घातांक

जेव्हा एखादी संख्या स्वतःला अनेक वेळा गुणते, तेव्हा ती क्रिया घातांक रूपात मांडली जाते. या मांडणीला घातांकित संख्या म्हणतात.

• पाया (Base): जी संख्या वारंवार गुणली जाते, तिला पाया म्हणतात.
• घातांक (Index/Exponent): ती संख्या किती वेळा गुणली गेली आहे, हे दर्शवणारी संख्या. घातांक पायाच्या वर उजवीकडे लहान अक्षरात लिहितात.

उदाहरण: \(5 \times 5 \times 5 \times 5 = 5^4\)

• येथे, 5 हा पाया आहे.
• 4 हा घातांक आहे.
• याचे वाचन '5 चा घातांक 4' किंवा '5 चा चौथा घात' असे करतात.

सामान्य रूप: जर \(a\) ही कोणतीही संख्या असेल आणि \(m\) हा धन पूर्णांक असेल, तर \(a \times a \times a \times \ldots \text{(m वेळा)} = a^m\).

• \(a^m\) चे वाचन 'a चा घातांक m' किंवा 'a चा m वा घात' असे करतात.

महत्वाचे मुद्दे:

• कोणत्याही संख्येचा पहिला घात म्हणजे ती संख्याच असते. उदा. \(7^1 = 7\), \(10^1 = 10\).
• घातांक 1 असेल तर तो सहसा लिहित नाहीत. उदा. \(5^1 = 5\), \(a^1 = a\).
• ऋण संख्यांचा घातांक: \((-2/3)^3 = (-2/3) \times (-2/3) \times (-2/3) = -8/27\).
• घातांक विषम असल्यास, ऋण संख्येचा घात ऋण असतो.
• घातांक सम असल्यास, ऋण संख्येचा घात धन असतो. उदा. \((-3)^2 = (-3) \times (-3) = 9\).

घातांकित संख्यांचे मूल्य काढणे:

• \(5^4 = 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 625\).
• \((-2)^3 = (-2) \times (-2) \times (-2) = -8\).
• \((3/4)^2 = (3/4) \times (3/4) = 9/16\).

घातांकाच्या विशेष प्रकारांना विशिष्ट नावे आहेत:

• वर्ग (Square): जेव्हा एखाद्या संख्येचा घातांक 2 असतो, तेव्हा त्या संख्येला त्या संख्येचा वर्ग म्हणतात. उदा. \(3^2\) चे वाचन '3 चा वर्ग' किंवा '3 चा दुसरा घात' असे करतात.
• \(3^2 = 3 \times 3 = 9\).
• \(5^2 = 5 \times 5 = 25\).
• घन (Cube): जेव्हा एखाद्या संख्येचा घातांक 3 असतो, तेव्हा त्या संख्येला त्या संख्येचा घन म्हणतात. उदा. \(5^3\) चे वाचन '5 चा घन' किंवा '5 चा तिसरा घात' असे करतात.
• \(5^3 = 5 \times 5 \times 5 = 125\).
• \(2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8\).

लक्षात ठेवा:

• कोणत्याही संख्येचा दुसरा घात म्हणजे त्या संख्येचा वर्ग होय.
• कोणत्याही संख्येचा तिसरा घात म्हणजे त्या संख्येचा घन होय.

घातांकित संख्यांवरील गणिते सोपी करण्यासाठी काही मूलभूत नियम आहेत. हे नियम लक्षात ठेवणे अत्यंत महत्त्वाचे आहे.

1. समान पाया असलेल्या घातांकित संख्यांचा गुणाकार

• नियम: जर \(a\) ही परिमेय संख्या असेल आणि \(m\) व \(n\) हे धन पूर्णांक असतील, तर \(a^m \times a^n = a^{(m+n)}\).
• स्पष्टीकरण: जेव्हा पाया समान असतो, तेव्हा गुणाकार करताना घातांकांची बेरीज होते.
• उदाहरण:
• \(2^4 \times 2^3 = (2 \times 2 \times 2 \times 2) \times (2 \times 2 \times 2) = 2^7\).
• नियम वापरून: \(2^4 \times 2^3 = 2^{(4+3)} = 2^7\).
• \((-3)^2 \times (-3)^3 = (-3)^{(2+3)} = (-3)^5\).
• \((6/7)^3 \times (6/7)^5 = (6/7)^{(3+5)} = (6/7)^8\).

