Rational and Irrational numbers

आपण मागील इयत्तेत शिकलेल्या संख्यांच्या प्रकारांची उजळणी करूया:

• नैसर्गिक संख्या (Natural Numbers):
• मोजण्यासाठी वापरल्या जाणाऱ्या संख्या. 1, 2, 3, 4, ...
• यांना 'धन पूर्णांक' असेही म्हणतात.
• संकेत: \(N\)

• पूर्ण संख्या (Whole Numbers):
• नैसर्गिक संख्यांमध्ये शून्य (0) मिळवल्यास मिळणारा संच. 0, 1, 2, 3, 4, ...
• संकेत: \(W\)

• पूर्णांक संख्या (Integers):
• पूर्ण संख्या आणि ऋण नैसर्गिक संख्या यांचा संच. ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...
• यात धन पूर्णांक, ऋण पूर्णांक आणि शून्य यांचा समावेश होतो.
• संकेत: \(Z\)

• परिमेय संख्या (Rational Numbers):
• ज्या संख्या \(\frac{m}{n}\) या स्वरूपात लिहिता येतात, जिथे \(m\) आणि \(n\) पूर्णांक संख्या आहेत आणि \(n \neq 0\), त्यांना परिमेय संख्या म्हणतात.
• उदाहरणे: \(\frac{2}{3}, -\frac{5}{7}, 4, 0, -1.5\) (कारण \(4 = \frac{4}{1}\), \(0 = \frac{0}{1}\), \(-1.5 = -\frac{3}{2}\))
• संकेत: \(Q\)
• महत्वाचे:
• प्रत्येक नैसर्गिक संख्या ही पूर्ण संख्या असते.
• प्रत्येक पूर्ण संख्या ही पूर्णांक संख्या असते.
• प्रत्येक पूर्णांक संख्या ही परिमेय संख्या असते.
• दोन परिमेय संख्यांच्या दरम्यान अनंत परिमेय संख्या असतात.

संख्यारेषेवर परिमेय संख्या दाखवण्यासाठी खालील पद्धत वापरली जाते:

1. संख्यारेषा काढा: मध्यभागी शून्य (0) घ्या. शून्याच्या उजवीकडे धन संख्या आणि डावीकडे ऋण संख्या समान अंतरावर चिन्हांकित करा.
2. छेदाचे महत्त्व: परिमेय संख्या \(\frac{m}{n}\) दाखवताना, छेद \(n\) हा दोन पूर्णांकांमधील एकक अंतराचे किती समान भाग करायचे हे दर्शवतो.
3. उदाहरण: \(\frac{7}{3}\) दाखवणे:

• \(\frac{7}{3}\) म्हणजे \(2 \frac{1}{3}\).
• शून्य आणि 1, 1 आणि 2, 2 आणि 3 या प्रत्येक एकक अंतराचे 3 समान भाग करा (कारण छेद 3 आहे).
• शून्यापासून उजवीकडे 7 व्या खुणेवर \(\frac{7}{3}\) ही संख्या असेल.
• किंवा, 2 नंतरच्या पहिल्या खुणेवर \(\frac{7}{3}\) असेल.

1. उदाहरण: \(-\frac{2}{3}\) दाखवणे:

• शून्य आणि -1 या एकक अंतराचे 3 समान भाग करा.
• शून्यापासून डावीकडे 2 व्या खुणेवर \(-\frac{2}{3}\) ही संख्या असेल.

टीप: जर छेद समान असेल, तर संख्यारेषेवर संख्या दाखवणे सोपे होते. उदा. \(\frac{5}{4}, \frac{7}{4}, -\frac{3}{4}\) दाखवण्यासाठी प्रत्येक एकक अंतराचे 4 समान भाग करावे लागतील.

दोन परिमेय संख्यांची तुलना करण्यासाठी खालील नियम वापरले जातात:

1. धन आणि ऋण संख्या:

• प्रत्येक धन संख्या प्रत्येक ऋण संख्येपेशी मोठी असते. उदा. \(\frac{4}{5} > -\frac{7}{9}\).
• शून्य (0) प्रत्येक धन संख्येपेशी लहान आणि प्रत्येक ऋण संख्येपेशी मोठा असतो. उदा. \(0 > -\frac{9}{5}\), \(\frac{8}{7} > 0\).

1. समान छेद असलेल्या संख्या:

• जर दोन परिमेय संख्यांचे छेद समान असतील, तर ज्या संख्येचा अंश मोठा ती संख्या मोठी असते.
• उदा. \(\frac{5}{4}\) आणि \(\frac{7}{4}\) मध्ये, \(7 > 5\) म्हणून \(\frac{7}{4} > \frac{5}{4}\).
• ऋण संख्यांसाठी: \(-\frac{5}{4}\) आणि \(-\frac{7}{4}\) मध्ये, \(-5 > -7\) म्हणून \(-\frac{5}{4} > -\frac{7}{4}\).

