मसावि-लसावि
हा अध्याय 'मसावि-लसावि' विद्यार्थ्यांना संख्यांचे विभाजक, विभाज्य, सामाईक विभाजक आणि सामाईक विभाज्य या मूलभूत संकल्पनांची ओळख करून देतो. यामध्ये मसावि (महत्तम सामाईक विभाजक) आणि लसावि (लघुत्तम सामाईक विभाज्य) कसे काढायचे आणि त्यांचे दैनंदिन जीवनातील उपयोजन कसे करायचे हे शिकवले जाते. उदाहरणांद्वारे, समान लांबीचे तुकडे करणे किंवा विशिष्ट वेळेनंतर पुन्हा एकत्र येणे यासारख्या समस्या सोडवण्यासाठी या संकल्पना कशा उपयुक्त आहेत हे स्पष्ट केले आहे. हे प्रकरण संख्यांच्या गुणधर्मांची सखोल माहिती देते आणि पुढील गणिताच्या अभ्यासासाठी पाया तयार करते.
विभाजक आणि विभाज्य
गणित शिकताना, संख्यांचे विभाजक आणि विभाज्य समजून घेणे खूप महत्त्वाचे आहे. हे मसावि (म.सा.वि.) आणि लसावि (ल.सा.वि.) या संकल्पनांचा आधार आहेत.
- विभाजक (Divisor):
- एखादी संख्या ज्या संख्येने पूर्णपणे भागल्यास बाकी शून्य येते, ती संख्या त्या संख्येचा विभाजक असते.
- उदाहरणार्थ, 36 ला 4 ने भागल्यास बाकी 0 येते, म्हणून 4 हा 36 चा विभाजक आहे.
- प्रत्येक संख्येचा 1 हा विभाजक असतो आणि ती संख्या स्वतःचाही विभाजक असते.
- विभाजक नेहमी मूळ संख्येपेक्षा लहान किंवा तिच्या समान असतो.
- 36 चे विभाजक: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
- 48 चे विभाजक: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48
- विभाज्य (Multiple):
- एखाद्या संख्येला दुसऱ्या संख्येने गुणल्यास मिळणारी संख्या त्या दुसऱ्या संख्येचा विभाज्य असते.
- दुसऱ्या शब्दांत, ज्या संख्येला एखाद्या संख्येने पूर्णपणे भाग जातो, ती संख्या त्या संख्येचा विभाज्य असते.
- उदाहरणार्थ, 36 ही संख्या 4 ने विभाज्य आहे, कारण 36 ला 4 ने पूर्ण भाग जातो (4 × 9 = 36).
- विभाज्य नेहमी मूळ संख्येपेक्षा मोठा किंवा तिच्या समान असतो.
- एखाद्या संख्येचे विभाज्य अनंत असतात.
- 3 चे विभाज्य: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, ...
- 4 चे विभाज्य: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, ...
- सामाईक विभाजक (Common Divisor):
- दोन किंवा अधिक संख्यांच्या विभाजकांमध्ये जे विभाजक समान असतात, त्यांना सामाईक विभाजक म्हणतात.
- उदाहरणार्थ, 36 आणि 48 चे सामाईक विभाजक आहेत: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
- सामाईक विभाज्य (Common Multiple):
- दोन किंवा अधिक संख्यांच्या विभाज्यांमध्ये जे विभाज्य समान असतात, त्यांना सामाईक विभाज्य म्हणतात.
- उदाहरणार्थ, 3 आणि 4 चे सामाईक विभाज्य आहेत: 12, 24, 36, ...
टीप: 'भाजक' आणि 'विभाजक' हे शब्द अनेकदा समानार्थी वापरले जातात, परंतु गणितामध्ये 'विभाजक' हा शब्द अधिक योग्य मानला जातो जेव्हा आपण एखाद्या संख्येला पूर्णपणे भागणाऱ्या संख्यांबद्दल बोलतो.
विभाजक आणि विभाज्य यांच्यातील फरक:
- विभाजक: संख्येला पूर्ण भाग देणारी संख्या (संख्येपेक्षा लहान किंवा समान).
- विभाज्य: संख्येने पूर्ण भाग जाणारी संख्या (संख्येपेक्षा मोठी किंवा समान).
