निश्चित करता येत नाही.

• बहुपदीचे प्रकार (पदांच्या संख्येनुसार):
• एकपदी (Monomial): ज्या बहुपदीमध्ये फक्त एक पद असते. उदा. 2x, 5, -3y^2
• द्विपदी (Binomial): ज्या बहुपदीमध्ये दोन पदे असतात. उदा. x^4 + x, m^2 - 3m, 2y + 7
• त्रिपदी (Trinomial): ज्या बहुपदीमध्ये तीन पदे असतात. उदा. (1/2)y^2 - 2y + 5, x^3 - √3x^2 + 5x

• महत्वाचे मुद्दे:
• प्रत्येक बैजिक राशी ही बहुपदी नसते, कारण बहुपदीसाठी चलाचे घातांक पूर्ण संख्या असणे आवश्यक आहे.
• प्रत्येक बहुपदी ही बैजिक राशी असते, कारण बहुपदी हे बैजिक राशीचेच एक विशिष्ट रूप आहे.

• बहुपदी दर्शवण्याची पद्धत:
• एका चलातील बहुपदी तिच्यातील चलानुसार p(x), q(m), r(y) अशा प्रकारे दर्शवतात.
• उदा. p(x) = x^3 + 2x^2 + 5x - 3

• एका चलातील बहुपदीची कोटी (Degree of a polynomial in one variable):
• एका चलातील बहुपदीमध्ये, चलाच्या सर्वांत मोठ्या घातांकास त्या बहुपदीची कोटी म्हणतात.
• उदा. 2x^7 - 5x + 9 या बहुपदीची कोटी 7 आहे.
• 10 या स्थिर बहुपदीची कोटी 0 आहे (10 = 10x^0).
• शून्येतर स्थिर बहुपदीची कोटी 0 असते.
• शून्य बहुपदीची कोटी निश्चित करता येत नाही.

• एकापेक्षा अधिक चलांतील बहुपदीची कोटी (Degree of a polynomial in more than one variable):
• बहुपदीमधील प्रत्येक पदामधील चलांच्या घातांकांची बेरीज करतात.
• या बेरजांपैकी जी बेरीज सर्वाधिक असते, त्या बेरजेस त्या बहुपदीची कोटी म्हणतात.
• उदा. 3m^3n^6 + 7m^2n^3 - mn ही दोन चलांतील बहुपदी आहे.
• पहिल्या पदातील घातांकांची बेरीज: 3 + 6 = 9
• दुसऱ्या पदातील घातांकांची बेरीज: 2 + 3 = 5
• तिसऱ्या पदातील घातांकांची बेरीज: 1 + 1 = 2
• सर्वाधिक बेरीज 9 असल्याने, या बहुपदीची कोटी 9 आहे.

• कोटीनुसार बहुपदीचे प्रकार:
• रेषीय बहुपदी (Linear polynomial): ज्या बहुपदीची कोटी 1 असते. सामान्यरूप ax + b, जेथे a ≠ 0.
• उदा. 3x - 1, 7y
• वर्ग बहुपदी (Quadratic polynomial): ज्या बहुपदीची कोटी 2 असते. सामान्यरूप ax^2 + bx + c, जेथे a ≠ 0.
• उदा. 2y^2 + y + 1, -3x^2
• घन बहुपदी (Cubic polynomial): ज्या बहुपदीची कोटी 3 असते. सामान्यरूप ax^3 + bx^2 + cx + d, जेथे a ≠ 0.
• उदा. x^3 + x^2 + 2x + √3, m - m^3

• सामान्य बहुपदीचे रूप: a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_2x^2 + a_1x + a_0 ही x या चलातील कोटी n असलेली बहुपदी आहे. येथे a_n, a_{n-1}, ..., a_0 हे सहगुणक असून a_n ≠ 0.

• प्रमाणरूप (Standard form):
• बहुपदीतील चलाच्या घातांकांच्या उतरत्या क्रमाने पदे लिहिणे म्हणजे बहुपदीचे प्रमाणरूप होय.
• उदा. p(x) = x - 3x^2 + 5 + x^4 चे प्रमाणरूप x^4 - 3x^2 + x + 5 असे आहे.

