कोन व कोनांच्ा जोड्ा
कोन व कोनांच्या जोड्या हा भूमितीतील एक महत्त्वाचा धडा आहे. या धड्यात विद्यार्थी कोनाचे अंतर्भाग व बाह्यभाग, संलग्न कोन, कोटिकोन, पूरक कोन, विरुद्ध किरण, रेषीय जोडीतील कोन, विरुद्ध कोन, त्रिकोणाचे आंतरकोन आणि बाह्यकोन या संकल्पना शिकतात. हे ज्ञान पुढील भूमितीच्या अभ्यासासाठी पायाभूत आहे आणि दैनंदिन जीवनात विविध ठिकाणी उपयुक्त ठरते.
कोनाचा अंतर्भाग व बाह्यभाग
कोन म्हणजे दोन किरणांनी एकाच आरंभबिंदूतून तयार झालेली आकृती.
- कोनाचा अंतर्भाग (Interior of an angle):
- कोनाच्या भुजांवरील बिंदूंव्यतिरिक्त, प्रतलातील जे बिंदू कोनाच्या आत असतात, त्यांना कोनाचा अंतर्भाग म्हणतात.
- उदा. [IMAGE: TODO: कोनाचा अंतर्भाग व बाह्यभाग दर्शवणारी आकृती] मध्ये बिंदू N, M, T हे अंतर्भागात आहेत.
- कोनाचा बाह्यभाग (Exterior of an angle):
- प्रतलातील जे बिंदू कोनाच्या भुजांवर नाहीत आणि कोनाच्या अंतर्भागातही नाहीत, अशा बिंदूंना कोनाचा बाह्यभाग म्हणतात.
- उदा. [IMAGE: TODO: कोनाचा अंतर्भाग व बाह्यभाग दर्शवणारी आकृती] मध्ये बिंदू G, D, E हे बाह्यभागात आहेत.
- कोनाच्या भुजांवरील बिंदू:
- जे बिंदू कोनाच्या दोन किरणांवर असतात, त्यांना कोनाच्या भुजांवरील बिंदू म्हणतात.
लक्षात ठेवा: कोनाचा अंतर्भाग, बाह्यभाग आणि भुजांवरील बिंदू मिळून पूर्ण प्रतल तयार होते.
कोन: एकाच आरंभबिंदूतून निघणाऱ्या दोन भिन्न किरणांमुळे तयार होणाऱ्या आकृतीस कोन म्हणतात. आरंभबिंदूला शिरोबिंदू आणि किरणांना भुजा म्हणतात.
संलग्न कोन (लगतचे कोन)
संलग्न कोन म्हणजे असे कोन जे एकमेकांचे शेजारी असतात.
- संलग्न कोनांच्या अटी:
- त्यांचा शिरोबिंदू सामाईक असतो.
- त्यांची एक भुजा सामाईक असते.
- त्यांचे अंतर्भाग विभिन्न (एकमेकांना छेदणारे नाहीत) असतात.
- सामाईक नसलेल्या भुजा सामाईक भुजेच्या विरुद्ध बाजूंना असतात.
- उदाहरणे:
- [IMAGE: TODO: संलग्न कोन दर्शवणारी आकृती] मध्ये ∠BMQ व ∠QMD हे संलग्न कोन आहेत. किरण MQ ही सामाईक भुजा आहे आणि M हा सामाईक शिरोबिंदू आहे. त्यांचे अंतर्भाग विभिन्न आहेत.
- ∠BMD व ∠BMQ हे संलग्न कोन नाहीत, कारण त्यांची MB ही भुजा सामाईक असली तरी त्यांचे अंतर्भाग विभिन्न नाहीत (∠BMQ चा अंतर्भाग ∠BMD च्या अंतर्भागात समाविष्ट आहे).
संलग्न कोनांचे अंतर्भाग एकमेकांना छेदत नाहीत. जर ते छेदले, तर ते संलग्न कोन नसतात.
कोटिकोन (Complementary angles)
कोटिकोन म्हणजे असे दोन कोन ज्यांच्या मापांची बेरीज 90° असते.
- व्याख्या: ज्या दोन कोनांच्या मापांची बेरीज 90° असते, ते कोन परस्परांचे कोटिकोन असतात.
