पूर्णांक संख्ांचा गुणाकार व भागाकार
या धड्यात तुम्ही पूर्णांक संख्यांच्या गुणाकाराचे आणि भागाकाराचे नियम शिकाल. धन पूर्णांक, ऋण पूर्णांक आणि शून्याच्या बेरजेचे आणि वजाबाकीचे नियम आठवून त्यांचा उपयोग गुणाकार आणि भागाकारात कसा होतो हे समजून घ्याल. दोन धन पूर्णांकांचा गुणाकार, एक धन व एक ऋण पूर्णांकाचा गुणाकार, तसेच दोन ऋण पूर्णांकांचा गुणाकार कसा असतो हे शिकाल. त्याचप्रमाणे पूर्णांक संख्यांच्या भागाकाराचे नियमही तुम्हाला समजतील. गणितातील मूलभूत क्रियांचा हा महत्त्वाचा भाग तुमच्या पुढील अभ्यासासाठी अत्यंत उपयुक्त आहे.
पूर्णांक संख्यांची उजळणी (बेरीज व वजाबाकी)
मागील इयत्तेत आपण पूर्णांक संख्यांची बेरीज व वजाबाकी शिकलो आहोत. या संकल्पना गुणाकार व भागाकार समजून घेण्यासाठी महत्त्वाच्या आहेत.
- पूर्णांक संख्या म्हणजे धन संख्या, ऋण संख्या आणि शून्य यांचा समूह. उदा. ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...
बेरीज नियम:
- दोन धन पूर्णांकांची बेरीज: नेहमी धन पूर्णांक येते. उदा. \(5 + 7 = 12\)
- दोन ऋण पूर्णांकांची बेरीज: नेहमी ऋण पूर्णांक येते. संख्यांची बेरीज करून ऋण चिन्ह द्यावे. उदा. \((-7) + (-2) = -9\)
- एक धन व एक ऋण पूर्णांकांची बेरीज: मोठ्या संख्येचे चिन्ह देऊन संख्यांची वजाबाकी करावी. उदा. \(10 + (-5) = 5\), \((-4) + 3 = -1\)
वजाबाकी नियम:
- वजाबाकी करताना, वजा होणाऱ्या संख्येची विरुद्ध संख्या मिळवावी. म्हणजेच, \(a - b = a + (-b)\).
- उदा. \((+8) - (+3) = (+8) + (-3) = 5\)
- उदा. \((+8) - (-3) = (+8) + (+3) = 11\)
शून्य ही धन किंवा ऋण पूर्णांक संख्या नाही.
पूर्णांक संख्यांची बेरीज व वजाबाकी करताना चिन्हांचे नियम लक्षात ठेवणे अत्यंत महत्त्वाचे आहे. चुकीचे चिन्ह दिल्यास उत्तर पूर्णपणे चुकू शकते.
पूर्णांक संख्यांचा गुणाकार
पूर्णांक संख्यांचा गुणाकार करताना चिन्हांचे नियम महत्त्वाचे आहेत. हे नियम खालीलप्रमाणे आहेत:
- दोन धन पूर्णांकांचा गुणाकार: नेहमी धन पूर्णांक येतो.
- \((+) \times (+) = (+)\)
- उदा. \(5 \times 3 = 15\)
- एक धन पूर्णांक व एक ऋण पूर्णांक यांचा गुणाकार: नेहमी ऋण पूर्णांक येतो.
- \((+) \times (-) = (-)\)
- \((-) \times (+) = (-)\)
- उदा. \(5 \times (-3) = -15\)
- उदा. \((-5) \times 3 = -15\)
- दोन ऋण पूर्णांकांचा गुणाकार: नेहमी धन पूर्णांक येतो.
- \((-) \times (-) = (+)\)
- उदा. \((-5) \times (-3) = 15\)
- शून्य आणि पूर्णांक संख्यांचा गुणाकार: कोणत्याही पूर्णांक संख्येला शून्यने गुणल्यास गुणाकार नेहमी शून्य येतो.
- \(a \times 0 = 0\)
- \(0 \times a = 0\)
- उदा. \((-4) \times 0 = 0\)
गुणाकाराचे सोपे नियम (चिन्हांसाठी):
| पहिला पूर्णांक | दुसरा पूर्णांक | गुणाकाराचे चिन्ह | |:--------------|:--------------|:----------------| | धन (+) | धन (+) | धन (+) | | धन (+) | ऋण (-) | ऋण (-) | | ऋण (-) | धन (+) | ऋण (-) | | ऋण (-) | ऋण (-) | धन (+) |
हे नियम लक्षात ठेवण्यासाठी, जर गुणाकारात समान चिन्हे असतील तर उत्तर धन येते, आणि भिन्न चिन्हे असतील तर उत्तर ऋण येते.
