मसावि-लसावि

गणित शिकताना, संख्यांचे विविध प्रकार समजून घेणे महत्त्वाचे आहे. हे प्रकार मसावि आणि लसावि काढण्यासाठी मूलभूत आहेत.

• मूळ संख्या (Prime Numbers):
• ज्या संख्येला 1 आणि तीच संख्या याशिवाय दुसरा कोणताही विभाजक नसतो, ती मूळ संख्या.
• सर्वात लहान मूळ संख्या 2 आहे.
• 2 ही एकमेव सम मूळ संख्या आहे. इतर सर्व मूळ संख्या विषम असतात.
• उदा. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ...

• संयुक्त संख्या (Composite Numbers):
• ज्या संख्येला 1 आणि तीच संख्या याशिवाय इतरही विभाजक असतात, ती संयुक्त संख्या.
• सर्वात लहान संयुक्त संख्या 4 आहे.
• उदा. 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, ...

• 1 ही संख्या:
• 1 ही संख्या मूळ संख्याही नाही आणि संयुक्त संख्याही नाही. तिला फक्त एकच विभाजक (स्वतः 1) असतो.

• सहमूळ संख्या (Coprime Numbers / Relatively Prime Numbers):
• ज्या दोन संख्यांचा सामाईक विभाजक फक्त 1 हाच असतो, त्या संख्यांना सहमूळ संख्या म्हणतात.
• या संख्या मूळ असणे आवश्यक नाही.
• उदा. (10, 21): 10 चे विभाजक (1, 2, 5, 10), 21 चे विभाजक (1, 3, 7, 21). सामाईक विभाजक फक्त 1. म्हणून 10 व 21 सहमूळ आहेत.
• इतर उदाहरणे: (3, 8), (4, 9), (21, 22).
• दोन क्रमवार संख्या नेहमी सहमूळ असतात (उदा. 22, 23).

• जोडमूळ संख्या (Twin Prime Numbers):
• ज्या दोन मूळ संख्यांमधील फरक 2 असतो, त्या दोन मूळ संख्यांना जोडमूळ संख्या म्हणतात.
• उदा. (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31).

महत्त्वाचे मुद्दे:

• 1 ते 100 पर्यंतच्या मूळ संख्या: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97. (एकूण 25 मूळ संख्या)
• 1 ते 50 पर्यंतच्या मूळ संख्या: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47. (एकूण 15 मूळ संख्या)

कोणत्याही संयुक्त संख्येला तिच्या मूळ अवयवांच्या गुणाकाराच्या रूपात लिहिणे म्हणजे त्या संख्येचे मूळ अवयव पाडणे होय. हा मसावि आणि लसावि काढण्यासाठी महत्त्वाचा टप्पा आहे.

मूळ अवयव पाडण्याच्या पद्धती:

1. उभी मांडणी (Vertical Arrangement):

• दिलेल्या संख्येला सर्वात लहान मूळ संख्येने भागणे सुरू करा.
• जोपर्यंत भागाकार पूर्ण भाग जातो, तोपर्यंत त्याच मूळ संख्येने भागा.
• नंतर पुढील लहान मूळ संख्येने भागा आणि ही प्रक्रिया सुरू ठेवा, जोपर्यंत भागाकार 1 येत नाही.

उदाहरण: 24 चे मूळ अवयव पाडा. ` 2 | 24 2 | 12 2 | 6 3 | 3 | 1 ` म्हणून, \(24 = 2 \times 2 \times 2 \times 3\)

1. आडवी मांडणी (Horizontal Arrangement):

• दिलेली संख्या दोन अवयवांच्या गुणाकाराच्या रूपात लिहा.
• या अवयवांपैकी मूळ नसलेल्या अवयवांचे पुन्हा अवयव पाडा.
• ही प्रक्रिया सुरू ठेवा, जोपर्यंत सर्व अवयव मूळ संख्या येत नाहीत.