- उदाहरणे:
- जर एका कोनाचे माप 70° असेल, तर त्याच्या कोटिकोनाचे माप \(90^\circ - 70^\circ = 20^\circ\) असेल.
- [IMAGE: TODO: कोटिकोनांचे उदाहरण दर्शवणारी आकृती] मध्ये ∠PQS व ∠SQR हे परस्परांचे कोटिकोन आहेत, जर \(m\angle PQS + m\angle SQR = 90^\circ\).
- बीजगणितीय उदाहरणे:
- जर \((a + 15)^\circ\) आणि \((2a)^\circ\) हे एकमेकांचे कोटिकोन असतील
कोटिकोनांची बेरीज: \(m\angle A + m\angle B = 90^\circ\)
जेव्हा तुम्हाला 'कोटिकोन' हा शब्द दिसतो, तेव्हा लगेच त्यांच्या मापांची बेरीज 90° असते हे लक्षात ठेवा आणि समीकरण तयार करा.
पूरक कोन (Supplementary angles)
पूरक कोन म्हणजे असे दोन कोन ज्यांच्या मापांची बेरीज 180° असते.
- व्याख्या: ज्या दोन कोनांच्या मापांची बेरीज 180° असते, ते कोन परस्परांचे पूरक कोन असतात.
- उदाहरणे:
- जर एका कोनाचे माप 135° असेल, तर त्याच्या पूरक कोनाचे माप \(180^\circ - 135^\circ = 45^\circ\) असेल.
- [IMAGE: TODO: पूरक कोनांचे उदाहरण दर्शवणारी आकृती] मध्ये ∠PQR व ∠MNT हे परस्परांचे पूरक कोन आहेत, जर \(m\angle PQR + m\angle MNT = 180^\circ\).
- बीजगणितीय उदाहरणे:
- जर \((a + 30)^\circ\) आणि \((2a)^\circ\) हे एकमेकांचे पूरक कोन असतील
पूरक कोनांची बेरीज: \(m\angle A + m\angle B = 180^\circ\)
कोटिकोन (90°) आणि पूरक कोन (180°) यांच्या मापांच्या बेरजेत गोंधळ करू नका. 'स' (पूरक) म्हणजे 'सरळ' (180°).
विरुद्ध किरण (Opposite rays)
विरुद्ध किरण म्हणजे असे दोन किरण ज्यांचा आरंभबिंदू सामाईक असतो आणि ते एक सरळ रेषा तयार करतात.
- व्याख्या: ज्या दोन किरणांचा आरंभबिंदू सामाईक असतो आणि ते एक सरळ रेषा तयार करतात, त्या किरणांना परस्परांचे विरुद्ध किरण म्हणतात.
- उदाहरण:
- [IMAGE: TODO: विरुद्ध किरण दर्शवणारी आकृती] मध्ये किरण BC आणि किरण BA हे विरुद्ध किरण आहेत, कारण त्यांचा आरंभबिंदू B सामाईक आहे आणि ते एक सरळ रेषा AC तयार करतात.
- विरुद्ध किरणांनी तयार झालेला कोन हा नेहमी सरळकोन (180°) असतो.
विरुद्ध किरण नेहमी एक सरळ रेषा तयार करतात आणि त्यांच्यातील कोन 180° असतो.
रेषीय जोडीतील कोन (Angles in linear pair)
रेषीय जोडीतील कोन म्हणजे असे संलग्न कोन ज्यांच्या असामाईक भुजा विरुद्ध किरण असतात.
- व्याख्या: ज्या दोन संलग्न कोनांची एक भुजा सामाईक असते आणि त्यांच्या असामाईक भुजांनी सरळ रेषा तयार होते, त्यांना रेषीय जोडीतील कोन म्हणतात.
- गुणधर्म:
- रेषीय जोडीतील कोन हे नेहमी पूरक कोन असतात.
- त्यांच्या मापांची बेरीज नेहमी \(180^\circ\) असते.
