विभाज्यता
हा अध्याय विद्यार्थ्यांना संख्यांच्या विभाज्यतेच्या कसोट्या शिकवतो. यामध्ये 2, 3, 4, 5, 9 आणि 10 च्या विभाज्यतेच्या कसोट्यांचा समावेश आहे. या कसोट्या मोठ्या संख्यांना भागाकार न करता त्या कोणत्या संख्येने विभाज्य आहेत हे ओळखण्यास मदत करतात. दैनंदिन जीवनात आणि गणितातील पुढील संकल्पना समजून घेण्यासाठी या कसोट्या महत्त्वाच्या आहेत.
विभाज्यता म्हणजे काय?
जेव्हा एका संख्येला दुसऱ्या संख्येने भागल्यावर बाकी शून्य उरते, तेव्हा पहिली संख्या दुसऱ्या संख्येने विभाज्य आहे असे म्हणतात. दुसरी संख्या पहिल्या संख्येचा भाजक (अवयव) असते.
- उदाहरण: 10 ला 5 ने भागल्यास बाकी 0 उरते. म्हणून 10 ही 5 ने विभाज्य आहे आणि 5 हा 10 चा भाजक आहे.
- महत्वाचे: प्रत्येक संख्या स्वतःने आणि 1 ने विभाज्य असते.
- विभाज्य संख्या: ज्या संख्येला 1 आणि स्वतःव्यतिरिक्त इतर भाजक असतात, त्या संख्येला विभाज्य संख्या म्हणतात.
- अविभाज्य संख्या: ज्या संख्येला 1 आणि स्वतःव्यतिरिक्त कोणताही भाजक नसतो, त्या संख्येला अविभाज्य संख्या म्हणतात.
विभाज्यता (Divisibility): जर एका संख्येला दुसऱ्या संख्येने भागल्यास बाकी शून्य उरत असेल, तर ती संख्या दुसऱ्या संख्येने विभाज्य आहे असे म्हणतात.
2, 5, 10 ची विभाज्यता कसोटी
या कसोट्या एकक स्थानच्या अंकावर आधारित असतात. त्या समजून घेणे सोपे आहे.
2 ची विभाज्यता कसोटी
- कसोटी: जर एखाद्या संख्येच्या एकक स्थानी 0, 2, 4, 6, किंवा 8 यापैकी कोणताही अंक असेल, तर ती संख्या 2 ने विभाज्य असते.
- उदाहरण:
- 124 (एकक स्थानी 4 आहे) → 2 ने विभाज्य आहे.
- 567 (एकक स्थानी 7 आहे) → 2 ने विभाज्य नाही.
5 ची विभाज्यता कसोटी
- कसोटी: जर एखाद्या संख्येच्या एकक स्थानी 0 किंवा 5 यापैकी कोणताही अंक असेल, तर ती संख्या 5 ने विभाज्य असते.
- उदाहरण:
- 235 (एकक स्थानी 5 आहे) → 5 ने विभाज्य आहे.
- 890 (एकक स्थानी 0 आहे) → 5 ने विभाज्य आहे.
- 123 (एकक स्थानी 3 आहे) → 5 ने विभाज्य नाही.
10 ची विभाज्यता कसोटी
- कसोटी: जर एखाद्या संख्येच्या एकक स्थानी 0 असेल, तर ती संख्या 10 ने विभाज्य असते.
- उदाहरण:
- 450 (एकक स्थानी 0 आहे) → 10 ने विभाज्य आहे.
- 785 (एकक स्थानी 5 आहे) → 10 ने विभाज्य नाही.
