वर्तुळ - जीवा व कंस
हा धडा वर्तुळाच्या मूलभूत संकल्पना, जसे की जीवा, कंस, त्रिज्या आणि व्यास यांची ओळख करून देतो. वर्तुळाच्या केंद्रातून जीवेवर टाकलेला लंब जीवेला दुभागतो आणि वर्तुळाचे केंद्र व जीवेचा मध्यबिंदू जोडणारा रेषाखंड जीवेला लंब असतो, हे महत्त्वाचे गुणधर्म या धड्यात शिकवले जातात. तसेच, एकरूप कंस आणि त्यांच्याशी संबंधित जीवांचे गुणधर्म देखील स्पष्ट केले आहेत. हे ज्ञान भूमितीतील पुढील अभ्यासासाठी महत्त्वाचे आहे.
वर्तुळाचे मूलभूत घटक
वर्तुळ म्हणजे एका स्थिर बिंदूपासून (केंद्र) समान अंतरावर असलेल्या सर्व बिंदूंचा संच.
- केंद्र (Centre): वर्तुळाच्या मध्यभागी असलेला बिंदू.
Oहे वर्तुळाचे केंद्र आहे. - त्रिज्या (Radius): वर्तुळकेंद्र आणि वर्तुळावरील कोणताही बिंदू यांना जोडणारा रेषाखंड. उदा.
रेख OD,रेख OA,रेख OB,रेख OP,रेख OQ. - सर्व त्रिज्यांची लांबी समान असते.
- जीवा (Chord): वर्तुळावरील कोणत्याही दोन बिंदूंना जोडणारा रेषाखंड. उदा.
रेख PQ,रेख AB. - व्यास (Diameter): वर्तुळकेंद्रामधून जाणारी जीवा. व्यास ही वर्तुळातील सर्वात मोठी जीवा असते. व्यासाची लांबी त्रिज्येच्या दुप्पट असते. उदा.
रेख AB. व्यास = 2 × त्रिज्या- कंस (Arc): वर्तुळाच्या परिघाचा एक भाग.
- लघुकंस (Minor Arc): वर्तुळाच्या परिघाचा लहान भाग. उदा.
कंस AXD,कंस BD. - विशालकंस (Major Arc): वर्तुळाच्या परिघाचा मोठा भाग. उदा.
कंस PAB,कंस PDQ. - अर्धवर्तुळकंस (Semicircular Arc): व्यासामुळे तयार होणारे कंस. उदा.
कंस ADB. - केंद्रीय कोन (Central Angle): ज्या कोनाचा शिरोबिंदू वर्तुळकेंद्र असतो आणि ज्याच्या भुजा त्रिज्या असतात, तो कोन. उदा.
∠AOB. कंसाचे माप = केंद्रीय कोनाचे मापm(कंस DB) = m∠DOBm(कंस DAB) = 360° - m∠DOB(जरकंस DBहा लघुकंस असेल तर)
लघुकंसाचे माप त्याच्या संगत केंद्रीय कोनाच्या मापाएवढे असते. विशालकंसाचे माप 360° मधून संगत लघुकंसाचे माप वजा करून मिळते. अर्धवर्तुळकंसाचे माप 180° असते.
वर्तुळाचा व्यास हा सर्वात मोठी जीवा असतो आणि तो वर्तुळाला दोन अर्धवर्तुळकंसांमध्ये विभागतो.
वर्तुळाच्या जीवेचे गुणधर्म
वर्तुळाच्या जीवेचे दोन महत्त्वाचे गुणधर्म आहेत:
गुणधर्म 1: वर्तुळ केंद्रातून जीवेवर टाकलेला लंब
- विधान: वर्तुळ केंद्रातून जीवेवर टाकलेला लंब जीवेला दुभागतो.
- अर्थ: जर
Oहे वर्तुळकेंद्र असेल आणिरेख ABही जीवा असेल, तसेचरेख OP ⊥ जीवा ABअसेल, तर बिंदूPहारेख ABचा मध्यबिंदू असतो. म्हणजेच,AP = PB.
गुणधर्म 2: वर्तुळ केंद्र आणि जीवेचा मध्यबिंदू जोडणारा रेषाखंड
- विधान: वर्तुळाचे केंद्र व त्या वर्तुळातील जीवेचा मध्यबिंदू जोडणारा रेषाखंड हा त्या जीवेला लंब असतो.
- अर्थ: जर
Oहे वर्तुळकेंद्र असेल आणिPहाजीवा ABचा मध्यबिंदू असेल, तररेख OP ⊥ जीवा AB. - याचा अर्थ
∠APO = 90°आणि∠BPO = 90°.
