सांख्यिकी
सांख्यिकी हा गणिताचा एक महत्त्वाचा भाग आहे जो माहितीचे संकलन, विश्लेषण, स्पष्टीकरण आणि सादरीकरण यासंबंधी आहे. या धड्यात विद्यार्थी सरासरी काढणे शिकतात, जी दिलेल्या माहितीतील प्राप्तांकांची मध्यवर्ती प्रवृत्ती दर्शवते. तसेच, वारंवारता सारणी कशी तयार करावी हे शिकवले जाते, ज्यामुळे मोठ्या माहिती संचाचे वर्गीकरण करणे सोपे होते. दैनंदिन जीवनात आणि विज्ञानाच्या विविध शाखांमध्ये सांख्यिकीचा उपयोग कसा होतो, हे समजून घेणे विद्यार्थ्यांसाठी महत्त्वाचे आहे.
सरासरी (Average)
सांख्यिकीमध्ये, सरासरी म्हणजे दिलेल्या सर्व प्राप्तांकांची बेरीज करून त्या बेरजेला प्राप्तांकांच्या एकूण संख्येने भागणे. ही एक केंद्रीय प्रवृत्तीची मोजमाप आहे जी डेटासेटचे प्रतिनिधित्व करते.
- सरासरीची संकल्पना:
- एखाद्या माहिती संचातील सर्व मूल्यांचे केंद्रस्थान दर्शवणारे एकच मूल्य.
- हे मूल्य सर्व प्राप्तांकांच्या जवळपास असते.
- दैनंदिन जीवनात अनेक ठिकाणी सरासरीचा उपयोग होतो, उदा. विद्यार्थ्यांची सरासरी उंची, सरासरी पाऊस, सरासरी मासिक खर्च.
- सरासरी काढण्याचे सूत्र:
- सरासरी = \(\frac{\text{दिलेल्या माहितीमधील सर्व प्राप्तांकांची बेरीज}}{\text{एकूण प्राप्तांकांची संख्या}}\)
- उदाहरण: अस्मिताला शाळेत जाण्यासाठी लागणारा वेळ (मिनिटांमध्ये): 20, 20, 22, 18, 18, 20
- प्राप्तांकांची बेरीज = \(20 + 20 + 22 + 18 + 18 + 20 = 118\)
- एकूण प्राप्तांकांची संख्या = 6
- सरासरी = \(\frac{118}{6} = 19 \frac{2}{3}\) मिनिटे
- महत्त्वाचे मुद्दे:
- सरासरी काढताना सर्व प्राप्तांक एकाच एककात असणे आवश्यक आहे. (उदा. किमी आणि मीटर असल्यास, दोन्ही मीटरमध्ये रूपांतरित करा).
- सरासरी ही अपूर्णांकात (दशांश अपूर्णांकात) येऊ शकते, जरी मूळ प्राप्तांक पूर्णांक असले तरी.
- सरासरीचा उपयोग विज्ञानाच्या सर्व शाखा, वैद्यक शाखा, भूगोल, अर्थशास्त्र, सामाजिक शास्त्रे इत्यादी विषयांतही होतो.
प्राप्तांक (Data): ज्या संख्यांबद्दल माहिती हवी असते, त्या संख्यांना प्राप्तांक म्हणतात. उदा. विद्यार्थ्यांची उंची, तापमान, वस्तूंची किंमत.
सरासरीचे सूत्र: \(\text{सरासरी} = \frac{\sum \text{प्राप्तांक}}{\text{प्राप्तांकांची एकूण संख्या}}\)
येथे \(\sum\) (सिग्मा) म्हणजे 'बेरीज'.
सरासरी काढताना, जर प्राप्तांक वेगवेगळ्या एककांमध्ये (उदा. मीटर आणि किलोमीटर) दिले असतील, तर प्रथम त्यांना एकाच एककात रूपांतरित करा. ही एक सामान्य चूक टाळण्यासाठी महत्त्वाची पायरी आहे.
वारंवारता वितरण सारणी (Frequency Distribution Table)
जेव्हा दिलेल्या माहितीमध्ये काही प्राप्तांक अनेक वेळा येतात, तेव्हा त्या माहितीचे वारंवारता वितरण सारणी तयार करणे सोयीचे ठरते. ही सारणी माहितीचे सुव्यवस्थित सादरीकरण करते.
- वारंवारता (Frequency): एखादा प्राप्तांक किती वेळा आला आहे, हे दर्शवणाऱ्या संख्येला त्या प्राप्तांकाची वारंवारता म्हणतात.
- वारंवारता सारणीचे घटक:
- प्राप्तांक (Data/Score): लहान संख्येपासून मोठ्या संख्येपर्यंत क्रमाने लिहिलेले प्राप्तांक.