• घातांक रूप (Index form):
• प्रमाणरूपात लिहिताना, जर एखादे घातांकाचे पद अनुपस्थित असेल, तर ते पद शून्य सहगुणक घेऊन समाविष्ट करणे. हे रूप म्हणजे घातांक रूप होय.
• उदा. x^4 - 3x^2 + x + 5 मध्ये x^3 चे पद नाही. ते 0x^3 असे घेऊन x^4 + 0x^3 - 3x^2 + x + 5 असे लिहिता येते. हे घातांक रूप आहे.

• सहगुणक रूप (Coefficient form):
• घातांक रूपातील बहुपदीमधील चलाचा उल्लेख न करता, फक्त तिच्या पदांचे सहगुणक क्रमाने कंसात लिहिणे म्हणजे सहगुणक रूप होय.
• सहगुणक लिहिताना, सर्वात मोठ्या घातांकाच्या पदापासून सुरुवात करून सर्वात लहान घातांकाच्या पदापर्यंत (स्थिर पद) क्रमाने सहगुणक लिहितात.
• उदा. x^3 - 3x^2 + 0x - 8 या बहुपदीचे सहगुणक रूप (1, -3, 0, -8) आहे.
• सहगुणक रूपावरून घातांक रूप: (4, 0, -5, 0, 1) हे सहगुणक रूप y हे चल वापरून 4y^4 + 0y^3 - 5y^2 + 0y + 1 म्हणजेच 4y^4 - 5y^2 + 1 असे लिहिता येते.
• येथे सहगुणकांची संख्या n+1 (येथे 5) असल्यास, बहुपदीची कोटी n (येथे 4) असते.

• रूपांतरणाची उदाहरणे:
• उदा. 1: p(m) = 3m^5 - 7m + 5m^3 + 2
• प्रमाणरूप: 3m^5 + 5m^3 - 7m + 2
• घातांक रूप: 3m^5 + 0m^4 + 5m^3 + 0m^2 - 7m + 2
• सहगुणक रूप: (3, 0, 5, 0, -7, 2)
• कोटी: 5

• उदा. 2: x^3 + 3x - 5 ही बहुपदी सहगुणक रूपात लिहा.
• x^3 + 0x^2 + 3x - 5 (घातांक रूप)
• सहगुणक रूप: (1, 0, 3, -5)

• उदा. 3: (2, -1, 0, 5, 6) ही सहगुणक रूपातील बहुपदी घातांक रूपात लिहा.
• सहगुणकांची संख्या 5 आहे, म्हणून कोटी 5 - 1 = 4 असेल.
• घातांक रूपातील बहुपदी: 2x^4 - x^3 + 0x^2 + 5x + 6 म्हणजेच 2x^4 - x^3 + 5x + 6

बहुपदींवरील क्रिया (बेरीज, वजाबाकी, गुणाकार व भागाकार) या बैजिक राशींवरील क्रियांप्रमाणेच करतात.

• बेरीज आणि वजाबाकी:
• बेरीज किंवा वजाबाकी करताना सरूप पदे (समान चल आणि समान घातांक असलेली पदे) एकत्र करून त्यांच्या सहगुणकांची बेरीज किंवा वजाबाकी करतात.
• उदा. (3m^2n + 5mn^2 - 7mn) + (2m^2n - mn^2 + mn)
• = 3m^2n + 2m^2n + 5mn^2 - mn^2 - 7mn + mn (सरूप पदे एकत्र केली)
• = (3+2)m^2n + (5-1)mn^2 + (-7+1)mn
• = 5m^2n + 4mn^2 - 6mn

• गुणाकार:
• गुणाकार करताना प्रत्येक पदाने दुसऱ्या बहुपदीतील प्रत्येक पदाला गुणतात.
• घातांकांच्या नियमांचा वापर करतात (उदा. x^a * x^b = x^(a+b)).
• उदा. (m^2 - 5) × (m^3 + 2m - 2)
• = m^2(m^3 + 2m - 2) - 5(m^3 + 2m - 2)
• = m^5 + 2m^3 - 2m^2 - 5m^3 - 10m + 10
• = m^5 + (2-5)m^3 - 2m^2 - 10m + 10 (सरूप पदे एकत्र केली)
• = m^5 - 3m^3 - 2m^2 - 10m + 10
• दोन बहुपदींच्या गुणाकाराची कोटी ही त्यांच्या स्वतंत्र कोटींच्या बेरजेएवढी असते. (उदा. m^2 ची कोटी 2 आणि m^3 ची कोटी 3, गुणाकाराची कोटी 2+3=5)