- उदाहरण:
- [IMAGE: TODO: रेषीय जोडीतील कोन दर्शवणारी आकृती] मध्ये ∠PQR व ∠RQS हे रेषीय जोडीतील कोन आहेत. किरण QR ही सामाईक भुजा आहे, आणि किरण QP व किरण QS हे विरुद्ध किरण आहेत. म्हणून, \(m\angle PQR + m\angle RQS = 180^\circ\).
सर्व रेषीय जोडीतील कोन पूरक असतात, पण सर्व पूरक कोन रेषीय जोडीतील नसतात (कारण ते संलग्न नसतात).
विरुद्ध कोन (Vertically opposite angles)
जेव्हा दोन रेषा एकमेकांना छेदतात, तेव्हा छेदनाच्या बिंदूवर चार कोन तयार होतात. यापैकी समोरासमोरच्या कोनांना विरुद्ध कोन म्हणतात.
- व्याख्या: जेव्हा दोन रेषा एकमेकांना छेदतात, तेव्हा तयार होणाऱ्या समोरासमोरच्या कोनांना विरुद्ध कोन म्हणतात.
- गुणधर्म:
- विरुद्ध कोन नेहमी एकरूप (समान मापाचे) असतात.
- [IMAGE: TODO: विरुद्ध कोन दर्शवणारी आकृती] मध्ये रेषा PT व रेषा RS एकमेकांना Q बिंदूत छेदतात.
- ∠PQR आणि ∠SQT हे विरुद्ध कोन आहेत.
- ∠PQS आणि ∠RQT हे विरुद्ध कोन आहेत.
- विरुद्ध कोनांचा गुणधर्म सिद्ध करणे:
- दिलेल्या आकृतीत, ∠PQS आणि ∠SQT हे रेषीय जोडीतील कोन आहेत. म्हणून, \(m\angle PQS + m\angle SQT = 180^\circ\) (समीकरण 1).
- तसेच, ∠SQT आणि ∠TQR हे रेषीय जोडीतील कोन आहेत. म्हणून, \(m\angle SQT + m\angle TQR = 180^\circ\) (समीकरण 2).
- समीकरण 1 आणि 2 वरून:
\(m\angle PQS + m\angle SQT = m\angle SQT + m\angle TQR\) दोन्ही बाजूंमधून \(m\angle SQT\) वजा केल्यास: \(m\angle PQS = m\angle TQR\)
- यावरून सिद्ध होते की विरुद्ध कोन समान मापाचे असतात (एकरूप असतात).
दोन रेषा छेदल्यास तयार होणारे विरुद्ध कोन नेहमी समान मापाचे असतात. हा गुणधर्म गणितातील अनेक समस्या सोडवण्यासाठी खूप उपयुक्त आहे.
बहुभुजाकृतीचे आंतरकोन (Interior angles of a polygon)
बहुभुजाकृती म्हणजे तीन किंवा अधिक रेषाखंडांनी बंदिस्त केलेली आकृती. तिच्या आतील कोनांना आंतरकोन म्हणतात.
- त्रिकोणाचे आंतरकोन:
- त्रिकोणाच्या तीनही आंतरकोनांच्या मापांची बेरीज नेहमी \(180^\circ\) असते.
- [IMAGE: TODO: त्रिकोणाचे आंतरकोन] मध्ये, \(m\angle A + m\angle B + m\angle C = 180^\circ\).
- इतर बहुभुजाकृतींचे आंतरकोन:
- कोणत्याही 'n' बाजू असलेल्या बहुभुजाकृतीला \((n-2)\) त्रिकोणांमध्ये विभागता येते.
- त्यामुळे, 'n' बाजू असलेल्या बहुभुजाकृतीच्या आंतरकोनांच्या मापांची बेरीज काढण्याचे सूत्र:
\(180^\circ imes (n-2)\)
- उदाहरणार्थ:
- चौकोन (n=4): \(180^\circ imes (4-2) = 180^\circ imes 2 = 360^\circ\)
- पंचकोन (n=5): \(180^\circ imes (5-2) = 180^\circ imes 3 = 540^\circ\)
- षट्कोन (n=6): \(180^\circ imes (6-2) = 180^\circ imes 4 = 720^\circ\)
- सारणी:
| बाजूंची संख्या (n) | बहुभुजाकृतीचे नाव | त्रिकोणांची संख्या (n-2) | आंतरकोनांची बेरीज \(180^\circ imes (n-2)\) | |---|---|---|---| | 3 | त्रिकोण | 1 | \(180^\circ\) | | 4 | चौकोन | 2 | \(360^\circ\) | | 5 | पंचकोन | 3 | \(540^\circ\) | | 6 | षट्कोन | 4 | \(720^\circ\) | | n | n बाजू असलेली आकृती | \(n-2\) | \(180^\circ imes (n-2)\) |
बहुभुजाकृतीच्या आंतरकोनांच्या मापांची बेरीज: \(S = (n-2) imes 180^\circ\), जिथे 'n' ही बहुभुजाकृतीच्या बाजूंची संख्या आहे.
