Basic Concepts in Geometry

भूमिती ही 'भू' (पृथ्वी) आणि 'मिती' (मापन) या ग्रीक शब्दांवरून आली आहे. प्राचीन काळापासून भूमितीचा उपयोग बांधकाम आणि मापनासाठी केला जातो.

• बिंदू (Point):
• बिंदूला आकार नसतो, फक्त स्थान असते.
• तो इंग्रजी मोठ्या अक्षराने (उदा. A, B, P) दर्शविला जातो.
• ही भूमितीतील सर्वात मूलभूत आणि undefinable संकल्पना आहे.
• रेषा (Line):
• रेषा म्हणजे असंख्य बिंदूंचा संच जो दोन्ही दिशांना अमर्यादपणे पसरलेला असतो.
• रेषा सरळ असते आणि तिला जाडी नसते.
• ती लहान इंग्रजी अक्षराने (उदा. l, m) किंवा रेषेवरील दोन बिंदूंनी (उदा. रेषा AB) दर्शविली जाते.
• प्रतल (Plane):
• प्रतल म्हणजे असंख्य बिंदू आणि रेषांचा सपाट संच जो सर्व दिशांना अमर्यादपणे पसरलेला असतो.
• त्याला जाडी नसते.
• ते इंग्रजी मोठ्या अक्षराने (उदा. प्रतल P) किंवा प्रतलातील तीन न-एकरेषीय बिंदूंनी दर्शविले जाते.

महत्वाचे: बिंदू, रेषा आणि प्रतल या भूमितीतील मूलभूत संकल्पना आहेत, ज्यांची आपण व्याख्या करत नाही, तर त्या स्वीकारतो.

संख्यारेषेवर (number line) बिंदूंचे स्थान त्यांच्या निर्देशकाने दर्शविले जाते.

• निर्देशकाची संकल्पना:
• संख्यारेषेवरील प्रत्येक बिंदू एका विशिष्ट संख्येने दर्शविला जातो, त्या संख्येला त्या बिंदूचा निर्देशक (coordinate) म्हणतात.
• उदा. बिंदू D चा निर्देशक 1 आहे, बिंदू B चा निर्देशक -3 आहे.
• दोन बिंदूंमधील अंतर (Distance between two points):
• संख्यारेषेवरील दोन बिंदूंमधील अंतर काढण्यासाठी, त्यांच्या निर्देशकांपैकी मोठ्या निर्देशकातून लहान निर्देशक वजा करा.
• अंतर नेहमी धन (positive) असते.
• जर दोन बिंदू एकच असतील, तर त्यांच्यातील अंतर शून्य असते.
• d(A, B) किंवा l(AB) असे अंतर दर्शविले जाते.
• सूत्र: जर बिंदू A चा निर्देशक \(x\) आणि बिंदू B चा निर्देशक \(y\) असेल, तर \(d(A, B) = |x - y|\) किंवा \(d(A, B) = \text{मोठा निर्देशक} - \text{लहान निर्देशक}\).

उदाहरणे:

1. d(E, D) काढा: E चा निर्देशक 3, D चा निर्देशक 1. \(3 > 1\). म्हणून, \(d(E, D) = 3 - 1 = 2\).
2. d(C, D) काढा: C चा निर्देशक -2, D चा निर्देशक 1. \(1 > -2\). म्हणून, \(d(C, D) = 1 - (-2) = 1 + 2 = 3\).
3. d(A, B) काढा: A चा निर्देशक -5, B चा निर्देशक -3. \(-3 > -5\). म्हणून, \(d(A, B) = -3 - (-5) = -3 + 5 = 2\).

तीन भिन्न एकरेषीय (collinear) बिंदूंसाठी, एक बिंदू इतर दोन बिंदूंच्या दरम्यान असतो.

• संकल्पना: जर P, Q, R हे तीन भिन्न एकरेषीय बिंदू असतील, तर तीन शक्यता आहेत:

1. बिंदू Q हा P आणि R च्या दरम्यान आहे (P - Q - R).
2. बिंदू R हा P आणि Q च्या दरम्यान आहे (P - R - Q).
3. बिंदू P हा R आणि Q च्या दरम्यान आहे (R - P - Q).

• मध्यस्थता ओळखणे:
• जर \(d(P, Q) + d(Q, R) = d(P, R)\) असेल, तर बिंदू Q हा P आणि R च्या दरम्यान आहे (P - Q - R).
• याचा अर्थ, दोन लहान अंतरांची बेरीज सर्वात मोठ्या अंतराएवढी असेल, तर मधला बिंदू तो असतो जो दोन्ही लहान अंतरांमध्ये सामायिक असतो.
• अ-एकरेषीय बिंदू (Non-collinear points): जर तीन बिंदू एकरेषीय नसतील, तर त्यांच्यात मध्यस्थता नसते. अशावेळी, दोन लहान अंतरांची बेरीज तिसऱ्या अंतरापेक्षा मोठी असते.

