गुणोततर - प्रमाण
या धड्यात विद्यार्थी दोन संख्यांची तुलना गुणोत्तराच्या स्वरूपात कशी करायची हे शिकतात. दैनंदिन जीवनातील उदाहरणे वापरून गुणोत्तर म्हणजे काय, ते कसे लिहायचे आणि संक्षिप्त रूपात कसे व्यक्त करायचे हे स्पष्ट केले आहे. तसेच, समान एककातील राशींचे गुणोत्तर काढण्याचे महत्त्व आणि एकमान पद्धतीचा (Unitary Method) वापर करून व्यावहारिक गणिते कशी सोडवायची हे देखील या धड्यात शिकवले जाते. गुणोत्तर आणि प्रमाण या मूलभूत संकल्पना गणितातील अनेक पुढील अभ्यासासाठी महत्त्वाच्या आहेत.
गुणोत्तर म्हणजे काय?
दोन राशींची तुलना दोन प्रकारे करता येते:
- वजाबाकीने तुलना: उदा. नीलिमा रमेशपेक्षा 6 वर्षांनी मोठी आहे. (12 - 6 = 6)
- पटीने तुलना (गुणोत्तर): उदा. नीलिमाचे वय रमेशच्या वयाच्या दुप्पट आहे. (12 ÷ 6 = 2)
गुणोत्तर म्हणजे दोन समान प्रकारच्या राशींची भागाकाराने केलेली तुलना.
- मांडणी: गुणोत्तर
a:bअसे लिहितात किंवाa/bअसे अपूर्णांक रूपात.a:bचे वाचन 'एनास बी' असे करतात. - उदाहरण: नीलिमाचे वय 12, रमेशचे वय 6. त्यांच्या वयांचे गुणोत्तर = 12:6 = 2:1 किंवा 2/1.
गुणोत्तराची वैशिष्ट्ये:
- गुणोत्तराला एकक नसते कारण ते समान प्रकारच्या दोन राशींचा भागाकार असते आणि एकके एकमेकांना रद्द करतात.
- गुणोत्तर नेहमी संक्षिप्त रूपात (लघुत्तम रूपात) मांडले जाते. त्यासाठी अंशाला व छेदाला त्यांच्या मसाविने (सर्वात मोठ्या सामाईक विभाजकाने) भागतात.
- गुणोत्तरातील पदे (Terms):
a:bमध्येaहे पहिले पद (पूर्वपद) आणिbहे दुसरे पद (उत्तरपद) असते.
उदाहरण: 10 पेरू आणि 15 चिकू.
- पेरूंचे चिकूंशी गुणोत्तर = 10:15 = 10/15 = (10 ÷ 5) / (15 ÷ 5) = 2/3.
- चिकूंचे पेरूंशी गुणोत्तर = 15:10 = 15/10 = (15 ÷ 5) / (10 ÷ 5) = 3/2.
लक्षात ठेवा: a:b आणि b:a ही दोन भिन्न गुणोत्तरे आहेत.
गुणोत्तर काढताना महत्त्वाचे:
- राशी समान प्रकारच्या असाव्यात. (उदा. वय आणि वय, पैसे आणि पैसे, लांबी आणि लांबी).
- राशींची एकके समान असावीत. (उदा. दोन्ही ग्रॅममध्ये किंवा दोन्ही किग्रॅमध्ये).
गुणोत्तर (Ratio): दोन समान प्रकारच्या राशींची भागाकाराने केलेली तुलना म्हणजे गुणोत्तर. ते a:b किंवा a/b असे दर्शवतात.
गुणोत्तराला एकक नसते आणि ते नेहमी संक्षिप्त रूपात मांडले जाते.
प्रमाणाची व्यवहारातील उदाहरणे
व्यवहारात अनेक ठिकाणी गुणोत्तराचा उपयोग होतो. उदाहरणांद्वारे ते अधिक स्पष्ट होते.
- पाककृतीमध्ये: इडलीसाठी डाळ व तांदूळ 1:2, डोशासाठी 1:3. हे प्रमाण घटक पदार्थांचे प्रमाण दर्शवते.
- मिश्रणामध्ये: बिस्किटांसाठी साखर व पीठ 2:3. म्हणजे प्रत्येक 2 वाटी साखरेसाठी 3 वाट्या पीठ लागते.
- विभागणीमध्ये: मुलींना फुले वाटणे. 3 मुलींना 12 फुले म्हणजे 1 मुलीला 4 फुले. गुणोत्तर 1:4.
उदाहरण 1: जॉनचे वय 10 वर्षे, आजीचे वय 65 वर्षे.
- गुणोत्तर = 10:65 = 10/65
- संक्षिप्त रूप = (10 ÷ 5) / (65 ÷ 5) = 2/13
उदाहरण 2: 12 पेरू आणि 16 चिकू.
- पेरूंचे चिकूंशी गुणोत्तर = 12:16 = 12/16 = (12 ÷ 4) / (16 ÷ 4) = 3/4
- चिकूंचे पेरूंशी गुणोत्तर = 16:12 = 16/12 = (16 ÷ 4) / (12 ÷ 4) = 4/3
महत्त्वाचे: गुणोत्तर काढताना कोणत्या राशीचे कोणत्या राशीशी गुणोत्तर काढायचे आहे, हे स्पष्ट असावे. पहिले पद नेहमी अंशस्थानी आणि दुसरे पद छेदस्थानी येते.
