बैजिक राशी व त्यांवरील क्रिया

गणित आणि विज्ञानात, अज्ञात संख्या दर्शवण्यासाठी अक्षरांचा वापर केला जातो. या अक्षरांना चले (Variables) म्हणतात. चले आणि संख्या यांच्यामध्ये बेरीज, वजाबाकी, गुणाकार, भागाकार यांसारख्या क्रिया वापरून तयार होणाऱ्या मांडणीला बैजिक राशी (Algebraic Expression) म्हणतात.

• चल (Variable): ज्याची किंमत बदलू शकते, असे अक्षर (उदा. x, y, a, b, n, t).
• स्थिरांक (Constant): ज्याची किंमत निश्चित असते, अशी संख्या (उदा. 3, 5, -7, 1/2).
• उदाहरणार्थ:
• एका चौरसाची बाजू 'n' असेल, तर त्याची परिमिती \(4n\) ही एक बैजिक राशी आहे.
• एका आयताची लांबी 'l' आणि रुंदी 'b' असेल, तर त्याची परिमिती \(2(l+b)\) ही एक बैजिक राशी आहे.
• \(3n+1\), \(3t\), \(2x+3y\), \(2(l+b)\) ही सर्व बैजिक राशींची उदाहरणे आहेत.

आकृतिबंधाचे निरीक्षण: काड्यांच्या रचनेचे उदाहरण:

• चौरसांची संख्या: n
• काड्यांची संख्या: \(3n+1\)
• 1 चौरस: \(3 \times 1 + 1 = 4\) काड्या
• 2 चौरस: \(3 \times 2 + 1 = 7\) काड्या
• 3 चौरस: \(3 \times 3 + 1 = 10\) काड्या
• यामध्ये 'n' हे चल आहे आणि \(3n+1\) ही बैजिक राशी आहे.

बैजिक राशीतील प्रत्येक भागाला पद (Term) म्हणतात. पदे बेरीज किंवा वजाबाकीच्या चिन्हाने वेगळी केली जातात. प्रत्येक पदात एक संख्यात्मक भाग आणि एक चलात्मक भाग असतो.

• पद (Term): ज्या राशीत फक्त गुणाकार ही एकच क्रिया असते, त्या राशीला पद म्हणतात. उदा. \(4x^2\), \(-2y\), \(\frac{5}{6}xz\).
• सहगुणक (Coefficient): पदातील चलांच्या गुणाकाराला ज्या संख्येने गुणले जाते, त्या संख्येला त्या चलाचा सहगुणक म्हणतात.
• उदा. \(3x\) मध्ये, \(3\) हा \(x\) चा सहगुणक आहे.
• उदा. \(-15t\) मध्ये, \(-15\) हा \(t\) चा सहगुणक आहे.
• उदा. \(a\) मध्ये, \(1\) हा \(a\) चा सहगुणक आहे (कारण \(a = 1a\)).

उदाहरणे: बैजिक राशी: \(4x^2 - 2y + \frac{5}{6}xz\)

• पहिले पद: \(4x^2\) (सहगुणक: \(4\))
• दुसरे पद: \(-2y\) (सहगुणक: \(-2\))
• तिसरे पद: \(\frac{5}{6}xz\) (सहगुणक: \(\frac{5}{6}\))

लक्षात ठेवा:

• \(15 - x\) या बैजिक राशीत दोन पदे आहेत: \(15\) आणि \(-x\). येथे \(-x\) या पदातील \(x\) चा सहगुणक \(-1\) आहे (कारण \(-x = -1x\)).

• सजातीय पदे (Like Terms): ज्या पदांतील चले आणि त्यांचे घातांक समान असतात, त्या पदांना सजातीय पदे म्हणतात.
• उदाहरणे:
• \(2x, 5x, -\frac{2}{3}x\) (येथे चल \(x\) आणि त्याचा घातांक \(1\) समान आहे.)
• \(-5x^2y, \frac{6}{7}yx^2\) (येथे चले \(x, y\) आणि त्यांचे घातांक \(x^2, y^1\) समान आहेत. क्रम महत्त्वाचा नाही, \(yx^2 = x^2y\).)