2. समान पाया असलेल्या घातांकित संख्यांचा भागाकार

• नियम: जर \(a\) ही शून्येतर परिमेय संख्या असेल आणि \(m\) व \(n\) हे पूर्णांक असतील, तर \(a^m \div a^n = a^{(m-n)}\).
• स्पष्टीकरण: जेव्हा पाया समान असतो, तेव्हा भागाकार करताना घातांकांची वजाबाकी होते.
• उदाहरण:
• \(6^4 \div 6^2 = \frac{6 \times 6 \times 6 \times 6}{6 \times 6} = 6 \times 6 = 6^2\).
• नियम वापरून: \(6^4 \div 6^2 = 6^{(4-2)} = 6^2\).
• \((-2)^5 \div (-2)^3 = (-2)^{(5-3)} = (-2)^2\).
• \(3^4 \div 3^6 = 3^{(4-6)} = 3^{-2}\).

3. शून्य घातांक (Zero Exponent)

• नियम: जर \(a\) ही शून्येतर परिमेय संख्या असेल, तर \(a^0 = 1\).
• स्पष्टीकरण: कोणत्याही शून्येतर संख्येचा घातांक शून्य असल्यास, त्याचे मूल्य 1 असते.
• उदाहरण:
• \(5^0 = 1\).
• \((-7)^0 = 1\).
• \((4/5)^0 = 1\).
• हे \(a^m \div a^m = a^{(m-m)} = a^0\) आणि \(a^m \div a^m = 1\) यावरून सिद्ध होते.

4. ऋण घातांक (Negative Exponent)

• नियम: जर \(a\) ही शून्येतर परिमेय संख्या असेल आणि \(m\) हा धन पूर्णांक असेल, तर \(a^{-m} = \frac{1}{a^m}\).
• स्पष्टीकरण: ऋण घातांक असलेली संख्या तिच्या व्यस्त संख्येच्या धन घातांकाच्या रूपात लिहिली जाते.
• उदाहरण:
• \(3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}\).
• \((4/7)^{-3} = \frac{1}{(4/7)^3} = \frac{1}{64/343} = \frac{343}{64} = (7/4)^3\).
• विशेष नियम: \((a/b)^{-m} = (b/a)^m\).

5. दोन संख्यांच्या गुणाकाराचा घात

• नियम: जर \(a\) व \(b\) या शून्येतर परिमेय संख्या असतील आणि \(m\) हा पूर्णांक असेल, तर \((a \times b)^m = a^m \times b^m\).
• स्पष्टीकरण: गुणाकाराचा घात म्हणजे प्रत्येक अवयवाचा घात घेऊन त्यांचा गुणाकार करणे.
• उदाहरण:
• \((2 \times 3)^4 = (2 \times 3) \times (2 \times 3) \times (2 \times 3) \times (2 \times 3) = 2^4 \times 3^4\).

6. दोन संख्यांच्या भागाकाराचा घात

• नियम: जर \(a\) व \(b\) या शून्येतर परिमेय संख्या असतील आणि \(m\) हा पूर्णांक असेल, तर \((a/b)^m = a^m / b^m\).
• स्पष्टीकरण: भागाकाराचा घात म्हणजे अंश आणि छेद या दोघांचाही घात घेणे.
• उदाहरण:
• \((4/5)^3 = \frac{4}{5} \times \frac{4}{5} \times \frac{4}{5} = \frac{4 \times 4 \times 4}{5 \times 5 \times 5} = \frac{4^3}{5^3}\).