त्रिकोणाचा बाह्यकोन (Exterior angle of a triangle)
जेव्हा त्रिकोणाची एक बाजू वाढवली जाते, तेव्हा बाहेरील बाजूस तयार होणाऱ्या कोनाला बाह्यकोन म्हणतात.
- व्याख्या: त्रिकोणाची एक बाजू वाढवल्यास जो कोन त्रिकोणाच्या लगतच्या आंतरकोनाशी रेषीय जोडी करतो, त्या कोनाला त्रिकोणाचा बाह्यकोन म्हणतात.
- उदाहरण:
- [IMAGE: TODO: त्रिकोणाचा बाह्यकोन] मध्ये, ∆ABC ची बाजू BC वाढवल्यास ∠ACD हा बाह्यकोन तयार होतो. ∠ACD आणि ∠ACB हे रेषीय जोडीतील कोन आहेत.
- प्रत्येक शिरोबिंदूवर दोन बाह्यकोन तयार होतात, त्यामुळे त्रिकोणाला एकूण 6 बाह्यकोन असतात.
- दूरस्थ आंतरकोन:
- बाह्यकोनाच्या लगतच्या आंतरकोनाला सोडून, त्रिकोणातील इतर दोन आंतरकोनांना त्या बाह्यकोनाचे दूरस्थ आंतरकोन म्हणतात.
- [IMAGE: TODO: त्रिकोणाच्या बाह्यकोनाचा गुणधर्म दर्शवणारी आकृती] मध्ये, ∠PRS हा बाह्यकोन आहे. ∠PRQ हा त्याचा लगतचा आंतरकोन आहे. ∠P आणि ∠Q हे ∠PRS चे दूरस्थ आंतरकोन आहेत.
- बाह्यकोनाचा गुणधर्म (Exterior Angle Theorem):
- त्रिकोणाच्या बाह्यकोनाचे माप हे त्याच्या दूरस्थ आंतरकोनांच्या मापांच्या बेरजेएवढे असते.
- म्हणजे, \(m\angle PRS = m\angle P + m\angle Q\).
- गुणधर्म सिद्ध करणे:
- आपल्याला माहीत आहे की त्रिकोणाच्या तीनही कोनांची बेरीज \(180^\circ\) असते:
\(m\angle P + m\angle Q + m\angle PRQ = 180^\circ\) (समीकरण 1)
- ∠PRS आणि ∠PRQ हे रेषीय जोडीतील कोन आहेत, म्हणून त्यांची बेरीज \(180^\circ\) असते:
\(m\angle PRS + m\angle PRQ = 180^\circ\) (समीकरण 2)
- समीकरण 1 आणि 2 ची तुलना केल्यास:
\(m\angle P + m\angle Q + m\angle PRQ = m\angle PRS + m\angle PRQ\)
- दोन्ही बाजूंमधून \(m\angle PRQ\) वजा केल्यास:
\(m\angle P + m\angle Q = m\angle PRS\)
- यावरून सिद्ध होते की बाह्यकोनाचे माप त्याच्या दूरस्थ आंतरकोनांच्या मापांच्या बेरजेएवढे असते.
बाह्यकोन प्रमेय: त्रिकोणाचा बाह्यकोन = दूरस्थ आंतरकोनांची बेरीज.
त्रिकोणाच्या बाह्यकोनाचा गुणधर्म अनेकदा 2-3 गुणांसाठी विचारला जातो. याचा वापर करून अज्ञात कोनांची मापे काढणे सोपे होते.