भूमितीतील मूलभूत आकृत्या आणि त्यांच्याशी संबंधित संकल्पना:

• रेषाखंड (Line Segment):
• बिंदू A, बिंदू B आणि A व B मधील सर्व बिंदूंचा संच म्हणजे रेषाखंड AB (seg AB).
• A आणि B हे रेषाखंडाचे अंतिम बिंदू (endpoints) आहेत.
• रेषाखंड AB ला seg AB किंवा seg BA असे लिहितात.
• रेषाखंडाची लांबी \(l(AB)\) किंवा फक्त AB ने दर्शविली जाते. \(l(AB) = d(A, B)\).
• किरण (Ray):
• A आणि B हे दोन भिन्न बिंदू असतील, तर रेषाखंड AB व P असे बिंदू की A-B-P या सर्वांचा संच म्हणजे किरण AB (ray AB).
• A हा किरणाचा आरंभबिंदू (starting point) असतो.
• किरण AB आणि किरण BA हे भिन्न असतात.
• रेषा (Line):
• किरण AB आणि त्याच्या विरुद्ध किरणाचा (opposite ray) संच म्हणजे रेषा AB (line AB).
• रेषाखंड AB हा रेषा AB चा उपसंच (subset) असतो.
• एकरूप रेषाखंड (Congruent Segments):
• जर दोन रेषाखंडांची लांबी समान असेल, तर ते रेषाखंड एकरूप असतात.
• उदा. जर \(l(AB) = l(CD)\) असेल, तर seg AB \(\cong\) seg CD.
• एकरूप रेषाखंडांचे गुणधर्म:
• स्वयंपूर्णता (Reflexivity): seg AB \(\cong\) seg AB.
• समरूपता (Symmetry): जर seg AB \(\cong\) seg CD, तर seg CD \(\cong\) seg AB.
• संक्रमकता (Transitivity): जर seg AB \(\cong\) seg CD आणि seg CD \(\cong\) seg EF, तर seg AB \(\cong\) seg EF.
• रेषाखंडाचा मध्यबिंदू (Midpoint of a Segment):
• जर A-M-B असेल आणि seg AM \(\cong\) seg MB असेल, तर M हा seg AB चा मध्यबिंदू असतो.
• प्रत्येक रेषाखंडाला एक आणि फक्त एकच मध्यबिंदू असतो.
• रेषाखंडांची तुलना (Comparison of Segments):
• रेषाखंडांची तुलना त्यांच्या लांबीनुसार केली जाते.
• जर \(l(AB) < l(CD)\) असेल, तर seg AB < seg CD किंवा seg CD > seg AB.
• रेषाखंडांची किंवा किरणांची लंबता (Perpendicularity of Segments or Rays):
• जर दोन रेषाखंड, दोन किरण किंवा एक रेषाखंड आणि एक किरण ज्या रेषांवर आहेत, त्या रेषा एकमेकांना लंब असतील, तर ते रेषाखंड/किरण एकमेकांना लंब आहेत असे म्हणतात.
• उदा. seg AB \(\perp\) रेषा CD.
• बिंदूचे रेषेपासूनचे अंतर (Distance of a point from a line):
• जर seg CD \(\perp\) रेषा AB असेल आणि बिंदू D हा रेषा AB वर असेल, तर seg CD ची लांबी म्हणजे बिंदू C चे रेषा AB पासूनचे अंतर.
• बिंदू D ला लंबपादाचा बिंदू (foot of the perpendicular) म्हणतात.

भूमितीतील अनेक गुणधर्म 'जर-तर' (If-then) स्वरूपात मांडले जातात.

• सशर्त विधान (Conditional Statement):
• जी विधाने 'जर... तर...' या स्वरूपात लिहिता येतात, त्यांना सशर्त विधाने म्हणतात.
• 'जर' नंतरच्या भागाला पूर्वार्ध (antecedent) म्हणतात.
• 'तर' नंतरच्या भागाला उत्तरार्ध (consequent) म्हणतात.
• उदाहरण: "समभुज चौकोनाचे कर्ण परस्परांचे लंबदुभाजक असतात." हे विधान सशर्त स्वरूपात असे लिहिता येते: "जर दिलेला चौकोन समभुज चौकोन असेल, तर त्याचे कर्ण परस्परांचे लंबदुभाजक असतात."
• पूर्वार्ध: "दिलेला चौकोन समभुज चौकोन असेल"
• उत्तरार्ध: "त्याचे कर्ण परस्परांचे लंबदुभाजक असतात"
• व्यत्यास (Converse):
• दिलेल्या सशर्त विधानाचा पूर्वार्ध आणि उत्तरार्ध यांची अदलाबदल केल्यास मिळणारे विधान म्हणजे व्यत्यास.
• उदाहरण (वरीलच):
• सशर्त विधान: "जर दिलेला चौकोन समभुज चौकोन असेल, तर त्याचे कर्ण परस्परांचे लंबदुभाजक असतात." (सत्य)
• व्यत्यास: "जर एखाद्या चौकोनाचे कर्ण परस्परांचे लंबदुभाजक असतील, तर तो चौकोन समभुज चौकोन असतो." (सत्य)
• दुसरे उदाहरण:
• सशर्त विधान: "जर एखादी संख्या मूळ संख्या असेल, तर ती सम किंवा विषम असते." (सत्य)
• व्यत्यास: "जर एखादी संख्या सम किंवा विषम असेल, तर ती मूळ संख्या असते." (असत्य, कारण 4 ही सम आहे पण मूळ नाही)
• महत्वाचे: सशर्त विधान सत्य असले तरी त्याचा व्यत्यास सत्य असेलच असे नाही.