मसावि (महत्तम सामाईक विभाजक)
मसावि म्हणजे दोन किंवा अधिक संख्यांचा सर्वात मोठा सामाईक विभाजक. याला इंग्रजीमध्ये Highest Common Factor (H.C.F.) किंवा Greatest Common Divisor (G.C.D.) असेही म्हणतात.
मसावि काढण्याच्या पद्धती:
- विभाजक पद्धत (Factor Method):
- दिलेल्या प्रत्येक संख्येचे सर्व विभाजक लिहा.
- त्यांतील सामाईक विभाजक ओळखा.
- सामाईक विभाजकांपैकी सर्वात मोठा विभाजक हा मसावि असतो.
उदाहरण: 20 आणि 50 चा मसावि काढा.
- 20 चे विभाजक: 1, 2, 4, 5, 10, 20
- 50 चे विभाजक: 1, 2, 5, 10, 25, 50
- सामाईक विभाजक: 1, 2, 5, 10
- सर्वात मोठा सामाईक विभाजक: 10
- म्हणून, 20 आणि 50 चा मसावि = 10
- मूळ अवयव पद्धत (Prime Factorization Method):
- दिलेल्या प्रत्येक संख्येचे मूळ अवयव पाडा.
- प्रत्येक संख्येच्या मूळ अवयवांमध्ये जे अवयव सामाईक असतील, त्यांचा गुणाकार करा.
- हा गुणाकार म्हणजे मसावि.
उदाहरण: 20 आणि 50 चा मसावि काढा.
- 20 = 2 × 2 × 5
- 50 = 2 × 5 × 5
- सामाईक मूळ अवयव: 2 आणि 5
- मसावि = 2 × 5 = 10
- भागाकार पद्धत (Division Method) / युक्लिडची अल्गोरिदम (Euclidean Algorithm):
- दोन संख्यांचा मसावि काढण्यासाठी, मोठ्या संख्येला लहान संख्येने भागा.
- जर बाकी शून्य आली, तर भाजक हा मसावि असतो.
- जर बाकी शून्य आली नाही, तर पहिल्या भाजकाला बाकीने भागा.
- ही प्रक्रिया बाकी शून्य येईपर्यंत सुरू ठेवा. ज्या भाजकाने बाकी शून्य येईल, तो मसावि असतो.
उदाहरण: 120 आणि 144 चा मसावि काढा.
- 144 ला 120 ने भागा: \(144 = 120 \times 1 + 24\)
- 120 ला 24 ने भागा: \(120 = 24 \times 5 + 0\)
- बाकी शून्य आली. भाजक 24 आहे.
- म्हणून, 120 आणि 144 चा मसावि = 24
मसाविचे गुणधर्म:
- दोन संख्यांचा मसावि नेहमी त्या संख्यांपेक्षा लहान किंवा लहान संख्येएवढा असतो.
- जर दोन संख्यांचा मसावि 1 असेल, तर त्या संख्यांना सह-मूळ संख्या (Co-prime numbers) म्हणतात. उदा. 4 आणि 9.
- जर एक संख्या दुसऱ्या संख्येचा विभाज्य असेल, तर लहान संख्या हा त्यांचा मसावि असतो. उदा. 16 आणि 48, मसावि 16.
मसावि (H.C.F.)
- विभाजक पद्धत: सर्व विभाजक लिहा, सामाईक विभाजकांपैकी सर्वात मोठा निवडा.
- मूळ अवयव पद्धत: मूळ अवयव पाडा, सामाईक मूळ अवयवांचा गुणाकार करा.
- भागाकार पद्धत: मोठ्या संख्येला लहान संख्येने भागा, बाकी शून्य येईपर्यंत प्रक्रिया सुरू ठेवा.
शाब्दिक उदाहरणांमध्ये 'जास्तीत जास्त', 'सर्वात मोठा', 'समान भागांमध्ये' असे शब्द आल्यास, सहसा मसावि काढायचा असतो.
लसावि (लघुतम सामाईक विभाज्य)
लसावि म्हणजे दोन किंवा अधिक संख्यांचा सर्वात लहान सामाईक विभाज्य. याला इंग्रजीमध्ये Least Common Multiple (L.C.M.) असेही म्हणतात.
लसावि काढण्याच्या पद्धती:
- विभाज्य पद्धत (Multiple Method):
- दिलेल्या प्रत्येक संख्येचे काही विभाज्य लिहा.