• विजातीय पदे (Unlike Terms): ज्या पदांतील चले किंवा त्यांचे घातांक समान नसतात, त्या पदांना विजातीय पदे म्हणतात.
• उदाहरणे:
• \(7xy, 9y^2, -2xyz\) (चले आणि घातांक भिन्न आहेत.)
• \(8mn, 8m^2n^2, 8m^3n\) (चले समान असले तरी त्यांचे घातांक भिन्न आहेत.)

महत्वाचे: बैजिक राशींची बेरीज आणि वजाबाकी करताना फक्त सजातीय पदांचीच बेरीज किंवा वजाबाकी करता येते.

बैजिक राशीतील पदांच्या संख्येवरून त्यांचे वर्गीकरण केले जाते:

• एकपदी (Monomial): ज्या राशीत फक्त एकच पद असते.
• उदा. \(4x\), \(\frac{5}{6}m\), \(-7\)

• द्विपदी (Binomial): ज्या राशीत दोन पदे असतात.
• उदा. \(2x - 3y\), \(2l + 2b\), \(3mn - 5m^2n\)

• त्रिपदी (Trinomial): ज्या राशीत तीन पदे असतात.
• उदा. \(a + b + c\), \(x^2 - 5x + 6\), \(8a^3 - 5a^2b + c\)

• बहुपदी (Polynomial): ज्या राशीत तीनहून अधिक पदे असतात, किंवा सामान्यतः एक किंवा अधिक पदे असलेल्या राशींना बहुपदी म्हणतात (एकपदी, द्विपदी, त्रिपदी या सर्व बहुपदीच आहेत, परंतु सोयीसाठी त्यांचे विशिष्ट वर्गीकरण केले जाते).
• उदा. \(a^3 - 3a^2b + 3ab - b^3\)
• उदा. \(4x^4 - 7x^2 + 9 - 5x^3 - 16x\)
• उदा. \(5x^5 - \frac{1}{2}x + 8x^3 - 5\)

बैजिक राशींची बेरीज करताना फक्त सजातीय पदांचीच बेरीज करता येते. सजातीय पदांची बेरीज करताना त्यांच्या सहगुणकांची बेरीज करून त्यापुढे चल लिहितात.

• एकपदींची बेरीज:
• उदा. \(3\) पेरू + \(4\) पेरू = \((3+4)\) पेरू = \(7\) पेरू
• उदा. \(3x + 4x = (3+4)x = 7x\)
• उदा. \(-3x - 8x + 5x = (-3-8+5)x = -6x\)
• उदा. \(\frac{2}{3}ab - \frac{5}{7}ab = (\frac{2}{3} - \frac{5}{7})ab = (\frac{14-15}{21})ab = -\frac{1}{21}ab\)
• उदा. \(-2p^2 + 7p^2 = (-2+7)p^2 = 5p^2\)

• द्विपदी आणि बहुपदींची बेरीज:
• आडवी मांडणी (Horizontal Method):
• सजातीय पदे जवळ घेऊन त्यांची बेरीज करा.
• उदा. \((2x + 4y) + (3x + 2y)\)
• \(= 2x + 3x + 4y + 2y\)
• \(= (2+3)x + (4+2)y\)
• \(= 5x + 6y\)
• उभी मांडणी (Vertical Method):
• सजातीय पदे एकाखाली एक मांडून बेरीज करा.
• उदा. \((2x + 4y) + (3x + 2y)\)

` 2x + 4y

• 3x + 2y

---------- 5x + 6y `

• अधिक उदाहरणे:
• \((9x^2y^2 - 7xy) + (3x^2y^2 + 4xy)\)
• आडवी मांडणी:
• \(= 9x^2y^2 - 7xy + 3x^2y^2 + 4xy\)
• \(= (9x^2y^2 + 3x^2y^2) + (-7xy + 4xy)\)
• \(= 12x^2y^2 - 3xy\)
• उभी मांडणी:

` 9x^2y^2 - 7xy

• 3x^2y^2 + 4xy

---------------- 12x^2y^2 - 3xy `

बैजिक राशींची वजाबाकी करताना, पूर्णांकांच्या वजाबाकीच्या नियमाचा वापर केला जातो: 'एका संख्येतून दुसरी संख्या वजा करणे म्हणजे पहिल्या संख्येत दुसऱ्या संख्येची विरुद्ध संख्या मिळवणे'.