7. घातांकित संख्येचा घात (Power of a Power)

• नियम: जर \(a\) ही शून्येतर परिमेय संख्या असेल आणि \(m\) व \(n\) या पूर्णांक संख्या असतील, तर \((a^m)^n = a^{(m \times n)} = a^{mn}\).
• स्पष्टीकरण: घातांकाचा घात असल्यास, घातांकांचा गुणाकार होतो.
• उदाहरण:
• \((5^2)^3 = 5^2 \times 5^2 \times 5^2 = 5^{(2+2+2)} = 5^{(2 \times 3)} = 5^6\).
• \((7^{-2})^5 = 7^{(-2 \times 5)} = 7^{-10}\).
• \(((2/5)^{-2})^3 = (2/5)^{(-2 \times 3)} = (2/5)^{-6}\).

8. ऋण 1 चा घातांक

• नियम:
• जर \(m\) ही सम संख्या असेल, तर \((-1)^m = 1\).
• जर \(m\) ही विषम संख्या असेल, तर \((-1)^m = -1\).
• उदाहरण:
• \((-1)^6 = 1\) (कारण 6 सम आहे).
• \((-1)^5 = -1\) (कारण 5 विषम आहे).

वर्ग (Square)

• एखाद्या संख्येला त्याच संख्येने गुणल्यास मिळणाऱ्या गुणाकाराला त्या संख्येचा वर्ग म्हणतात.
• उदाहरण: \(6 \times 6 = 6^2 = 36\). येथे 36 हा 6 चा वर्ग आहे.
• ऋण संख्यांचा वर्ग: ऋण संख्येचा वर्ग नेहमी धन असतो. उदा. \((-5) \times (-5) = (-5)^2 = 25\).

वर्गमूळ (Square Root)

• दिलेल्या संख्येचा वर्गमूळ म्हणजे अशी संख्या, जिचा वर्ग केल्यास दिलेली संख्या मिळते.
• वर्गमूळासाठी \(\sqrt{}\) हे चिन्ह वापरतात.
• उदाहरण: \(3 \times 3 = 9\). म्हणून 9 चे वर्गमूळ 3 आहे, जे \(\sqrt{9} = 3\) असे लिहितात.
• धन संख्येची दोन वर्गमूळे: कोणत्याही धन संख्येची दोन वर्गमूळे असतात - एक धन आणि एक ऋण.
• उदा. \(81 = 9 \times 9\) आणि \(81 = (-9) \times (-9)\).
• म्हणून, \(\sqrt{81} = 9\) आणि \(-\sqrt{81} = -9\).
• गणितामध्ये, आपण सहसा धन वर्गमूळाचा विचार करतो, जो \(\sqrt{x}\) ने दर्शविला जातो.

अविभाज्य अवयव पद्धतीने वर्गमूळ काढणे

मोठ्या संख्यांचे वर्गमूळ काढण्यासाठी ही पद्धत उपयुक्त आहे.

पायऱ्या:

1. दिलेल्या संख्येचे अविभाज्य अवयव पाडा.
2. समान अवयवांच्या जोड्या (Pairs) तयार करा.
3. प्रत्येक जोडीतून एक अवयव घ्या.
4. या निवडलेल्या अवयवांचा गुणाकार करा. तोच त्या संख्येचा वर्गमूळ असतो.

उदाहरण 1: 144 चे वर्गमूळ काढा.

1. अविभाज्य अवयव: \(144 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3\).
2. जोड्या: \((2 \times 2) \times (2 \times 2) \times (3 \times 3)\).
3. प्रत्येक जोडीतून एक अवयव: 2, 2, 3.
4. गुणाकार: \(2 \times 2 \times 3 = 12\).

म्हणून, \(\sqrt{144} = 12\).

उदाहरण 2: 324 चे वर्गमूळ काढा.

1. अविभाज्य अवयव: \(324 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3\).
2. जोड्या: \((2 \times 2) \times (3 \times 3) \times (3 \times 3)\).
3. प्रत्येक जोडीतून एक अवयव: 2, 3, 3.
4. गुणाकार: \(2 \times 3 \times 3 = 18\).

म्हणून, \(\sqrt{324} = 18\).