उदाहरण: 24 चे मूळ अवयव पाडा. \(24 = 2 \times 12\) \( = 2 \times (2 \times 6)\) \( = 2 \times 2 \times (2 \times 3)\) \( = 2 \times 2 \times 2 \times 3\)

काही उदाहरणे:

• \(63 = 3 \times 3 \times 7\)
• \(45 = 3 \times 3 \times 5\)
• \(20 = 2 \times 2 \times 5\)
• \(117 = 3 \times 3 \times 13\)
• \(250 = 2 \times 5 \times 5 \times 5\)

लक्षात ठेवा:

• प्रत्येक संयुक्त संख्येचे मूळ अवयव हे अद्वितीय असतात (अवयवांचा क्रम बदलला तरी). याला अंकगणिताचे मूलभूत प्रमेय (Fundamental Theorem of Arithmetic) म्हणतात.

दिलेल्या संख्यांचा मसावि म्हणजे त्या संख्यांचा सर्वात मोठा सामाईक विभाजक होय.

मसावि काढण्याच्या पद्धती:

1. मूळ अवयव पद्धत (Prime Factorisation Method):

• दिलेल्या प्रत्येक संख्येचे मूळ अवयव पाडा.
• त्यानंतर, सर्व संख्यांमध्ये असलेले सामाईक मूळ अवयव ओळखा.
• या सामाईक मूळ अवयवांचा गुणाकार म्हणजे मसावि.

उदाहरण: 24 व 32 यांचा मसावि काढा.

• \(24 = 2 \times 2 \times 2 \times 3\)
• \(32 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2\)
• सामाईक अवयव: \(2 \times 2 \times 2\)
• मसावि = \(2 \times 2 \times 2 = 8\)

उदाहरण: 195, 312 व 546 यांचा मसावि काढा.

• \(195 = 3 \times 5 \times 13\)
• \(312 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 13\)
• \(546 = 2 \times 3 \times 7 \times 13\)
• सामाईक अवयव: \(3 \times 13\)
• मसावि = \(3 \times 13 = 39\)

1. उभी मांडणी पद्धत (Vertical Arrangement Method):

• सर्व संख्या एका ओळीत लिहा.
• त्यांना एकाच मूळ संख्येने भागणे सुरू करा, जी सर्व संख्यांना पूर्ण भागते.
• ही प्रक्रिया तोपर्यंत करा, जोपर्यंत सर्व संख्यांना भागणारी कोणतीही मूळ संख्या शिल्लक राहत नाही.
• डाव्या बाजूला आलेल्या सर्व मूळ अवयवांचा गुणाकार म्हणजे मसावि.

उदाहरण: 60, 12 व 36 यांचा मसावि काढा. ` 2 | 60 12 36 2 | 30 6 18 3 | 15 3 9 | 5 1 3 `

• सामाईक अवयव: \(2 \times 2 \times 3\)
• मसावि = \(2 \times 2 \times 3 = 12\)

मसाविचे महत्त्वाचे नियम:

• जर दिलेल्या संख्यांमध्ये कोणताही मूळ अवयव सामाईक नसेल, तर त्यांचा मसावि 1 असतो (उदा. 10, 15, 12 यांचा मसावि 1 आहे कारण 1 हा एकमेव सामाईक विभाजक आहे).
• जर दिलेल्या संख्यांपैकी एक संख्या इतर संख्यांची विभाजक असेल, तर ती संख्याच त्यांचा मसावि असते. उदा. 12, 36, 60 मध्ये 12 हा 36 व 60 चा विभाजक आहे, म्हणून मसावि 12 आहे.
• दोन क्रमागत सम संख्यांचा मसावि 2 असतो (उदा. 4, 6 चा मसावि 2).
• दोन क्रमागत विषम संख्यांचा मसावि 1 असतो (उदा. 5, 7 चा मसावि 1).
• दोन सहमूळ संख्यांचा मसावि नेहमी 1 असतो.

दोन संख्यांचा मसावि काढण्यासाठी ही एक कार्यक्षम पद्धत आहे, विशेषतः जेव्हा संख्या मोठ्या असतात.