या दोन्ही गुणधर्मांचा उपयोग:
- जीवेची लांबी काढण्यासाठी.
- केंद्रापासून जीवेचे अंतर काढण्यासाठी.
- वर्तुळाची त्रिज्या काढण्यासाठी.
- या गुणधर्मांवर आधारित गणिते सोडवताना
पायथागोरसचे प्रमेयवारंवार वापरले जाते, कारण लंब टाकल्यामुळेकाटकोन त्रिकोणतयार होतो.
हे दोन्ही गुणधर्म एकमेकांचे व्यत्यास आहेत. ते वर्तुळाच्या भूमितीतील महत्त्वाचे आधारस्तंभ आहेत.
जेव्हा वर्तुळाच्या जीवेची लांबी, त्रिज्या किंवा केंद्रापासूनचे अंतर यापैकी दोन गोष्टी दिलेल्या असतील, तेव्हा तिसरी गोष्ट काढण्यासाठी पायथागोरसचे प्रमेय वापरा.
जीवेचे संगत कंस आणि एकरूप कंस
जीवेचे संगत कंस
- एखादी जीवा वर्तुळाला दोन कंसांमध्ये विभागते: एक लघुकंस आणि एक विशालकंस.
- या दोन्ही कंसांना त्या जीवेचे संगत कंस (Arcs corresponding to chord) म्हणतात.
- उदा.
रेख ABही जीवा असेल, तरकंस AXBहा लघुकंस आणिकंस AYBहा विशालकंस हेजीवा ABचे संगत कंस आहेत. - याउलट,
जीवा ABहीकंस AXBआणिकंस AYBयांची संगत जीवा (Corresponding Chord) आहे.
एकरूप कंस (Congruent Arcs)
- एकाच वर्तुळातील किंवा एकरूप वर्तुळातील दोन कंसांची मापे समान असतील, तर ते कंस एकरूप असतात.
- जर
m(कंस AXB) = m(कंस CYD)असेल, तरकंस AXB ≅ कंस CYD.
एकरूप कंस आणि एकरूप जीवा यांचे गुणधर्म
- एकरूप कंसांच्या संगत जीवा:
- विधान: एकाच वर्तुळातील किंवा एकरूप वर्तुळातील एकरूप कंसांच्या संगत जीवा एकरूप असतात.
- अर्थ: जर
कंस AXB ≅ कंस CYDअसेल, तरजीवा AB ≅ जीवा CD(म्हणजेl(AB) = l(CD)). - हे सिद्ध करण्यासाठी,
ΔAOBआणिΔCODमध्येOA = OB = OC = OD(त्रिज्या) आणि∠AOB = ∠COD(एकरूप कंसांचे केंद्रीय कोन समान असतात) वापरूनSASकसोटीनुसार त्रिकोण एकरूप दाखवता येतात. त्यामुळेAB = CD.
- एकरूप जीवांचे संगत कंस:
- विधान: एकाच वर्तुळातील किंवा एकरूप वर्तुळातील एकरूप जीवांचे संगत लघुकंस आणि संगत विशालकंस एकरूप असतात.
- अर्थ: जर
जीवा AB ≅ जीवा CDअसेल, तरकंस AXB ≅ कंस CYD(लघुकंस) आणिकंस AYB ≅ कंस CZD(विशालकंस). - हे सिद्ध करण्यासाठी,
ΔAOBआणिΔCODमध्येOA = OB = OC = OD(त्रिज्या) आणिAB = CD(दिलेली जीवा) वापरूनSSSकसोटीनुसार त्रिकोण एकरूप दाखवता येतात. त्यामुळे∠AOB = ∠COD, आणि म्हणून संगत कंस एकरूप होतात.
सारांश: | गुणधर्म | विधान | |---|---| | एकरूप कंस → एकरूप जीवा | जर कंस AXB ≅ कंस CYD असेल, तर जीवा AB ≅ जीवा CD | | एकरूप जीवा → एकरूप कंस | जर जीवा AB ≅ जीवा CD असेल, तर कंस AXB ≅ कंस CYD |
एकरूप कंसांचे केंद्रीय कोन एकरूप असतात आणि एकरूप केंद्रीय कोनांचे कंस एकरूप असतात.
कंसाचे माप आणि कंसाची लांबी यात फरक आहे. कंसाचे माप अंशात असते, तर लांबी एककात (सेमी, मीटर) असते.