गुणोत्तर काढताना 'पहिले पद' आणि 'दुसरे पद' यांची अदलाबदल करू नका. a:b हे b:a पेक्षा वेगळे आहे.
गुणोत्तरासंबंधी महत्त्वाच्या बाबी
गुणोत्तर काढताना काही नियम पाळणे आवश्यक आहे, ज्यामुळे अचूक उत्तर मिळते.
- एकके समान असणे:
- दोन राशींचे गुणोत्तर काढताना त्यांची एकके समान असणे अत्यावश्यक आहे.
- जर एकके भिन्न असतील, तर त्यांना समान एककात रूपांतरित करावे लागते.
- सोपे एकक निवडणे फायदेशीर ठरते. (उदा. किग्रॅ आणि ग्रॅम असल्यास ग्रॅममध्ये रूपांतरित करणे).
उदाहरण: गुळाच्या खड्याचे वजन 200 ग्रॅम, गुळाच्या ढेपेचे वजन 1 किग्रॅ.
- 1 किग्रॅ = 1000 ग्रॅम.
- गुणोत्तर = 200 ग्रॅम : 1000 ग्रॅम = 200/1000 = 1/5.
- जर एकके समान केली नाहीत, तर 200/1 असे चुकीचे गुणोत्तर मिळेल.
- गुणोत्तराचा उपयोग करून समीकरण मांडणे:
- गुणोत्तराचा वापर करून अज्ञात राशी शोधण्यासाठी समीकरणे मांडता येतात.
- यामुळे गणिते सोडवणे सोपे होते.
उदाहरण: 15 मुलींसाठी 2 शौचालये लागतात. 75 मुलींसाठी किती?
- शौचालये : मुली = 2 : 15
- 75 मुलींसाठी 'x' शौचालये लागतील असे मानू.
- समीकरण:
x/75 = 2/15 x = (2/15) * 75x = 2 * 5x = 10- म्हणजे 75 मुलींसाठी 10 शौचालये लागतील.
सारांश: गुणोत्तर काढताना एकके समान करा आणि संक्षिप्त रूप द्या. गुणोत्तराचा उपयोग अज्ञात राशी शोधण्यासाठी समीकरणे मांडण्यासाठी होतो.
गुणोत्तराची गणिते सोडवताना नेहमी एकके तपासा. भिन्न एकके असल्यास, त्यांना समान एककात रूपांतरित करण्याचे लक्षात ठेवा.
गुणोत्तर हे दोन राशींमधील स्थिर संबंध दर्शवते. या स्थिर संबंधाचा वापर करून आपण अज्ञात राशी काढू शकतो.
एकमान पद्धत (Unitary Method)
एकमान पद्धत म्हणजे अनेक वस्तूंच्या किमतीवरून एका वस्तूची किंमत काढणे आणि त्यावरून अनेक वस्तूंची किंमत काढणे.
पद्धतीचे टप्पे:
- अनेक वस्तूंची किंमत दिली असल्यास, एका वस्तूची किंमत भागाकार करून काढा.
- उदा. 15 केळ्यांची किंमत 45 रुपये.
- एका केळ्याची किंमत =
45 ÷ 15 = 3 रुपये.
- एका वस्तूची किंमत माहीत असल्यास, अनेक वस्तूंची किंमत गुणाकार करून काढा.
- उदा. एका केळ्याची किंमत 3 रुपये.
- 8 केळ्यांची किंमत =
8 × 3 = 24 रुपये.
उदाहरण 1: 10 फुलांचा गुच्छ 25 रुपयांना, तर 4 फुलांची किंमत किती?
- 10 फुलांची किंमत = 25 रुपये.
- 1 फुलाची किंमत =
25/10 = 2.5 रुपये. - 4 फुलांची किंमत =
2.5 × 4 = 10 रुपये.
उदाहरण 2: 20 मीटर कापडाची किंमत ₹3600 आहे, तर 16 मीटर कापडाची किंमत काढा.
- 20 मीटर कापडाची किंमत = ₹3600
- 1 मीटर कापडाची किंमत =
3600 ÷ 20 = ₹180 - 16 मीटर कापडाची किंमत =
16 × 180 = ₹2880
उपयोग: दैनंदिन जीवनात खरेदी करताना, वस्तूंचे प्रमाण ठरवताना किंवा कोणत्याही प्रमाणात बदल करताना एकमान पद्धत अत्यंत उपयुक्त ठरते.
एकमान पद्धत आणि गुणोत्तर-प्रमाण यांचा जवळचा संबंध आहे. एकमान पद्धतीत आपण अप्रत्यक्षपणे गुणोत्तराचाच वापर करतो.
एकमान पद्धत (Unitary Method): अनेक वस्तूंच्या किमतीवरून एका वस्तूची किंमत काढणे (भागाकार) आणि त्या एका वस्तूच्या किमतीवरून अनेक वस्तूंची किंमत काढणे (गुणाकार) या पद्धतीला एकमान पद्धत म्हणतात.
एकमान पद्धतीची उदाहरणे सोडवताना, 'एका' वस्तूची किंमत किंवा 'एका' एककाचे मूल्य काढणे हा पहिला आणि महत्त्वाचा टप्पा असतो.
