Home › Maharashtra › Class 7 › Maths › परिमेय संख्ा व त्यांवरील क्रिया
Maharashtra · Class 7 · 🧮 Maths · Chapter 5

परिमेय संख्ा व त्यांवरील क्रिया

परिमेय संख्यापरिमेय संख्यांवरील क्रियागुणाकार व्यस्तदोन परिमेय संख्यांमधील संख्यादशांश रूपपदावली सोडवण्याचे नियम

हा धडा परिमेय संख्यांची सखोल ओळख करून देतो. नैसर्गिक संख्या, पूर्णांक संख्या आणि अपूर्णांक संख्या या सर्वांना सामावून घेणाऱ्या परिमेय संख्यांचा समूह विद्यार्थ्यांना समजतो. या धड्यात परिमेय संख्यांवरील मूलभूत क्रिया जसे की बेरीज, वजाबाकी, गुणाकार आणि भागाकार शिकवले जातात. तसेच, दोन परिमेय संख्यांच्या दरम्यान असंख्य परिमेय संख्या कशा शोधायच्या आणि परिमेय संख्यांचे खंडित व आवर्ती दशांश रूप कसे असते हे स्पष्ट केले आहे. पदावली सोडवण्याचे नियम, कंसाचा वापर आणि क्रियांचा योग्य क्रम यांसारख्या महत्त्वाच्या संकल्पनांचाही यात समावेश आहे, ज्यामुळे गणितातील अचूकता वाढते.

परिमेय संख्ा (Rational Numbers)

परिमेय संख्या म्हणजे अशा संख्या ज्यांना p/q या स्वरूपात लिहिता येते, जिथे p आणि q हे पूर्णांक असतात आणि q हा शून्य नसतो (q ≠ 0).

  • नैसर्गिक संख्या (Natural Numbers): 1, 2, 3, ... (मोजसंख्या).
  • पूर्ण संख्या (Whole Numbers): 0, 1, 2, 3, ... (नैसर्गिक संख्या + शून्य).
  • पूर्णांक संख्या (Integers): ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... (पूर्ण संख्या + ऋण नैसर्गिक संख्या).
  • परिमेय संख्या (Rational Numbers): वरील सर्व संख्या परिमेय संख्यांमध्ये समाविष्ट होतात. उदाहरणार्थ, 4 = 4/1, -3 = -3/1, 0 = 0/1 किंवा 0/2.

महत्त्वाचे:

  • प्रत्येक नैसर्गिक संख्या ही पूर्ण संख्या असते.
  • प्रत्येक पूर्ण संख्या ही पूर्णांक संख्या असते.
  • प्रत्येक पूर्णांक संख्या ही परिमेय संख्या असते.
  • अपूर्णांक संख्या (जसे की 7/11, 2/5) ह्या देखील परिमेय संख्या असतात.

संख्या समूहांमधील संबंध: [IMAGE: TODO: नैसर्गिक संख्ा, पूर्णांंक संख्ा, परिमेय संख्ा या संख्ा समूहांचे संबंध दर्शवणारे वेन आकृतीसारखे चित्र.]

उदाहरण:

  • 5 (नैसर्गिक, पूर्ण, पूर्णांक, परिमेय)
  • -7 (पूर्णांक, परिमेय)
  • 3/4 (परिमेय)
  • 0 (पूर्ण, पूर्णांक, परिमेय)
📖व्याख्या

परिमेय संख्या: ज्या संख्या p/q या स्वरूपात लिहिता येतात, जिथे p आणि q हे पूर्णांक आहेत आणि q ≠ 0, त्यांना परिमेय संख्या म्हणतात.

❗महत्त्वाची नोंद

शून्य (0) ही एक परिमेय संख्या आहे, कारण तिला 0/1, 0/2, इत्यादी स्वरूपात लिहिता येते.

परिमेय संख्यांवरील क्रिया (Operations on Rational Numbers)

परिमेय संख्यांवरील क्रिया अपूर्णांकांवरील क्रियांप्रमाणेच केल्या जातात.