• नियम: \(A - B = A + (-B)\)
• दुसरी राशी वजा करताना, त्या राशीतील प्रत्येक पदाचे चिन्ह बदलून पहिल्या राशीत मिळवा.

• उदाहरणे:
• \(9x - 4x = (9 + (-4))x = 5x\)

• बहुपदींची वजाबाकी:
• आडवी मांडणी (Horizontal Method):
• उदा. \((16x + 23y + 12z) - (9x - 27y + 14z)\)
• कंसाच्या बाहेर वजा चिन्ह असल्याने, दुसऱ्या कंसातील प्रत्येक पदाचे चिन्ह बदला.
• \(= 16x + 23y + 12z - 9x + 27y - 14z\)
• सजातीय पदे एकत्र घ्या:
• \(= (16x - 9x) + (23y + 27y) + (12z - 14z)\)
• \(= 7x + 50y - 2z\)
• उभी मांडणी (Vertical Method):
• दुसऱ्या राशीतील पदांचे चिन्ह बदलून बेरीज करा.
• उदा. \((16x + 23y + 12z) - (9x - 27y + 14z)\)

` 16x + 23y + 12z

• (9x - 27y + 14z)

------------------ 16x + 23y + 12z

• 9x + 27y - 14z (चिन्ह बदलून)

------------------ 7x + 50y - 2z `

बैजिक राशींचा गुणाकार करताना, सहगुणकांचा गुणाकार वेगळा आणि चलांचा गुणाकार वेगळा करतात. चलांचा गुणाकार करताना घातांकांच्या नियमांचा वापर करतात (उदा. \(x^m \times x^n = x^{m+n}\)).

• एकपदीला एकपदीने गुणणे:
• सहगुणकांचा गुणाकार करा आणि चलांचा गुणाकार करा.
• उदा. \(3x \times 12y = (3 \times 12) \times (x \times y) = 36xy\)
• उदा. \((-12x) \times 3y^2 = (-12 \times 3) \times (x \times y^2) = -36xy^2\)
• उदा. \(2a^2 \times 3ab^2 = (2 \times 3) \times (a^2 \times a) \times b^2 = 6a^{2+1}b^2 = 6a^3b^2\)
• उदा. \((-3x^2) \times (-4xy) = (-3 \times -4) \times (x^2 \times x) \times y = 12x^{2+1}y = 12x^3y\)

• द्विपदीला एकपदीने गुणणे:
• वितरण नियमाचा (Distributive Law) वापर करा: \(a(b+c) = ab + ac\).
• उदा. \(x(x+y) = x \times x + x \times y = x^2 + xy\)
• उदा. \((7x - 6y) \times 3z = (7x \times 3z) - (6y \times 3z) = 21xz - 18yz\)

• द्विपदीला द्विपदीने गुणणे:
• येथेही वितरण नियमाचा वापर करतात. एका द्विपदीतील प्रत्येक पदाने दुसऱ्या द्विपदीतील प्रत्येक पदाला गुणा.
• उदा. \((3x + 4y)(5x + 7y)\)
• \(= 3x(5x + 7y) + 4y(5x + 7y)\)
• \(= (3x \times 5x) + (3x \times 7y) + (4y \times 5x) + (4y \times 7y)\)
• \(= 15x^2 + 21xy + 20xy + 28y^2\)
• सजातीय पदांची बेरीज करा:
• \(= 15x^2 + 41xy + 28y^2\)
• उभी मांडणी (Vertical Method):

` 3x + 4y x 5x + 7y ---------- 15x^2 + 20xy (5x ने गुणून)

• 21xy + 28y^2 (7y ने गुणून)

