वर्तुळ
वर्तुळ हा भूमितीतील एक महत्त्वाचा आकार आहे. या धड्यात विद्यार्थी वर्तुळाची त्रिज्या, व्यास, जीवा, परीघ आणि वर्तुळकंस यांसारख्या मूलभूत संकल्पना शिकतात. वर्तुळाचा परीघ काढण्याचे सूत्र (c = πd किंवा c = 2πr) आणि π (पाय) या स्थिरांकाचे महत्त्व अभ्यासले जाते. तसेच, केंद्रीय कोन आणि कंसाचे माप, लघु- आणि विशालकंस, अर्धवर्तुळकंस यांसारख्या संकल्पना स्पष्ट केल्या आहेत. दैनंदिन जीवनातील वर्तुळाकार वस्तूंची उदाहरणे आणि त्यांच्या परिघाची गणना कशी करावी हे देखील या धड्यात शिकवले जाते.
वर्तुळाची ओळख: त्रिज्या, जीवा, व्यास
वर्तुळ हे एका निश्चित बिंदूपासून समान अंतरावर असलेल्या सर्व बिंदूंचा संच आहे. हा निश्चित बिंदू वर्तुळकेंद्र असतो आणि समान अंतर त्रिज्या असते.
- वर्तुळकेंद्र (Center): वर्तुळाच्या मध्यभागी असलेला बिंदू. याला सहसा 'O' या अक्षराने दर्शवतात.
- त्रिज्या (Radius - r): वर्तुळकेंद्र आणि वर्तुळावरील कोणताही बिंदू यांना जोडणारा रेषाखंड. एका वर्तुळात अनेक त्रिज्या असतात आणि त्या सर्वांची लांबी समान असते.
- जीवा (Chord): वर्तुळावरील कोणत्याही दोन बिंदूंना जोडणारा रेषाखंड. सर्वात मोठी जीवा म्हणजे व्यास.
- व्यास (Diameter - d): वर्तुळकेंद्रामधून जाणारी जीवा. व्यास हा त्रिज्येच्या दुप्पट असतो. म्हणजेच, \(d = 2r\).
महत्वाचे मुद्दे:
- एका वर्तुळात अनंत त्रिज्या, जीवा आणि व्यास काढता येतात.
- सर्व व्यास हे जीवा असतात, पण सर्व जीवा व्यास नसतात.
- वर्तुळाचा व्यास हा वर्तुळाला दोन समान भागांमध्ये (अर्धवर्तुळांमध्ये) विभागतो.
[IMAGE: TODO: वर्तुळातील त्रिज्या, जीवा, व्यास दर्शवणारे आकृती]
उदाहरण: एका वर्तुळाची त्रिज्या 5 सेमी असल्यास, त्याचा व्यास \(2 \times 5 = 10\) सेमी असेल.
वर्तुळ (Circle): एका निश्चित बिंदूपासून समान अंतरावर असलेल्या सर्व बिंदूंचा संच.
व्यास हा वर्तुळातील सर्वात लांब जीवा असतो.
वर्तुळाचा परीघ
वर्तुळाचा परीघ म्हणजे वर्तुळाची बाह्य कडा किंवा वर्तुळाची एकूण लांबी. याला इंग्रजीमध्ये Circumference म्हणतात.
परीघ आणि व्यास यांच्यातील संबंध: कोणत्याही वर्तुळाच्या परिघाचे त्याच्या व्यासाशी असलेले गुणोत्तर नेहमी स्थिर असते. या स्थिर संख्येला π (पाय) असे म्हणतात.
- \(\frac{\text{परीघ (c)}}{\text{व्यास (d)}} = \pi\)
- म्हणजेच, \(c = \pi d\)
आपल्याला माहित आहे की \(d = 2r\), म्हणून त्रिज्येच्या स्वरूपात परिघाचे सूत्र असे लिहिता येते:
- \(c = \pi (2r)\)
- म्हणजेच, \(c = 2\pi r\)
π (पाय) ची किंमत:
- π ही एक अपरिमेय संख्या आहे. तिची किंमत अंदाजे \(\frac{22}{7}\) किंवा \(3.14\) घेतली जाते.
- गणिते सोडवताना, जर π ची किंमत दिली नसेल, तर ती \(\frac{22}{7}\) घ्यावी.
परीघ मोजण्याची कृती (Activity):
- एखादी वर्तुळाकार वस्तू (उदा. बांगडी, बाटलीचे झाकण) घ्या.
- एका दोऱ्याच्या साहाय्याने त्या वस्तूचा परीघ मोजा.
- त्याच वस्तूचा व्यास मोजा.
- परीघ आणि व्यासाचे गुणोत्तर काढा. तुम्हाला ते अंदाजे 3.14 दिसेल.
परीघाच्या सूत्रांचा वापर:
- परीघ काढण्यासाठी व्यास किंवा त्रिज्या आवश्यक असते.
- परीघ दिला असल्यास, व्यास किंवा त्रिज्या काढता येते.
एकके: परीघ, व्यास आणि त्रिज्येची एकके समान असावी लागतात (उदा. सेमी, मीटर, किमी).
परीघाचे सूत्र:
- \(c = \pi d\)
- \(c = 2\pi r\)
\(\pi\) ची किंमत दिली नसल्यास \(\frac{22}{7}\) वापरावी.
परीघ काढताना व्यास आणि त्रिज्येमध्ये गोंधळ करू नका. \(d = 2r\) हे लक्षात ठेवा.
वर्तुळकंस: लघु-कंस, विशाल-कंस, अर्धवर्तुळकंस
वर्तुळाच्या परिघाच्या कोणत्याही भागाला वर्तुळकंस (Arc) म्हणतात. वर्तुळावरील दोन बिंदूंमुळे वर्तुळाचे दोन कंस तयार होतात.