1. बेरीज (Addition)

  • समान छेद असल्यास: अंशांची बेरीज करा आणि छेद तसाच ठेवा. उदा: a/c + b/c = (a+b)/c
  • भिन्न छेद असल्यास: छेदांचा लसावि (LCM) काढून छेद समान करा आणि नंतर अंशांची बेरीज करा. उदा: a/b + c/d = (ad + bc) / bd

2. वजाबाकी (Subtraction)

  • समान छेद असल्यास: अंशांची वजाबाकी करा आणि छेद तसाच ठेवा. उदा: a/c - b/c = (a-b)/c
  • भिन्न छेद असल्यास: छेदांचा लसावि काढून छेद समान करा आणि नंतर अंशांची वजाबाकी करा. उदा: a/b - c/d = (ad - bc) / bd

3. गुणाकार (Multiplication)

  • अंशांचा गुणाकार अंशाच्या ठिकाणी आणि छेदांचा गुणाकार छेदाच्या ठिकाणी लिहा. उदा: a/b × c/d = (a × c) / (b × d)
  • गुणाकार करण्यापूर्वी अंश आणि छेदांमध्ये सामाईक अवयव असल्यास ते रद्द करा.

4. भागाकार (Division)

  • एका संख्येला दुसऱ्या संख्येने भागणे म्हणजे पहिल्या संख्येला दुसऱ्या संख्येच्या गुणाकार व्यस्ताने (Reciprocal/Multiplicative Inverse) गुणणे.
  • a/b ÷ c/d = a/b × d/c

गुणाकार व्यस्त (Reciprocal):

  • ज्या दोन संख्यांचा गुणाकार 1 येतो, त्या संख्या एकमेकांच्या गुणाकार व्यस्त असतात. उदा: 5/6 चा गुणाकार व्यस्त 6/5 आहे, कारण 5/6 × 6/5 = 1.
  • ऋण संख्येचा गुणाकार व्यस्त ऋणच असतो. उदा: -5/4 चा गुणाकार व्यस्त -4/5 आहे.
  • शून्याचा गुणाकार व्यस्त नसतो.

संख्या समूहांमधील क्रियांचा अभ्यास: | संख्या समूह | बेरीज | वजाबाकी | गुणाकार | भागाकार | |:-----------|:----:|:-------:|:-------:|:-------:| | नैसर्गिक संख्या | ✔️ | ❌ | ✔️ | ❌ | | पूर्णांक संख्या | ✔️ | ✔️ | ✔️ | ❌ | | परिमेय संख्या | ✔️ | ✔️ | ✔️ | ✔️ (शून्याने भागाकार वगळून) |

  • नैसर्गिक संख्या: 7 - 10 = -3 (नैसर्गिक नाही), 3 ÷ 5 = 3/5 (नैसर्गिक नाही).
  • पूर्णांक संख्या: 3 ÷ 5 = 3/5 (पूर्णांक नाही).
⭐लक्षात ठेवा

गुणाकार व्यस्त काढताना संख्येचे चिन्ह बदलत नाही. फक्त अंश आणि छेद यांची अदलाबदल होते. उदा. -3/8 चा गुणाकार व्यस्त -8/3.

🚧गैरसमज

शून्याने भागाकार करणे शक्य नाही. p/0 हे अपरिभाषित आहे. म्हणून भागाकाराच्या क्रियेत छेद कधीही शून्य असू शकत नाही.

परिमेय संख्ांच्ा दरम्ानच्ा संख्ा (Numbers between Rational Numbers)

दोन नैसर्गिक संख्या किंवा पूर्णांक संख्यांच्या दरम्यान मर्यादित संख्या असतात (किंवा एकही नसते). परंतु, दोन परिमेय संख्यांच्या दरम्यान असंख्य परिमेय संख्या असतात.