भागाकार पद्धतीची पायरी:

1. मोठ्या संख्येला लहान संख्येने भागा.
2. या भागाकारात मिळालेल्या बाकीने आधीच्या भाजकाला भागा.
3. ही प्रक्रिया तोपर्यंत सुरू ठेवा, जोपर्यंत बाकी शून्य येत नाही.
4. ज्या भागाकारात बाकी शून्य मिळाली, त्या भागाकारातील भाजक हा दिलेल्या संख्यांचा मसावि असतो.

उदाहरण: 144 आणि 252 चा मसावि काढा.

` 144 ) 252 ( 1

• 144

----- 108 ) 144 ( 1

• 108

----- 36 ) 108 ( 3

• 108

----- 000 ` येथे, बाकी शून्य आल्यावर भाजक 36 आहे. म्हणून, 144 व 252 यांचा मसावि = 36.

अपूर्णांकांना संक्षिप्त रूप देण्यासाठी मसाविचा उपयोग:

अपूर्णांकाला संक्षिप्त रूप देण्यासाठी, अंश आणि छेदाचा मसावि काढून त्या मसाविने अंश व छेदाला भागावे लागते.

उदाहरण: \( \frac{209}{247} \) या संख्येला संक्षिप्त रूप द्या.

• 209 आणि 247 चा मसावि काढूया:

` 209 ) 247 ( 1

• 209

----- 38 ) 209 ( 5

• 190

----- 19 ) 38 ( 2

• 38

----- 00 `

• मसावि = 19.
• आता अंश आणि छेदाला 19 ने भागू:

\( \frac{209 \div 19}{247 \div 19} = \frac{11}{13} \)

• म्हणून, \( \frac{209}{247} \) चे संक्षिप्त रूप = \( \frac{11}{13} \).

दिलेल्या संख्यांचा लसावि म्हणजे त्या संख्यांनी पूर्ण भाग जाणारी सर्वात लहान संख्या होय.

लसावि काढण्याच्या पद्धती:

1. मूळ अवयव पद्धत (Prime Factorisation Method):

• दिलेल्या प्रत्येक संख्येचे मूळ अवयव पाडा.
• प्रत्येक मूळ अवयव दिलेल्या संख्यांच्या अवयवांमध्ये जास्तीत जास्त किती वेळा आला आहे, ते पहा.
• त्या सर्व मूळ अवयवांचा (त्यांच्या जास्तीत जास्त वेळाच्या घातांकासह) गुणाकार म्हणजे लसावि.

उदाहरण: 60 व 48 यांचा लसावि काढा.

• \(60 = 2 \times 2 \times 3 \times 5\)
• \(48 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3\)
• येथे, 2 हा अवयव जास्तीत जास्त 4 वेळा (48 मध्ये) आला आहे.
• 3 हा अवयव जास्तीत जास्त 1 वेळा (60 व 48 मध्ये) आला आहे.
• 5 हा अवयव जास्तीत जास्त 1 वेळा (60 मध्ये) आला आहे.
• लसावि = \(2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 16 \times 15 = 240\)

उदाहरण: 18, 30 व 50 यांचा लसावि काढा.

• \(18 = 2 \times 3 \times 3\)
• \(30 = 2 \times 3 \times 5\)
• \(50 = 2 \times 5 \times 5\)
• लसावि = \(2 \times 3 \times 3 \times 5 \times 5 = 450\)

1. उभी मांडणी पद्धत (Vertical Arrangement Method):

• सर्व संख्या एका ओळीत लिहा.
• त्यांना एका मूळ संख्येने भागणे सुरू करा, जी कमीत कमी दोन संख्यांना पूर्ण भागते. ज्या संख्येला भाग जात नाही, ती तशीच खाली लिहा.
• ही प्रक्रिया तोपर्यंत सुरू ठेवा, जोपर्यंत खाली आलेल्या संख्यांमध्ये 1 शिवाय कोणताही सामाईक अवयव राहत नाही.
• डाव्या बाजूला आलेल्या सर्व मूळ अवयवांचा आणि खाली शिल्लक राहिलेल्या संख्यांचा गुणाकार म्हणजे लसावि.