- लघु-कंस (Minor Arc): वर्तुळावरील दोन बिंदूंमुळे तयार होणाऱ्या दोन कंसांपैकी जो लहान असतो, त्याला लघु-कंस म्हणतात. उदा. कंस AXB.
- लघु-कंसाला सहसा दोन अक्षरांनी (उदा. कंस AB) किंवा तीन अक्षरांनी (उदा. कंस AXB) दर्शवतात.
- विशाल-कंस (Major Arc): वर्तुळावरील दोन बिंदूंमुळे तयार होणाऱ्या दोन कंसांपैकी जो मोठा असतो, त्याला विशाल-कंस म्हणतात. उदा. कंस AYB.
- विशाल-कंसाला नेहमी तीन अक्षरांनी (उदा. कंस AYB) दर्शवतात, जेणेकरून तो लघु-कंसापासून वेगळा ओळखता येईल.
[IMAGE: TODO: लघु-कंस आणि विशाल-कंस दर्शवणारे आकृती]
- संगतकंस (Corresponding Arcs): ज्या दोन वर्तुळकंसांचे अंत्यबिंदू सामाईक असतात आणि ते दोन वर्तुळकंस मिळून पूर्ण वर्तुळ तयार होते, ते कंस एकमेकांचे संगतकंस असतात. उदा. कंस AXB आणि कंस AYB हे संगतकंस आहेत.
- अर्धवर्तुळकंस (Semicircular Arc): जेव्हा जीवा वर्तुळाचा व्यास असते, तेव्हा ती वर्तुळाला दोन समान कंसांमध्ये विभागते. या प्रत्येक कंसाला अर्धवर्तुळकंस म्हणतात. अर्धवर्तुळकंस हे एकमेकांचे संगतकंस असतात.
- उदा. व्यासामुळे तयार होणारे कंस RXT आणि RYT हे अर्धवर्तुळकंस आहेत.
[IMAGE: TODO: अर्धवर्तुळकंस दर्शवणारे आकृती]
लक्षात ठेवा:
- लघु-कंस हा 180° पेक्षा लहान असतो.
- विशाल-कंस हा 180° पेक्षा मोठा असतो.
- अर्धवर्तुळकंस हा बरोबर 180° असतो.
वर्तुळकंस (Arc): वर्तुळाच्या परिघाचा एक भाग.
जीवा ही वर्तुळाला दोन कंसांमध्ये विभागते - एक लघु-कंस आणि एक विशाल-कंस (व्यास सोडून).
केंद्रीय कोन आणि कंसाचे माप
वर्तुळकेंद्र ज्या कोनाचा शिरोबिंदू असतो, त्या कोनाला केंद्रीय कोन (Central Angle) म्हणतात. केंद्रीय कोन हा नेहमी वर्तुळाच्या केंद्रावर तयार होतो.
[IMAGE: TODO: केंद्रीय कोन आणि संबंधित कंस दर्शवणारे आकृती]
- कंसाचे माप (Measure of an Arc): वर्तुळ कंसाने केलेल्या केंद्रीय कोनाचे माप हे त्या कंसाचे माप मानले जाते.
1. लघु-कंसाचे माप:
- लघु-कंसाचे माप हे त्याच्या संबंधित केंद्रीय कोनाच्या मापाएवढे असते.
- उदा. जर केंद्रीय कोन \(\angle AOQ = 70^\circ\) असेल, तर लघु-कंस AYQ चे माप \(m(\text{कंस AYQ}) = 70^\circ\).
2. विशाल-कंसाचे माप:
- विशाल-कंसाचे माप काढण्यासाठी, पूर्ण वर्तुळाच्या मापातून संगत लघु-कंसाचे माप वजा केले जाते.
- विशाल-कंसाचे माप = \(360^\circ\) - संगत लघु-कंसाचे माप
- उदा. जर लघु-कंस AYQ चे माप \(70^\circ\) असेल, तर विशाल-कंस AXQ चे माप \(360^\circ - 70^\circ = 290^\circ\).
3. पूर्ण वर्तुळाचे माप:
- पूर्ण वर्तुळाचे माप \(360^\circ\) असते. कारण, केंद्राभोवतीचा पूर्ण कोन \(360^\circ\) असतो.
4. अर्धवर्तुळकंसाचे माप:
- अर्धवर्तुळकंसाचे माप हे पूर्ण वर्तुळाच्या मापाच्या निम्मे असते.
- अर्धवर्तुळकंसाचे माप = \(\frac{360^\circ}{2} = 180^\circ\)
- हे व्यासामुळे तयार होणाऱ्या दोन समान कंसांचे माप असते.
ICT Tools (Geogebra): Geogebra सारख्या सॉफ्टवेअरचा वापर करून केंद्रीय कोन आणि कंसाची मापे कशी बदलतात, हे प्रत्यक्ष अनुभवता येते. त्रिज्या फिरवून कंसाचे माप कसे बदलते, हे पाहता येते.
- \(m(\text{लघु-कंस}) = \text{संबंधित केंद्रीय कोनाचे माप}\)
- \(m(\text{विशाल-कंस}) = 360^\circ - m(\text{संगत लघु-कंस})\)
- \(m(\text{पूर्ण वर्तुळ}) = 360^\circ\)
- \(m(\text{अर्धवर्तुळकंस}) = 180^\circ\)
कंसाचे माप आणि केंद्रीय कोनाचे माप यांच्यातील संबंधावर आधारित प्रश्न बोर्ड परीक्षेत वारंवार विचारले जातात. हे सूत्रे नीट लक्षात ठेवा.