दोन परिमेय संख्यांच्या दरम्यान संख्या शोधण्याच्या पद्धती:

पद्धत 1: समान छेद करून (Equivalent Fractions Method)

  1. दिलेल्या परिमेय संख्यांना समान छेद असलेल्या अपूर्णांकांमध्ये रूपांतरित करा.
  2. जर अंशांमध्ये पुरेशी जागा नसेल, तर अंश आणि छेदाला 10, 100, 1000 अशा मोठ्या संख्येने गुणा, ज्यामुळे छेद आणखी मोठा होईल आणि अंशांमध्ये अधिक संख्या मिळतील.

उदाहरण: 1/2 आणि 4/7 यांच्या दरम्यानच्या परिमेय संख्या शोधणे.

  • 1/2 = (1 × 7) / (2 × 7) = 7/14
  • 4/7 = (4 × 2) / (7 × 2) = 8/14
  • 7/14 आणि 8/14 च्या दरम्यान सध्या कोणतीही पूर्णांक संख्या दिसत नाही.
  • आता अंश आणि छेदाला 10 ने गुणू:
  • 7/14 = 70/140
  • 8/14 = 80/140
  • आता 70/140 आणि 80/140 च्या दरम्यान 71/140, 72/140, ..., 79/140 अशा 9 परिमेय संख्या मिळतात.
  • अंशाला आणि छेदाला 100 ने गुणल्यास 700/1400 आणि 800/1400 च्या दरम्यान 99 परिमेय संख्या मिळतील. अशा प्रकारे आपण हव्या तितक्या संख्या शोधू शकतो.

पद्धत 2: मध्यबिंदू पद्धत (Midpoint Method)

दोन परिमेय संख्या a आणि b यांच्या दरम्यानची परिमेय संख्या (a + b) / 2 या सूत्राने मिळते. ही संख्या a आणि b यांच्या बरोबर मध्यभागी असते.

उदाहरण: 1/2 आणि 3/5 यांच्या दरम्यानची परिमेय संख्या शोधणे.

  1. प्रथम 1/2 आणि 3/5 यांना समान छेद करून घेऊ: 1/2 = 5/10, 3/5 = 6/10.
  2. यांच्या दरम्यानची संख्या: (5/10 + 6/10) / 2 = (11/10) / 2 = 11/20.
  3. म्हणून, 1/2 आणि 3/5 यांच्या दरम्यान 11/20 ही संख्या आहे.
  4. आता 1/2 आणि 11/20 यांच्या दरम्यानची संख्या (1/2 + 11/20) / 2 अशी शोधता येईल. तसेच 11/20 आणि 3/5 यांच्या दरम्यानची संख्या (11/20 + 3/5) / 2 अशी शोधता येईल.

संख्यारेषेवरील परिमेय संख्या: [IMAGE: TODO: संख्यारेषेवर 0, -1/10, 5/10, 11/20, 6/10 या परिमेय संख्या दर्शवणारी आकृती.]

महत्त्वाचे निरीक्षण:

  • कोणत्याही दोन पूर्णांक संख्या m आणि m+1 यांच्या दरम्यान एकही पूर्णांक संख्या नसते.
  • परंतु, कोणत्याही दोन परिमेय संख्यांच्या दरम्यान असंख्य परिमेय संख्या असतात.
❗महत्त्वाची नोंद

दोन परिमेय संख्यांच्या दरम्यान कितीही परिमेय संख्या शोधता येतात. हा गुणधर्म 'घनता गुणधर्म' (Density Property) म्हणून ओळखला जातो.

परिमेय संख्ांचे दशांशरूप (Decimal representation of rational numbers)

परिमेय संख्यांना दशांश रूपात मांडता येते. हे दशांश रूप दोन प्रकारचे असते: खंडित (Terminating) किंवा आवर्ती (Non-terminating Recurring).

1. खंडित दशांशरूप (Terminating Decimal Form)

  • जर परिमेय संख्येच्या छेदाचे (अंतिम स्वरूपात) अवयव फक्त 2 किंवा 5 (किंवा दोन्ही) असतील, तर तिचे दशांशरूप खंडित असते.
  • भागाकार करताना बाकी शून्य येते आणि भागाकाराची क्रिया पूर्ण होते.