• भागाकार (दीर्घ भागाकार पद्धत):
• भागाकार करताना भाज्य बहुपदीला प्रमाणरूपात लिहा.
• भागाकाराची प्रक्रिया सामान्य भागाकाराप्रमाणेच असते.
• युक्लिडचा भागाकार सिद्धांत: जर p(x) आणि s(x) या दोन बहुपदी असतील आणि s(x) ची कोटी p(x) च्या कोटीएवढी किंवा त्यापेक्षा जास्त असेल, तर s(x) ला p(x) ने भागून येणारा भागाकार q(x) आणि बाकी r(x) असेल, तर s(x) = p(x) × q(x) + r(x). येथे r(x) = 0 किंवा r(x) ची कोटी p(x) च्या कोटीपेक्षा कमी असते.
• उदा. (2 + 2x^2) ÷ (x + 2)
• भाज्य p(x) = 2x^2 + 0x + 2 (प्रमाणरूपात)
• भाजक q(x) = x + 2
• भागाकार केल्यावर, भागाकार s(x) = 2x - 4 आणि बाकी r(x) = 10 मिळते.
• 2x^2 + 2 = (x + 2)(2x - 4) + 10

संश्लेषक भागाकार पद्धत ही बहुपदींचा भागाकार करण्याची एक सोपी पद्धत आहे, जेव्हा भाजक x + a किंवा x - a या स्वरूपात असतो (म्हणजेच भाजकाची कोटी 1 असते).

• पायऱ्या:

1. भाज्य बहुपदीला प्रमाणरूपात लिहा आणि तिचे सहगुणक रूप काढा.
2. भाजक x + a असल्यास, a ची विरुद्ध संख्या -a घ्या. भाजक x - a असल्यास, -a ची विरुद्ध संख्या a घ्या. ही संख्या डावीकडे लिहा.
3. भाज्य बहुपदीचे सहगुणक आडव्या ओळीत लिहा.
4. पहिला सहगुणक खाली तसाच उतरवा.
5. खाली उतरवलेल्या सहगुणकाला डावीकडील संख्येने गुणा आणि पुढील सहगुणकाखाली लिहा.
6. त्यांची बेरीज करा आणि ती खाली लिहा.
7. ही प्रक्रिया शेवटच्या सहगुणकापर्यंत पुन्हा करा.
8. शेवटची संख्या ही बाकी असते.
9. बाकीच्या आधीच्या संख्या भागाकाराचे सहगुणक असतात. भागाकाराची कोटी भाज्याच्या कोटीपेक्षा एकने कमी असते.

• उदा. 1: (3x^3 + 2x^2 - 1) या बहुपदीला (x + 2) ने भागा.

1. भाज्य बहुपदीचे प्रमाणरूप: 3x^3 + 2x^2 + 0x - 1
2. सहगुणक रूप: (3, 2, 0, -1)
3. भाजक x + 2 आहे, म्हणून -2 घ्या.

`mermaid graph TD subgraph Synthetic Division A[(-2)] --- B[3] --- C[2] --- D[0] --- E[-1] F[ ] --- G[-6] --- H[8] --- I[-16] J[ ] --- K[3] --- L[-4] --- M[8] --- N[-17] end `

• स्पष्टीकरण:
• 3 खाली उतरवला.
• 3 × (-2) = -6. हा 2 खाली लिहिला. 2 + (-6) = -4.
• -4 × (-2) = 8. हा 0 खाली लिहिला. 0 + 8 = 8.
• 8 × (-2) = -16. हा -1 खाली लिहिला. -1 + (-16) = -17.