उदाहरण: 16, 28 व 40 यांचा लसावि काढा. ` 2 | 16 28 40 2 | 8 14 20 2 | 4 7 10 (येथे 2 ने 4 आणि 10 ला भाग जातो, 7 तसाच खाली) 2 | 2 7 5 (येथे 2 ने फक्त 2 ला भाग जातो, 7 आणि 5 तसेच खाली) 5 | 1 7 5 (येथे 5 ने फक्त 5 ला भाग जातो, 7 तसाच खाली) 7 | 1 7 1 (येथे 7 ने फक्त 7 ला भाग जातो) | 1 1 1 `

• लसावि = \(2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 7 = 16 \times 35 = 560\)

लसाविचे महत्त्वाचे नियम:

• जर दिलेल्या संख्यांपैकी सर्वात मोठ्या संख्येला इतर सर्व संख्यांनी पूर्ण भाग जात असेल, तर ती मोठी संख्याच त्यांचा लसावि असते. उदा. 16, 20, 80 यांचा लसावि 80 आहे, कारण 80 ला 16 व 20 ने पूर्ण भाग जातो.
• दोन सहमूळ संख्यांचा लसावि हा त्यांच्या गुणाकाराएवढा असतो. उदा. 4 व 5 चा लसावि \(4 \times 5 = 20\).

दोन संख्यांचा मसावि आणि लसावि यांच्यात एक महत्त्वाचा संबंध आहे, जो अनेक गणिते सोडवण्यासाठी उपयुक्त ठरतो.

संबंधाचे सूत्र:

दोन संख्यांचा गुणाकार = त्या संख्यांचा मसावि \( \times \) त्या संख्यांचा लसावि

उदाहरण: 18 व 30 यांचा मसावि व लसावि काढा आणि संबंध पडताळा.

• मसावि काढणे (उभी मांडणी):

` 2 | 18 30 3 | 9 15 | 3 5 `

• मसावि = \(2 \times 3 = 6\)

• लसावि काढणे (उभी मांडणी):

` 2 | 18 30 3 | 9 15 3 | 3 5 5 | 1 5 | 1 1 `

• लसावि = \(2 \times 3 \times 3 \times 5 = 90\)

• संबंध पडताळणे:
• मसावि \( \times \) लसावि = \(6 \times 90 = 540\)
• दिलेल्या संख्यांचा गुणाकार = \(18 \times 30 = 540\)
• येथे, मसावि \( \times \) लसावि = दिलेल्या संख्यांचा गुणाकार. संबंध सिद्ध झाला.

या सूत्राचा उपयोग:

• जर दोन संख्या आणि त्यांचा मसावि दिला असेल, तर लसावि काढता येतो.
• जर दोन संख्या आणि त्यांचा लसावि दिला असेल, तर मसावि काढता येतो.
• जर मसावि, लसावि आणि एक संख्या दिली असेल, तर दुसरी संख्या काढता येते.

उदाहरण: दोन अंकी दोन संख्यांचा गुणाकार 1280 आहे आणि त्यांचा मसावि 4 आहे, तर त्यांचा लसावि काढा.

• सूत्र: मसावि \( \times \) लसावि = दिलेल्या संख्यांचा गुणाकार
• \(4 \times \) लसावि = 1280
• लसावि = \( \frac{1280}{4} = 320 \)

महत्त्वाची नोंद: हा संबंध फक्त दोन संख्यांसाठी लागू होतो. तीन किंवा अधिक संख्यांसाठी हा संबंध सरळ लागू होत नाही.

मसावि आणि लसावि यांचा उपयोग दैनंदिन जीवनातील अनेक समस्या सोडवण्यासाठी होतो.

मसाविचे उपयोजन:

• मोठ्यात मोठ्या समान भागांमध्ये विभागणे: जेव्हा आपल्याला काही वस्तू मोठ्या समान भागांमध्ये विभागण्याची गरज असते, तेव्हा मसाविचा वापर होतो.
• उदा. दोरीचे समान लांबीचे तुकडे करणे, जमिनीचे समान आकाराचे प्लॉट करणे.
• अपूर्णांकांना संक्षिप्त रूप देणे: अपूर्णांकाचा अंश आणि छेद यांचा मसावि काढून त्यांना संक्षिप्त रूप देता येते.