उदाहरणे:

  • 7/4 चे दशांशरूप:

` 1.75 4)7.00 -4 --- 30 -28 --- 20 -20 --- 00 ` म्हणून, 7/4 = 1.75 (खंडित दशांशरूप)

  • 2 1/5 चे दशांशरूप: 2 1/5 = 11/5
  • पद्धत 1 (भागाकार):

` 2.2 5)11.0 -10 ---- 10 -10 ---- 00 ` म्हणून, 11/5 = 2.2

  • पद्धत 2 (छेद 10 च्या पटीत): 11/5 = (11 × 2) / (5 × 2) = 22/10 = 2.2
  • -5/8 चे दशांशरूप: 5/8 = 0.625. म्हणून, -5/8 = -0.625.

2. आवर्ती दशांशरूप (Non-terminating Recurring Decimal Form)

  • जर परिमेय संख्येच्या छेदाचे (अंतिम स्वरूपात) अवयव 2 किंवा 5 व्यतिरिक्त इतर कोणतेही मूळ अवयव असतील, तर तिचे दशांशरूप आवर्ती असते.
  • भागाकार करताना बाकी कधीही शून्य येत नाही, परंतु दशांश चिन्हाच्या उजवीकडील एक अंक किंवा अंकांचा समूह पुन्हा पुन्हा येतो.

उदाहरणे:

  • 5/3 चे दशांशरूप:

` 1.66... 3)5.00 -3 --- 20 -18 --- 20 -18 --- 2 ` म्हणून, 5/3 = 1.666... याला 1.\overline{6} असे लिहितात (अंकावर टिंब).

  • 2/11 चे दशांशरूप:

` 0.1818... 11)2.0000 -0 ---- 20 -11 ---- 90 -88 ---- 20 -11 ---- 9 ` म्हणून, 2/11 = 0.1818... याला 0.\overline{18} असे लिहितात (अंकांच्या गटावर आडवी रेघ).

  • 5/6 चे दशांशरूप:

` 0.833... 6)5.000 -0 ---- 50 -48 ---- 20 -18 ---- 20 -18 ---- 2 ` म्हणून, 5/6 = 0.833... याला 0.8\overline{3} असे लिहितात.

दशांश अपूर्णांकांचे गुणाकार व भागाकार (उजळणी):

  • दशांश अपूर्णांकाला 10, 100, 1000 ने गुणल्यास दशांश चिन्ह उजवीकडे सरकते. (जेवढे शून्य तेवढे घर)
  • 35.1 × 10 = 351.0
  • 35.1 × 1000 = 35100.0
  • दशांश अपूर्णांकाला 10, 100, 1000 ने भागल्यास दशांश चिन्ह डावीकडे सरकते. (जेवढे शून्य तेवढे घर)
  • 35.1 / 10 = 3.51
  • 35.1 / 100 = 0.351
  • दशांश अपूर्णांकाच्या अपूर्णांकी भागानंतर कितीही शून्य लिहिले तरी किंमत बदलत नाही. उदा: 1.35 = 1.3500.
  • पूर्णांक भागाच्या आधी कितीही शून्य लिहिले तरी किंमत बदलत नाही. उदा: 1.35 = 001.35.
  • याचा उपयोग भागाकार करताना होतो: 1.35 / 100 = 001.35 / 100 = 0.0135.
💡टीप

कोणत्याही परिमेय संख्येचे दशांश रूप एकतर खंडित असते किंवा आवर्ती असते. अपरिमेय संख्यांचे दशांश रूप अनावर्ती आणि अखंडित असते.

⭐लक्षात ठेवा

खंडित दशांशरूप ओळखण्याची सोपी पद्धत: अपूर्णांक संक्षिप्त रूपात (अंश आणि छेदात कोणताही सामाईक अवयव नाही) असताना, जर छेदाचे मूळ अवयव फक्त 2 किंवा 5 असतील, तर दशांशरूप खंडित असते. अन्यथा, ते आवर्ती असते.