उदाहरणार्थ, \((-3) + (-3) + (-3) + (-3) = -12\). ही बेरीज \((-3) \times 4 = -12\) अशी लिहिता येते.
आकृतिबंध निरीक्षण: \((-4) \times 3 = -12\) \((-4) \times 2 = -8\) \((-4) \times 1 = -4\) \((-4) \times 0 = 0\) \((-4) \times (-1) = 4\) \((-4) \times (-2) = 8\)
या आकृतिबंधात, गुणक एका एककाने कमी झाल्यास गुणाकार 4 ने वाढतो. यावरून दोन ऋण संख्यांचा गुणाकार धन येतो हे सिद्ध होते.
गुणाकाराचे चिन्हांचे नियम:
- \((+) \times (+) = (+)\)
- \((+) \times (-) = (-)\)
- \((-) \times (+) = (-)\)
- \((-) \times (-) = (+)\)
दोन ऋण पूर्णांकांचा गुणाकार नेहमी धन पूर्णांक असतो. हे गणितीय क्रिया करताना अनेकदा विसरले जाते.
पूर्णांक संख्यांचा भागाकार
पूर्णांक संख्यांचा भागाकार करतानाही गुणाकाराप्रमाणेच चिन्हांचे नियम लागू होतात. भागाकार करताना छेद शून्य नसावा हे महत्त्वाचे आहे.
- दोन धन पूर्णांकांचा भागाकार: नेहमी धन संख्या येते.
- \((+) \div (+) = (+)\)
- उदा. \(6 \div 2 = 3\)
- एक धन पूर्णांक व एक ऋण पूर्णांक यांचा भागाकार: नेहमी ऋण संख्या येते.
- \((+) \div (-) = (-)\)
- \((-) \div (+) = (-)\)
- उदा. \(10 \div (-5) = -2\)
- उदा. \((-12) \div 3 = -4\)
- दोन ऋण पूर्णांकांचा भागाकार: नेहमी धन संख्या येते.
- \((-) \div (-) = (+)\)
- उदा. \((-15) \div (-3) = 5\)
- शून्य आणि पूर्णांक संख्यांचा भागाकार: शून्यला कोणत्याही शून्येतर पूर्णांक संख्येने भागल्यास भागाकार नेहमी शून्य येतो. कोणत्याही पूर्णांक संख्येला शून्यने भागणे शक्य नाही (अनिर्धारित).
- \(0 \div a = 0\) (जेव्हा \(a \neq 0\))
- \(a \div 0 = \) अनिर्धारित
भागाकाराचे सोपे नियम (चिन्हांसाठी):
| पहिला पूर्णांक | दुसरा पूर्णांक | भागाकाराचे चिन्ह | |:--------------|:--------------|:----------------| | धन (+) | धन (+) | धन (+) | | धन (+) | ऋण (-) | ऋण (-) | | ऋण (-) | धन (+) | ऋण (-) | | ऋण (-) | ऋण (-) | धन (+) |
भागाकार करताना, छेद नेहमी धन पूर्णांक असावा हा संकेत आहे.
- उदा. \(7/(-2) = -7/2\)
- उदा. \((-11)/(-3) = 11/3\)
विरुद्ध संख्या (Additive Inverse): दोन संख्यांची बेरीज शून्य येत असेल, तर त्या संख्यांना एकमेकांच्या विरुद्ध संख्या म्हणतात. उदा. \(1/2 + (-1/2) = 0\). \(1/2\) ची विरुद्ध संख्या \(-1/2\) आहे.
गुणाकार व्यस्त संख्या (Multiplicative Inverse): दोन संख्यांचा गुणाकार 1 येत असेल, तर त्या संख्यांना एकमेकांच्या गुणाकार व्यस्त संख्या म्हणतात. उदा. \(2 \times 1/2 = 1\). \(2\) ची गुणाकार व्यस्त संख्या \(1/2\) आहे.
\((-1) \times (-1) = 1\) या समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \((-1)\) ने भागल्यास \((-1) = 1/(-1)\) हे समीकरण मिळते. याचा अर्थ \(1/(-1)\) हा भागाकार \((-1)\) आहे.
भागाकाराचे चिन्हांचे नियम:
- \((+) \div (+) = (+)\)
- \((+) \div (-) = (-)\)
- \((-) \div (+) = (-)\)
- \((-) \div (-) = (+)\)
कोणत्याही संख्येला शून्यने भागणे शक्य नाही. \(a \div 0\) हे अनिर्धारित असते, शून्य नाही.