उदाहरण: दुकानात 450 ग्रॅम जॅमची लहान बाटली 96 रुपयांना आहे व त्याच जॅमची 600 ग्रॅम वजनाची मोठी बाटली 124 रुपयांना आहे, तर कोणती बाटली खरेदी करणे जास्त फायदेशीर आहे?

• 450 आणि 600 चा मसावि = 150.
• लहान बाटलीतील 150 ग्रॅम जॅमची किंमत: \( \frac{96}{450} \times 150 = \frac{96}{3} = 32 \) रुपये.
• मोठ्या बाटलीतील 150 ग्रॅम जॅमची किंमत: \( \frac{124}{600} \times 150 = \frac{124}{4} = 31 \) रुपये.
• मोठ्या बाटलीतील जॅम 150 ग्रॅमसाठी 31 रुपये पडतो, जो लहान बाटलीपेक्षा स्वस्त आहे. म्हणून मोठी बाटली खरेदी करणे जास्त फायदेशीर आहे.

लसाविचे उपयोजन:

• कमीत कमी समान वेळ/संख्या शोधणे: जेव्हा आपल्याला दोन किंवा अधिक घटना एकाच वेळी कधी घडतील हे शोधायचे असते, तेव्हा लसाविचा वापर होतो.
• उदा. वेगवेगळ्या वेगाने धावणारे धावपटू पुन्हा कधी एकत्र येतील, वेगवेगळ्या वेळेवर वाजणाऱ्या घंटा पुन्हा कधी एकत्र वाजतील.
• अपूर्णांकांची बेरीज/वजाबाकी: अपूर्णांकांची बेरीज किंवा वजाबाकी करताना छेद समान करण्यासाठी छेदांचा लसावि काढणे सोयीचे ठरते.

उदाहरण: बेरीज करा: \( \frac{17}{28} + \frac{11}{35} \)

• 28 आणि 35 चा लसावि काढू:

` 7 | 28 35 4 | 4 5 5 | 1 5 | 1 1 `

• लसावि = \(7 \times 4 \times 5 = 140\)
• आता अपूर्णांकांचे छेद 140 करू:

\( \frac{17 \times 5}{28 \times 5} + \frac{11 \times 4}{35 \times 4} = \frac{85}{140} + \frac{44}{140} = \frac{85+44}{140} = \frac{129}{140} \)

उदाहरण: एका संख्येला अनुक्रमे 8, 10, 12, 14 या संख्यांनी भागले असता प्रत्येक वेळी बाकी 3 उरते, तर अशी लहानात लहान संख्या कोणती आहे?

• या संख्यांनी भागल्यावर बाकी 3 उरते, म्हणजे ती संख्या या संख्यांच्या लसाविपेक्षा 3 ने मोठी असेल.
• 8, 10, 12, 14 चा लसावि काढू:

` 2 | 8 10 12 14 2 | 4 5 6 7 2 | 2 5 3 7 3 | 1 5 3 7 5 | 1 5 1 7 7 | 1 1 1 7 | 1 1 1 1 `

• लसावि = \(2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 5 \times 7 = 8 \times 105 = 840\)
• इष्ट संख्या = लसावि + बाकी = \(840 + 3 = 843\)

उदाहरण: श्रेयस, शलाका आणि स्नेहल एका वर्तुळाकार धावपट्टीच्या एका ठिकाणावरून एकाच वेळी पळण्यास सुरुवात करतात व अनुक्रमे 16, 24 व 18 मिनिटांत एक फेरी पूर्ण करतात, तर ते तिघेही कमीत कमी किती वेळानंतर सुरुवातीच्या ठिकाणावर एकाच वेळी येतील?

• यासाठी 16, 24, 18 चा लसावि काढू.
• \(16 = 2 \times 2 \times 2 \times 2\)
• \(24 = 2 \times 2 \times 2 \times 3\)
• \(18 = 2 \times 3 \times 3\)
• लसावि = \(2^4 \times 3^2 = 16 \times 9 = 144\)
• म्हणून, ते 144 मिनिटांनी किंवा 2 तास 24 मिनिटांनी पुन्हा एकत्र येतील.