• बाकी: -17
• भागाकाराचे सहगुणक: (3, -4, 8)
• भागाकार: 3x^2 - 4x + 8 (भाज्य x^3 असल्याने भागाकार x^2 पासून सुरू होईल)
• म्हणून, 3x^3 + 2x^2 - 1 = (x + 2)(3x^2 - 4x + 8) - 17

• उदा. 2: (2y^4 - 3y^3 + 5y - 4) ÷ (y - 1)

1. भाज्य बहुपदीचे प्रमाणरूप: 2y^4 - 3y^3 + 0y^2 + 5y - 4
2. सहगुणक रूप: (2, -3, 0, 5, -4)
3. भाजक y - 1 आहे, म्हणून 1 घ्या.

`mermaid graph TD subgraph Synthetic Division A[(1)] --- B[2] --- C[-3] --- D[0] --- E[5] --- F[-4] G[ ] --- H[2] --- I[-1] --- J[-1] --- K[4] L[ ] --- M[2] --- N[-1] --- O[-1] --- P[4] --- Q[0] end `

• बाकी: 0
• भागाकाराचे सहगुणक: (2, -1, -1, 4)
• भागाकार: 2y^3 - y^2 - y + 4

• महत्वाचे: संश्लेषक भागाकार पद्धत फक्त x + a किंवा x - a या रूपातील भाजकांसाठी वापरली जाते, ज्यांची कोटी 1 असते.

बहुपदीतील चलाला एखादी किंमत दिली असता, त्या बहुपदीची एक विशिष्ट किंमत मिळते. p(x) या बहुपदीत x ला a ही किंमत देऊन येणारी बहुपदीची किंमत p(a) ने दर्शवतात.

• पायऱ्या:

1. दिलेल्या बहुपदीमध्ये चलाच्या जागी दिलेली किंमत ठेवा.
2. गणितीय क्रिया करून बहुपदीची अंतिम किंमत काढा.

• उदा. 1: p(x) = 2x^2 - 3x + 5 या बहुपदीची किंमत x = 2 असताना काढा.
• p(2) = 2 × (2)^2 - 3 × (2) + 5
• = 2 × 4 - 6 + 5
• = 8 - 6 + 5
• = 7
• म्हणून, x = 2 असताना बहुपदीची किंमत 7 आहे.

• उदा. 2: y = -2 असताना p(y) = 2y^3 - 2y + √7 ची किंमत काढा.
• p(-2) = 2 × (-2)^3 - 2 × (-2) + √7
• = 2 × (-8) - (-4) + √7
• = -16 + 4 + √7
• = -12 + √7
• म्हणून, y = -2 असताना बहुपदीची किंमत -12 + √7 आहे.

• उदा. 3: जर m^2 - am + 7 या बहुपदीची किंमत m = -1 असताना 10 असेल, तर a ची किंमत काढा.
• p(m) = m^2 - am + 7
• p(-1) = (-1)^2 - a × (-1) + 7
• = 1 + a + 7
• = 8 + a
• दिलेल्या माहितीनुसार, p(-1) = 10
• म्हणून, 8 + a = 10
• a = 10 - 8
• a = 2

शेष सिद्धांत: p(x) ही कोणतीही बहुपदी असून a ही वास्तव संख्या असेल आणि जर p(x) ला (x - a) ने भागले तर येणारी बाकी ही p(a) एवढी असते. तसेच, जर p(x) ला (x + a) ने भागले तर येणारी बाकी p(-a) एवढी असते.

• शेष सिद्धांताची सिद्धता (युक्लिडच्या भागाकार नियमावरून):
• p(x) या बहुपदीला (x - a) ने भागल्यास, युक्लिडच्या भागाकार नियमानुसार:

p(x) = q(x) × (x - a) + r(x)

• येथे q(x) भागाकार आहे आणि r(x) बाकी आहे.
• जर r(x) ≠ 0, तर r(x) ची कोटी (x - a) च्या कोटीपेक्षा (म्हणजे 1 पेक्षा) कमी असते. याचा अर्थ r(x) ची कोटी 0 आहे, म्हणजेच r(x) ही एक स्थिर संख्या आहे.
• आता, p(x) = q(x) × (x - a) + r(x) या समीकरणात x = a ही किंमत ठेवू.
• p(a) = q(a) × (a - a) + r(a)
• p(a) = q(a) × 0 + r(a)
• p(a) = r(a)
• यावरून सिद्ध होते की, p(x) ला (x - a) ने भागल्यास मिळणारी बाकी p(a) एवढी असते.