- त्यांतील सामाईक विभाज्य ओळखा.
- सामाईक विभाजकांपैकी सर्वात लहान विभाज्य हा लसावि असतो.
उदाहरण: 6 आणि 8 चा लसावि काढा.
- 6 चे विभाज्य: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, ...
- 8 चे विभाज्य: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, ...
- सामाईक विभाज्य: 24, 48, ...
- सर्वात लहान सामाईक विभाज्य: 24
- म्हणून, 6 आणि 8 चा लसावि = 24
- मूळ अवयव पद्धत (Prime Factorization Method):
- दिलेल्या प्रत्येक संख्येचे मूळ अवयव पाडा.
- प्रत्येक मूळ अवयव जास्तीत जास्त वेळा ज्या संख्येत येतो, तेवढ्या वेळा तो घेऊन त्यांचा गुणाकार करा.
- हा गुणाकार म्हणजे लसावि.
उदाहरण: 6 आणि 8 चा लसावि काढा.
- 6 = 2 × 3
- 8 = 2 × 2 × 2 = \(2^3\)
- येथे, 2 हा अवयव 8 मध्ये 3 वेळा येतो (जास्तीत जास्त). 3 हा अवयव 6 मध्ये 1 वेळा येतो.
- लसावि = \(2^3 \times 3 = 8 \times 3 = \textbf{24}\)
- अखंड भागाकार पद्धत (Common Division Method):
- दिलेल्या संख्यांना एकाच वेळी सामाईक मूळ अवयवाने भागा.
- जोपर्यंत कोणत्याही दोन संख्यांना सामाईक अवयवाने भाग जातो, तोपर्यंत भागाकार करत रहा.
- सर्व भाजक आणि शेवटी बाकी राहिलेल्या संख्यांचा गुणाकार म्हणजे लसावि.
उदाहरण: 12, 28 चा लसावि काढा. ` 2 | 12, 28 2 | 6, 14 3 | 3, 7 7 | 1, 7 | 1, 1 `
- लसावि = 2 × 2 × 3 × 7 = \(4 \times 21 = \textbf{84}\)
लसाविचे गुणधर्म:
- दोन संख्यांचा लसावि नेहमी त्या संख्यांपेक्षा मोठा किंवा मोठ्या संख्येएवढा असतो.
- जर दोन संख्या सह-मूळ संख्या असतील, तर त्यांचा लसावि त्या संख्यांच्या गुणाकाराएवढा असतो. उदा. 4 आणि 9 चा लसावि = 4 × 9 = 36.
- जर एक संख्या दुसऱ्या संख्येचा विभाज्य असेल, तर मोठी संख्या हा त्यांचा लसावि असतो. उदा. 16 आणि 48, लसावि 48.
लसावि (L.C.M.)
- विभाज्य पद्धत: सर्व विभाज्य लिहा, सामाईक विभाज्यांपैकी सर्वात लहान निवडा.
- मूळ अवयव पद्धत: मूळ अवयव पाडा, प्रत्येक अवयव जास्तीत जास्त वेळा घेऊन गुणाकार करा.
- अखंड भागाकार पद्धत: सामाईक अवयवांनी भागा, सर्व भाजक आणि बाकी राहिलेल्यांचा गुणाकार करा.
शाब्दिक उदाहरणांमध्ये 'कमीत कमी', 'सर्वात लहान', 'पुन्हा कधी एकत्र येतील' असे शब्द आल्यास, सहसा लसावि काढायचा असतो.
मसावि आणि लसावि यांच्यातील संबंध
मसावि आणि लसावि यांच्यात एक महत्त्वाचा संबंध आहे, जो दोन संख्यांसाठी लागू होतो.
- दोन संख्यांचा गुणाकार = त्या संख्यांचा मसावि × त्या संख्यांचा लसावि
- म्हणजे, जर दोन संख्या 'अ' आणि 'ब' असतील, तर \(अ \times ब = मसावि(अ, ब) \times लसावि(अ, ब)\).
उदाहरण: 6 आणि 8 या संख्यांचा मसावि 2 आहे आणि लसावि 24 आहे.
- संख्यांचा गुणाकार = \(6 \times 8 = 48\)
- मसावि × लसावि = \(2 \times 24 = 48\)
- येथे, \(48 = 48\). हा संबंध सिद्ध होतो.