------------------ 15x^2 + 41xy + 28y^2 (बेरीज करून) `

• उपयोजन (Application):
• एका आयताकृती शेताची लांबी \((2x + 7)\) मी व रुंदी \((x + 2)\) मी आहे, तर त्याचे क्षेत्रफळ काढा.
• उकल:
• आयताचे क्षेत्रफळ = लांबी \(\times\) रुंदी
• \(= (2x + 7) \times (x + 2)\)
• \(= 2x(x + 2) + 7(x + 2)\)
• \(= 2x^2 + 4x + 7x + 14\)
• \(= 2x^2 + 11x + 14\)
• म्हणून, आयताकृती शेताचे क्षेत्रफळ \((2x^2 + 11x + 14)\) मी\(^2\) आहे.

एकचल समीकरण (Equation in one variable) म्हणजे असे समीकरण ज्यात फक्त एकच चल असते आणि चलाची सर्वात मोठी घात \(1\) असते. समीकरणाच्या दोन्ही बाजू समान असतात. समीकरणाची उकल करणे म्हणजे चलाची अशी किंमत शोधणे, ज्यामुळे समीकरण सत्य ठरते.

• समीकरण सोडवण्याचे नियम:
• समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना समान संख्या मिळवल्यास किंवा वजा केल्यास समीकरण संतुलित राहते.
• समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना समान शून्य नसलेल्या संख्येने गुणल्यास किंवा भागल्यास समीकरण संतुलित राहते.
• एखादे पद समीकरणातील '=' चिन्हाच्या एका बाजूकडून दुसऱ्या बाजूकडे नेत असताना त्याचे चिन्ह बदलावे लागते (उदा. \(+ \rightarrow -\), \(- \rightarrow +\), \(\times \rightarrow \div\), \(\div \rightarrow \times\)).

• उदाहरणे:
• उदा. 1: \(2x + 2 = 8\)
• \(2x + 2 - 2 = 8 - 2\) (दोन्ही बाजूंमधून \(2\) वजा केले)
• \(2x = 6\)
• \(\frac{2x}{2} = \frac{6}{2}\) (दोन्ही बाजूंना \(2\) ने भागले)
• \(x = 3\)
• उदा. 2: \(3x - 5 = x - 17\)
• \(3x - x = -17 + 5\) (चलाची पदे एका बाजूला, स्थिरांक दुसऱ्या बाजूला)
• \(2x = -12\)
• \(x = \frac{-12}{2}\)
• \(x = -6\)

• दैनंदिन जीवनातील उपयोजन:
• उदा. 1: एका आयताची लांबी तिच्या रुंदीच्या दुपटीपेक्षा 1 सेमी जास्त आहे. त्या आयताची परिमिती 50 सेमी असल्यास, त्याची लांबी किती?
• उकल:
• आयताची रुंदी \(= x\) सेमी मानू.
• आयताची लांबी \(= (2x + 1)\) सेमी.
• आयताची परिमिती \(= 2 \times (लांबी + रुंदी)\)
• \(50 = 2((2x + 1) + x)\)
• \(50 = 2(3x + 1)\)
• \(50 = 6x + 2\)
• \(50 - 2 = 6x\)
• \(48 = 6x\)
• \(x = \frac{48}{6}\)
• \(x = 8\)
• म्हणून, रुंदी \(= 8\) सेमी.
• लांबी \(= 2x + 1 = 2(8) + 1 = 16 + 1 = 17\) सेमी.

• उदा. 2: एक नैसर्गिक संख्या व तिची लगतची पुढची संख्या यांची बेरीज 69 आहे, तर त्या संख्या कोणत्या?
• उकल:
• पहिली नैसर्गिक संख्या \(= x\) मानू.
• लगतची पुढची संख्या \(= x + 1\).
• समीकरण: \(x + (x + 1) = 69\)
• \(2x + 1 = 69\)
• \(2x = 69 - 1\)
• \(2x = 68\)
• \(x = \frac{68}{2}\)
• \(x = 34\)
• म्हणून, पहिली संख्या \(= 34\) आणि दुसरी संख्या \(= 34 + 1 = 35\).