पदावली सोडवण्ाचे नियम (Rules for solving expressions)

पदावली सोडवताना क्रियांचा क्रम निश्चित करण्यासाठी काही नियम आहेत. या नियमांना BODMAS (कंचेभागुबेव) असे म्हणतात.

BODMAS चा क्रम:

  1. Brackets (कंस) - ( ), [ ], { }
  2. Of (चे) - गुणाकारासारखी क्रिया
  3. Division (भागाकार) - ÷
  4. Multiplication (गुणाकार) - ×
  5. Addition (बेरीज) - +
  6. Subtraction (वजाबाकी) - -

नियम तपशीलवार:

  1. कंस (Brackets): पदावलीत कंस असल्यास, सर्वात आतील कंसातील क्रिया प्रथम सोडवावी. कंसाचे तीन प्रकार आहेत: साधा कंस ( ), चौकटी कंस [ ], महिरपी कंस { }.
  2. चे (Of): 'चे' म्हणजे गुणाकार, पण तो भागाकार आणि गुणाकाराच्या आधी केला जातो.
  3. भागाकार आणि गुणाकार: या क्रिया डावीकडून उजवीकडे ज्या क्रमाने येतील, त्या क्रमाने कराव्यात. यांना समान प्राधान्य असते.
  4. बेरीज आणि वजाबाकी: या क्रिया डावीकडून उजवीकडे ज्या क्रमाने येतील, त्या क्रमाने कराव्यात. यांनाही समान प्राधान्य असते.

उदाहरण 1: 72 ÷ 6 + 2 × 2

  • भागाकार: 72 ÷ 6 = 12
  • गुणाकार: 2 × 2 = 4
  • बेरीज: 12 + 4 = 16

उदाहरण 2: 40 × 10 ÷ 5 + 17

  • गुणाकार (डावीकडून उजवीकडे): 40 × 10 = 400
  • भागाकार: 400 ÷ 5 = 80
  • बेरीज: 80 + 17 = 97

उदाहरण 3 (कंसासह): 80 ÷ (15 + 8 - 3) + 5

  • कंसातील क्रिया:
  • 15 + 8 = 23
  • 23 - 3 = 20
  • आता पदावली: 80 ÷ 20 + 5
  • भागाकार: 80 ÷ 20 = 4
  • बेरीज: 4 + 5 = 9

उदाहरण 4 (अनेक कंस): 2 × {25 × [(113 - 9) + (4 ÷ 2 × 13)]}

  1. सर्वात आतील कंस ( ):
  • (113 - 9) = 104
  • (4 ÷ 2 × 13): प्रथम भागाकार 4 ÷ 2 = 2, नंतर गुणाकार 2 × 13 = 26.
  1. आता पदावली: 2 × {25 × [104 + 26]}
  2. चौकटी कंस [ ]: [104 + 26] = 130
  3. आता पदावली: 2 × {25 × 130}
  4. महिरपी कंस { }: 25 × 130 = 3250
  5. आता पदावली: 2 × 3250 = 6500

उदाहरण 5 (परिमेय संख्यांची पदावली): 3/4 - 5/7 × 1/3

  • गुणाकार (प्रथम): 5/7 × 1/3 = (5 × 1) / (7 × 3) = 5/21
  • आता पदावली: 3/4 - 5/21
  • वजाबाकी (नंतर): छेद समान करू (लसावि 84)
  • 3/4 = (3 × 21) / (4 × 21) = 63/84
  • 5/21 = (5 × 4) / (21 × 4) = 20/84
  • 63/84 - 20/84 = (63 - 20) / 84 = 43/84
❗महत्त्वाची नोंद

कंचेभागुबेव (BODMAS) हा नियम पदावली सोडवताना क्रियांचा योग्य क्रम ठरवण्यासाठी वापरला जातो. या नियमाचे पालन न केल्यास उत्तर चुकते.

🚧गैरसमज

भागाकार आणि गुणाकार यांना समान प्राधान्य असते. जो आधी डावीकडून येईल, तो आधी करावा. तसेच बेरीज आणि वजाबाकी यांनाही समान प्राधान्य असते.

Ask SAAVI — Free