1. भिन्न छेद असलेल्या संख्या:

• पायरी 1: दोन्ही संख्यांचे छेद समान करा. यासाठी छेदांचा लसावि (LCM) काढून तो समान छेद म्हणून वापरा.
• पायरी 2: छेद समान झाल्यावर, ज्या संख्येचा अंश मोठा ती संख्या मोठी असते.
• उदाहरण: \(\frac{5}{4}\) आणि \(\frac{2}{3}\) यांची तुलना करा.
• 4 आणि 3 चा लसावि 12 आहे.
• \(\frac{5}{4} = \frac{5 \times 3}{4 \times 3} = \frac{15}{12}\)
• \(\frac{2}{3} = \frac{2 \times 4}{3 \times 4} = \frac{8}{12}\)
• आता, \(\frac{15}{12}\) आणि \(\frac{8}{12}\) यांची तुलना करा. \(15 > 8\) म्हणून \(\frac{15}{12} > \frac{8}{12}\), म्हणजेच \(\frac{5}{4} > \frac{2}{3}\).

1. तिरकस गुणाकार पद्धत (Cross-multiplication method):

• जर \(\frac{a}{b}\) आणि \(\frac{c}{d}\) या परिमेय संख्या असतील, जिथे \(b, d\) धन आहेत, तर:
• जर \(a \times d < b \times c\) असेल, तर \(\frac{a}{b} < \frac{c}{d}\).
• जर \(a \times d = b \times c\) असेल, तर \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\).
• जर \(a \times d > b \times c\) असेल, तर \(\frac{a}{b} > \frac{c}{d}\).
• उदाहरण: \(\frac{5}{4}\) आणि \(\frac{2}{3}\) यांची तुलना करा.
• \(a=5, b=4, c=2, d=3\)
• \(a \times d = 5 \times 3 = 15\)
• \(b \times c = 4 \times 2 = 8\)
• \(15 > 8\) म्हणून \(\frac{5}{4} > \frac{2}{3}\).

• ऋण संख्यांसाठी तिरकस गुणाकार: \(-\frac{7}{3}\) आणि \(-\frac{5}{2}\) यांची तुलना करा.
• प्रथम \(\frac{7}{3}\) आणि \(\frac{5}{2}\) यांची तुलना करा.
• \(7 \times 2 = 14\)
• \(3 \times 5 = 15\)
• \(14 < 15\) म्हणून \(\frac{7}{3} < \frac{5}{2}\).
• आता ऋण चिन्हे लावल्यास, असमानता बदलते: \(-\frac{7}{3} > -\frac{5}{2}\).

परिमेय संख्यांचे दशांश रूप दोन प्रकारचे असते:

1. खंडित दशांश रूप (Terminating Decimal Form):

• जेव्हा अंशाला छेदाने भागल्यावर बाकी शून्य येते, तेव्हा दशांश रूप खंडित असते.
• उदाहरणे:
• \(\frac{7}{4} = 1.75\) (येथे बाकी शून्य येते)
• \(\frac{1}{2} = 0.5\)
• \(\frac{3}{8} = 0.375\)
• या दशांश रूपात दशांश बिंदूनंतरच्या अंकांची संख्या मर्यादित असते.

1. अखंड आवर्ती दशांश रूप (Non-terminating Recurring Decimal Form):

• जेव्हा अंशाला छेदाने भागल्यावर बाकी कधीही शून्य येत नाही आणि दशांश बिंदूनंतरच्या अंकांची किंवा अंकसमूहाची पुनरावृत्ती होते, तेव्हा दशांश रूप अखंड आवर्ती असते.
• उदाहरणे:
• \(\frac{7}{6} = 1.1666... = 1.1\overline{6}\)
• \(\frac{5}{6} = 0.8333... = 0.8\overline{3}\)
• \(-\frac{5}{3} = -1.666... = -1.\overline{6}\)
• \(\frac{22}{7} = 3.142857142857... = 3.\overline{142857}\)
• \(\frac{23}{99} = 0.2323... = 0.\overline{23}\)
• पुनरावृत्ती होणाऱ्या अंकसमूहावर रेषा (bar) काढून ते दर्शवले जाते.

महत्वाचे:

• प्रत्येक परिमेय संख्येचे दशांश रूप एकतर खंडित असते किंवा अखंड आवर्ती असते.
• उलटपक्षी, प्रत्येक खंडित किंवा अखंड आवर्ती दशांश रूप हे परिमेय संख्या दर्शवते.
• खंडित दशांश रूप सुद्धा अखंड आवर्ती रूपात लिहिता येते (शून्य आवर्ती करून). उदा. \(1.75 = 1.75000... = 1.75\overline{0}\).

संख्यारेषेवर परिमेय संख्यांव्यतिरिक्त आणखी अनेक संख्या असतात. या संख्यांना अपरिमेय संख्या म्हणतात.