- हा संबंध फक्त दोन संख्यांसाठी लागू होतो, तीन किंवा अधिक संख्यांसाठी नाही.
या संबंधाचा उपयोग:
- जर तुम्हाला दोन संख्या आणि त्यांचा मसावि माहित असेल, तर तुम्ही त्यांचा लसावि काढू शकता.
- जर तुम्हाला दोन संख्या आणि त्यांचा लसावि माहित असेल, तर तुम्ही त्यांचा मसावि काढू शकता.
- जर तुम्हाला मसावि, लसावि आणि एक संख्या माहित असेल, तर तुम्ही दुसरी संख्या काढू शकता.
महत्वाचे सूत्र: दोन संख्यांचा गुणाकार = मसावि \( \times \) लसावि
हा संबंध फक्त दोन संख्यांसाठी लागू होतो. तीन किंवा अधिक संख्यांसाठी हे सूत्र वापरू नका.
मसावि आणि लसावि यांचे उपयोजन
मसावि आणि लसावि यांचा उपयोग दैनंदिन जीवनातील अनेक समस्या सोडवण्यासाठी होतो. विशेषतः जेव्हा आपल्याला वस्तूंचे समान गट करायचे असतात किंवा घटना पुन्हा कधी एकत्र घडतील हे शोधायचे असते.
मसाविचे उपयोजन:
- समान भागांमध्ये विभागणे: जेव्हा आपल्याला दोन किंवा अधिक भिन्न लांबीच्या वस्तूंचे समान लांबीचे तुकडे करायचे असतात आणि ते तुकडे जास्तीत जास्त लांबीचे असावेत.
- उदा. 12 मीटर आणि 18 मीटर लांबीच्या कागदी पट्ट्यांचे समान लांबीचे तुकडे करायचे आहेत. जास्तीत जास्त किती लांबीचे तुकडे करता येतील? (मसावि = 6 मीटर)
- समान वजनाचे किंवा मापाचे गट करणे: जेव्हा आपल्याला वेगवेगळ्या वजनाच्या/मापाच्या वस्तूंचे समान वजनाचे/मापाचे गट करायचे असतात आणि प्रत्येक गटातील वजन/माप जास्तीत जास्त असावे.
- उदा. 20 किग्रॅ जवारी आणि 50 किग्रॅ गहू समान वजनाच्या पिशव्यांमध्ये भरायचे आहेत. प्रत्येक पिशवीत जास्तीत जास्त किती धान्य भरता येईल? (मसावि = 10 किग्रॅ)
- चौरसाकृती वाफे तयार करणे: आयताकृती जमिनीच्या तुकड्यावर जास्तीत जास्त आकाराचे चौरसाकृती वाफे तयार करणे.
लसाविचे उपयोजन:
- घटना पुन्हा कधी एकत्र घडतील: जेव्हा दोन किंवा अधिक घटना वेगवेगळ्या वेळेच्या अंतराने घडतात आणि त्या पुन्हा कधी एकत्र घडतील हे शोधायचे असते.
- उदा. तीन सिग्नल 60, 120, 24 सेकंदांनी हिरवे होतात. ते पुन्हा कधी एकत्र हिरवे होतील? (लसावि = 120 सेकंद)
- समान संख्या शोधणे: जेव्हा आपल्याला अशा कमीत कमी संख्येची आवश्यकता असते, जी दिलेल्या सर्व संख्यांनी पूर्णपणे विभाज्य असेल.
- उदा. कवायतीसाठी मुलांच्या रांगेत 20 किंवा 25 मुले राहतील अशा रांगा केल्यास, एकही मुलगा शिल्लक राहत नाही. शाळेत कमीत कमी किती मुले आहेत? (लसावि = 100 मुले)
- अपूर्णांकांची बेरीज/वजाबाकी: अपूर्णांकांची बेरीज किंवा वजाबाकी करताना छेद समान करण्यासाठी लसाविचा उपयोग होतो.
शाब्दिक उदाहरणांसाठी महत्त्वाचे शब्द:
- मसावि: जास्तीत जास्त, सर्वात मोठा, समान भागांमध्ये, किती लांबीचे/वजनाचे.
- लसावि: कमीत कमी, सर्वात लहान, पुन्हा कधी एकत्र, किमान संख्या.