• उदा. 1: x^4 - 5x^2 - 4x या बहुपदीस x + 3 ने भागल्यास येणारी बाकी काढा.
• येथे p(x) = x^4 - 5x^2 - 4x आणि भाजक x + 3 आहे.
• x + 3 = 0 म्हणजे x = -3.
• शेष सिद्धांतानुसार बाकी p(-3) असेल.
• p(-3) = (-3)^4 - 5(-3)^2 - 4(-3)
• = 81 - 5(9) + 12
• = 81 - 45 + 12
• = 36 + 12
• = 48
• म्हणून, बाकी 48 आहे.

• उदा. 2: जर t^3 - 3t^2 + kt + 50 या बहुपदीस (t - 3) ने भागल्यावर बाकी 62 उरत असेल, तर k ची किंमत काढा.
• येथे p(t) = t^3 - 3t^2 + kt + 50 आणि भाजक t - 3 आहे.
• t - 3 = 0 म्हणजे t = 3.
• शेष सिद्धांतानुसार बाकी p(3) असेल आणि ती 62 दिली आहे.
• p(3) = (3)^3 - 3(3)^2 + k(3) + 50
• = 27 - 3(9) + 3k + 50
• = 27 - 27 + 3k + 50
• = 3k + 50
• दिलेल्या माहितीनुसार, p(3) = 62
• म्हणून, 3k + 50 = 62
• 3k = 62 - 50
• 3k = 12
• k = 12 / 3
• k = 4

अवयव सिद्धांत: p(x) ही बहुपदी असून a ही कोणतीही वास्तव संख्या असेल आणि जर p(a) = 0 असेल, तर (x - a) हा p(x) चा अवयव असतो. याउलट, जर (x - a) हा p(x) या बहुपदीचा अवयव असेल, तर p(a) = 0 असते.

• अवयव सिद्धांत हा शेष सिद्धांताचाच एक विशेष प्रकार आहे. जर बाकी 0 असेल, तर भाजक हा भाज्याचा अवयव असतो.

• उदा. 1: (x - 1) हा p(x) = x^3 + 4x - 5 या बहुपदीचा अवयव आहे का हे ठरवा.
• येथे भाजक x - 1 आहे, म्हणून x = 1 घेऊ.
• अवयव सिद्धांतानुसार, जर p(1) = 0 असेल, तर (x - 1) हा अवयव असेल.
• p(1) = (1)^3 + 4(1) - 5
• = 1 + 4 - 5
• = 5 - 5
• = 0
• येथे p(1) = 0 आहे, म्हणून (x - 1) हा p(x) या बहुपदीचा अवयव आहे.

• उदा. 2: (x + 2) हा p(x) = x^3 + 4x - 5 या बहुपदीचा अवयव आहे का हे ठरवा.
• येथे भाजक x + 2 आहे, म्हणून x = -2 घेऊ.
• अवयव सिद्धांतानुसार, जर p(-2) = 0 असेल, तर (x + 2) हा अवयव असेल.
• p(-2) = (-2)^3 + 4(-2) - 5
• = -8 - 8 - 5
• = -21
• येथे p(-2) ≠ 0 आहे, म्हणून (x + 2) हा p(x) या बहुपदीचा अवयव नाही.

• उदा. 3: जर (x - 1) हा (x^3 - 2x^2 + mx - 4) चा अवयव असेल, तर m ची किंमत काढा.
• p(x) = x^3 - 2x^2 + mx - 4
• (x - 1) हा p(x) चा अवयव आहे, म्हणून अवयव सिद्धांतानुसार p(1) = 0.
• p(1) = (1)^3 - 2(1)^2 + m(1) - 4 = 0
• 1 - 2(1) + m - 4 = 0
• 1 - 2 + m - 4 = 0
• -1 + m - 4 = 0
• m - 5 = 0
• m = 5