• अपरिमेय संख्यांची व्याख्या: ज्या संख्या \(\frac{m}{n}\) या स्वरूपात लिहिता येत नाहीत, जिथे \(m\) आणि \(n\) पूर्णांक संख्या आहेत आणि \(n \neq 0\), त्यांना अपरिमेय संख्या म्हणतात.
• दशांश रूप: अपरिमेय संख्यांचे दशांश रूप अखंड आणि अनावर्ती (non-terminating and non-recurring) असते. म्हणजे, दशांश बिंदूनंतरच्या अंकांची पुनरावृत्ती होत नाही आणि ते कधीही संपत नाहीत.
• उदाहरणे:
• \(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}\) इत्यादी. (ज्या पूर्ण वर्ग नसलेल्या संख्यांची वर्गमुळे आहेत)
• \(\pi\) (पाय) ही एक अपरिमेय संख्या आहे. आपण गणितामध्ये \(\frac{22}{7}\) किंवा \(3.14\) ही \(\pi\) ची अंदाजित मूल्ये वापरतो, पण ही मूल्ये परिमेय आहेत, \(\pi\) नाही.
• \(0.10110111011110...\) यासारख्या संख्या, जिथे अंकांची कोणतीही निश्चित पुनरावृत्ती होत नाही.

वास्तव संख्या (Real Numbers):

• सर्व परिमेय संख्या आणि सर्व अपरिमेय संख्या मिळून वास्तव संख्यांचा संच तयार होतो.
• संख्यारेषेवरील प्रत्येक बिंदू एक वास्तव संख्या दर्शवतो आणि प्रत्येक वास्तव संख्या संख्यारेषेवरील एका बिंदूने दर्शवता येते.
• संकेत: \(R\)

अपरिमेय संख्यांच्या क्रिया:

• एका अपरिमेय संख्येशी परिमेय संख्या मिळवल्यास किंवा वजा केल्यास, परिणामी संख्या अपरिमेय असते. उदा. \(7 + \sqrt{2}\).
• एका अपरिमेय संख्येशी शून्य नसलेल्या परिमेय संख्येशी गुणाकार केल्यास किंवा भागल्यास, परिणामी संख्या अपरिमेय असते. उदा. \(3\sqrt{2}\).

अपरिमेय संख्या, जसे की \(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}\) इत्यादी, संख्यारेषेवर पायथागोरसच्या प्रमेयाचा वापर करून दाखवता येतात.

\(\sqrt{2}\) संख्यारेषेवर दाखवणे:

1. पायरी 1: एक संख्यारेषा काढा. शून्याला 'O' आणि 1 ला 'A' नाव द्या. त्यामुळे \(OA = 1\) एकक.
2. पायरी 2: बिंदू 'A' मधून संख्यारेषेला लंब रेषा 'l' काढा.
3. पायरी 3: रेषा 'l' वर 'P' बिंदू असा घ्या की \(AP = 1\) एकक असेल.
4. पायरी 4: 'OP' हा कर्ण जोडा. \(\triangle OAP\) हा काटकोन त्रिकोण आहे.
5. पायरी 5: पायथागोरसच्या प्रमेयानुसार:

\(OP^2 = OA^2 + AP^2\) \(OP^2 = 1^2 + 1^2\) \(OP^2 = 1 + 1\) \(OP^2 = 2\) \(OP = \sqrt{2}\)

1. पायरी 6: 'O' केंद्र घेऊन आणि 'OP' त्रिज्या घेऊन एक कंस काढा. हा कंस संख्यारेषेला ज्या बिंदूत छेदेल, त्याला 'Q' नाव द्या. बिंदू 'Q' ही संख्या \(\sqrt{2}\) दर्शवतो.
2. पायरी 7: शून्याच्या डावीकडे 'OQ' इतक्याच अंतरावर 'R' बिंदू घेतल्यास, तो \(-\sqrt{2}\) दर्शवेल.

\(\sqrt{3}\) संख्यारेषेवर दाखवणे:

• \(\sqrt{2}\) दाखवल्यानंतर, त्याच पद्धतीने \(\sqrt{3}\) दाखवता येते.
• पायरी 1: बिंदू 'Q' (जो \(\sqrt{2}\) दर्शवतो) मधून संख्यारेषेला लंब रेषा काढा.
• पायरी 2: या लंब रेषेवर 'R' बिंदू असा घ्या की \(QR = 1\) एकक असेल.
• पायरी 3: 'OR' हा कर्ण जोडा. \(\triangle ORQ\) हा काटकोन त्रिकोण आहे.
• पायरी 4: पायथागोरसच्या प्रमेयानुसार:

\(OR^2 = OQ^2 + QR^2\) \(OR^2 = (\sqrt{2})^2 + 1^2\) \(OR^2 = 2 + 1\) \(OR^2 = 3\) \(OR = \sqrt{3}\)

• पायरी 5: 'O' केंद्र घेऊन आणि 'OR' त्रिज्या घेऊन एक कंस काढा. हा कंस संख्यारेषेला ज्या बिंदूत छेदेल, त्याला 'C' नाव द्या. बिंदू 'C' ही संख्या \(\sqrt{3}\) दर्शवतो.

\(\sqrt{5}\) संख्यारेषेवर दाखवणे:

• \(\sqrt{5}\) दाखवण्यासाठी, \(OP^2 = OA^2 + AP^2\) या सूत्रात \(OA = 2\) एकक आणि \(AP = 1\) एकक घ्या.
• \(OP^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5\)
• \(OP = \sqrt{5}\).
• त्याचप्रमाणे कंस काढून \(\sqrt{5}\) दाखवता येते.