- ताळ्याच्या खुणा (Tally Marks): प्रत्येक प्राप्तांक किती वेळा आला आहे हे दर्शवण्यासाठी वापरल्या जाणाऱ्या खुणा. चार उभ्या खुणांनंतर पाचवी खूण तिरपी मारली जाते (उदा.
||||). यामुळे मोजणी सोपी होते. - वारंवारता (Frequency): ताळ्याच्या खुणांची एकूण संख्या, जी प्राप्तांक किती वेळा आला आहे हे दर्शवते.
- वारंवारता सारणी तयार करण्याच्या पायऱ्या:
- पायरी 1: पहिल्या स्तंभात लहान संख्येपासून मोठ्या संख्येपर्यंतचे सर्व प्राप्तांक क्रमाने लिहा.
- पायरी 2: दिलेल्या माहितीतील प्रत्येक संख्या क्रमाने वाचा. प्रत्येक वेळी संख्या वाचल्यावर, त्या संख्येसमोर दुसऱ्या स्तंभात
|अशी ताळ्याची खूण करा. चार खुणांनंतर पाचवी खूण तिरपी||||अशी करा. - पायरी 3: प्रत्येक प्राप्तांकासमोरील ताळ्याच्या खुणांची संख्या मोजून तिसऱ्या स्तंभात वारंवारता लिहा.
- पायरी 4: शेवटी, सर्व वारंवारतांची बेरीज करा. ही बेरीज
Nया अक्षराने दर्शवतात. ही बेरीज दिलेल्या एकूण प्राप्तांकांइतकीच (एकूण संख्या) असते.N = एकूण प्राप्तांकांची संख्या
- उदाहरण: एका वर्गातील काही मुलींचे घरापासून शाळेपर्यंतचे अंतर (किमी): 1, 3, 2, 4, 5, 4, 1, 3, 4, 5, 6, 4, 6, 4, 6
| प्राप्तांक (अंतर किमी) | ताळ्याच्या खुणा | वारंवारता (f) | |:--------------------:|:--------------:|:--------------:| | 1 | || | 2 | | 2 | | | 1 | | 3 | || | 2 | | 4 | |||| | 5 | | 5 | || | 2 | | 6 | ||| | 3 | | एकूण वारंवारता N | | 15 |
- वारंवारता सारणीचा उपयोग करून सरासरी काढणे:
- जेव्हा प्राप्तांकांची संख्या खूप मोठी असते, तेव्हा वारंवारता सारणी वापरून सरासरी काढणे सोपे होते.
- या पद्धतीत, प्रत्येक प्राप्तांक आणि त्याच्या वारंवारतेचा गुणाकार केला जातो. त्यानंतर या सर्व गुणाकारांची बेरीज करून, तिला एकूण वारंवारतेने (N) भागले जाते.
- सरासरी = \(\frac{\sum (\text{प्राप्तांक} \times \text{वारंवारता})}{\text{एकूण वारंवारता (N)}}\)
- उदाहरण: प्रियाने सोललेल्या वाटाण्याच्या शेंगांमधील दाण्यांची वारंवारता सारणी (NCERT मधील उदाहरण)
| दाण्यांची संख्या (x) | ताळ्याच्या खुणा | वारंवारता (f) | \(x \times f\) | |:--------------------:|:--------------:|:--------------:|:---------:| | 2 | |||| ||| | 8 | 16 | | 3 | |||| |||| |||| | 15 | 45 | | 4 | |||| |||| || | 12 | 48 | | 5 | || | 2 | 10 | | 6 | |||| || | 7 | 42 | | 7 | ||| | 3 | 21 | | 8 | ||| | 3 | 24 | | एकूण N | | 50 | 206 |
- येथे, \(\sum (x \times f) = 206\) आणि \(N = 50\).
- सरासरी = \(\frac{206}{50} = 4.12\)
- म्हणजे, प्रत्येक शेंगेमध्ये साधारणपणे 4.12 दाणे होते. (सरासरी अपूर्णांकात येऊ शकते हे लक्षात ठेवा.)
वारंवारता सारणी माहितीचे संक्षिप्त आणि सुलभ सादरीकरण करते, विशेषतः जेव्हा प्राप्तांकांची संख्या मोठी असते.
ताळ्याच्या खुणा करताना, चार उभ्या खुणांनंतर पाचवी खूण तिरपी मारणे विसरू नका. |||| हे 5 दर्शवते, |||| | हे 6 दर्शवते.
वारंवारता सारणी वापरून सरासरीचे सूत्र: \(\text{सरासरी} = \frac{\sum (\text{प्राप्तांक} \times \text{वारंवारता})}{\text{एकूण वारंवारता (N)}}\)