भूमितीतील गुणधर्म तर्काने सिद्ध करणे म्हणजे सिद्धता देणे.

• गृहीतके (Postulates):
• काही स्वयंसिद्ध भूमितीय विधाने जी सर्वमान्य असतात आणि ज्यांना सिद्ध करण्याची गरज नसते, त्यांना गृहीतके म्हणतात.
• यूक्लिडची काही गृहीतके:

1. एका बिंदूतून असंख्य रेषा जातात.
2. दोन भिन्न बिंदूतून एक आणि एकच रेषा जाते.
3. कोणत्याही बिंदूला केंद्र मानून आणि कोणतीही त्रिज्या घेऊन वर्तुळ काढता येते.
4. सर्व काटकोन एकरूप असतात.

• प्रमेय (Theorem):
• जे गुणधर्म तर्काने सिद्ध केले जातात, त्यांना प्रमेय म्हणतात.
• प्रमेय सिद्ध करण्यासाठी दिलेला तार्किक युक्तिवाद म्हणजे सिद्धता (proof).
• सिद्धतेचे भाग:
• दिलेले (Given): सशर्त विधानाचा पूर्वार्ध.
• सिद्ध करायचे (To Prove): सशर्त विधानाचा उत्तरार्ध.
• सिद्धतेचे प्रकार:

1. प्रत्यक्ष सिद्धता (Direct Proof):

• या पद्धतीत, 'दिलेले' वापरून आणि आधीच स्वीकारलेले गुणधर्म वापरून, टप्प्याटप्प्याने 'सिद्ध करायचे' पर्यंत पोहोचले जाते.
• उदाहरण: दोन छेदणाऱ्या रेषांनी तयार झालेले विरुद्ध कोन समान मापाचे असतात.
• दिलेले: रेषा AB आणि रेषा CD बिंदू O मध्ये छेदतात, A-O-B, C-O-D.
• सिद्ध करायचे: (i) \(\angle AOC = \angle BOD\) (ii) \(\angle BOC = \angle AOD\)
• सिद्धता:
• \(\angle AOC + \angle BOC = 180^\circ\) (रेषीय जोडीतील कोन) ... (I)
• \(\angle BOC + \angle BOD = 180^\circ\) (रेषीय जोडीतील कोन) ... (II)
• (I) आणि (II) वरून: \(\angle AOC + \angle BOC = \angle BOC + \angle BOD\)
• \(\angle AOC = \angle BOD\) (\(\angle BOC\) वजा करून)
• त्याचप्रमाणे, \(\angle BOC = \angle AOD\) सिद्ध करता येते.

1. अप्रत्यक्ष सिद्धता (Indirect Proof / Proof by Contradiction):

• या पद्धतीत, 'सिद्ध करायचे' हे असत्य आहे असे गृहीत धरले जाते.
• या गृहीतकाचा आणि आधीच स्वीकारलेल्या गुणधर्मांचा वापर करून तार्किक युक्तिवाद केला जातो.
• यामुळे एक असा निष्कर्ष मिळतो जो 'दिलेले' किंवा आधीच स्वीकारलेल्या गुणधर्मांशी विसंगत (contradictory) असतो.
• या विसंगतीमुळे, आपले मूळ गृहीतक (की 'सिद्ध करायचे' असत्य आहे) चुकीचे ठरते.
• म्हणून, 'सिद्ध करायचे' हे सत्य आहे हे सिद्ध होते.
• उदाहरण: 2 पेक्षा मोठी कोणतीही मूळ संख्या विषम असते.
• सशर्त विधान: जर \(p\) ही 2 पेक्षा मोठी मूळ संख्या असेल, तर ती विषम असते.
• दिलेले: \(p\) ही 2 पेक्षा मोठी मूळ संख्या आहे. म्हणजे \(p\) चे अवयव 1 आणि \(p\) हेच आहेत.
• सिद्ध करायचे: \(p\) ही विषम संख्या आहे.
• अप्रत्यक्ष सिद्धता:
• समजा, \(p\) ही विषम संख्या नाही. तर \(p\) ही सम संख्या आहे.
• जर \(p\) सम असेल, तर 2 हा \(p\) चा एक अवयव आहे. ... (I)
• पण, दिलेले आहे की \(p\) ही 2 पेक्षा मोठी मूळ संख्या आहे. ... (दिलेले)
• म्हणून, \(p\) चे अवयव फक्त 1 आणि \(p\) हेच आहेत. ... (II)
• विधाने (I) आणि (II) परस्परविरोधी आहेत. (एकीकडे 2 अवयव आहे, दुसरीकडे नाही)
• म्हणून, आपले गृहीतक (की \(p\) विषम नाही) चुकीचे आहे.
• यावरून सिद्ध होते की 2 पेक्षा मोठी कोणतीही मूळ संख्या विषम असते.