तुलनात्मक सारणी
| कसोटी | अट (एकक स्थानचा अंक) | उदाहरणे (विभाज्य) | उदाहरणे (अविभाज्य) | |---|---|---|---| | 2 ची | 0, 2, 4, 6, 8 | 24, 136, 50 | 23, 137, 51 | | 5 ची | 0, 5 | 35, 140, 255 | 31, 142, 256 | | 10 ची | 0 | 60, 270, 1000 | 65, 271, 1001 |
2, 5, 10 च्या कसोट्या सर्वात सोप्या आहेत. एकक स्थानचा अंक पाहून लगेच उत्तर देता येते. परीक्षेत वेळ वाचवण्यासाठी या कसोट्या लक्षात ठेवा.
3 ची विभाज्यता कसोटी
3 ची विभाज्यता कसोटी
- कसोटी: जर एखाद्या संख्येतील अंकांच्या बेरजेला 3 ने नि:शेष भाग जात असेल, तर ती संख्या 3 ने विभाज्य असते.
- पायऱ्या:
- दिलेल्या संख्येतील सर्व अंकांची बेरीज करा.
- मिळालेल्या बेरजेला 3 ने भाग जातो का ते तपासा.
- जर भाग जात असेल, तर मूळ संख्या 3 ने विभाज्य आहे.
- उदाहरण 1: संख्या 63
- अंकांची बेरीज: $6 + 3 = 9$
- 9 ला 3 ने भाग जातो ($9 \div 3 = 3$)
- म्हणून, 63 ही 3 ने विभाज्य आहे.
- उदाहरण 2: संख्या 872
- अंकांची बेरीज: $8 + 7 + 2 = 17$
- 17 ला 3 ने भाग जात नाही.
- म्हणून, 872 ही 3 ने विभाज्य नाही.
- उदाहरण 3: संख्या 9336
- अंकांची बेरीज: $9 + 3 + 3 + 6 = 21$
- 21 ला 3 ने भाग जातो ($21 \div 3 = 7$)
- म्हणून, 9336 ही 3 ने विभाज्य आहे.
सराव सारणी (NCERT Table 8.1 वर आधारित)
| संख्या | संख्येतील अंकांची बेरीज | बेरजेला 3 ने भाग जातो का? | दिलेली संख्या 3 ने विभाज्य आहे का? | |---|---|---|---| | 63 | $6 + 3 = 9$ | होय | होय | | 872 | $8 + 7 + 2 = 17$ | नाही | नाही | | 91 | $9 + 1 = 10$ | नाही | नाही | | 552 | $5 + 5 + 2 = 12$ | होय | होय | | 9336 | $9 + 3 + 3 + 6 = 21$ | होय | होय | | 4527 | $4 + 5 + 2 + 7 = 18$ | होय | होय |
अनेकदा विद्यार्थी अंकांची बेरीज न करता थेट संख्येला 3 ने भागण्याचा प्रयत्न करतात. कसोटी वापरल्यास वेळ वाचतो.
4 ची विभाज्यता कसोटी
4 ची विभाज्यता कसोटी
- कसोटी: जर एखाद्या संख्येतील दशक व एकक स्थानच्या अंकांनी तयार होणाऱ्या संख्येला 4 ने नि:शेष भाग जात असेल, तर ती संख्या 4 ने विभाज्य असते. किंवा, जर संख्येच्या शेवटचे दोन अंक 00 असतील, तर ती संख्या 4 ने विभाज्य असते.
- पायऱ्या:
- दिलेल्या संख्येतील शेवटचे दोन अंक (दशक आणि एकक स्थानचे) घेऊन एक नवीन संख्या तयार करा.
- या नवीन संख्येला 4 ने भाग जातो का ते तपासा.
- जर भाग जात असेल, तर मूळ संख्या 4 ने विभाज्य आहे.
- उदाहरण 1: संख्या 992
- दशक व एकक स्थानचे अंक: 92
- 92 ला 4 ने भाग जातो ($92 \div 4 = 23$)
- म्हणून, 992 ही 4 ने विभाज्य आहे.
- उदाहरण 2: संख्या 7314
- दशक व एकक स्थानचे अंक: 14
- 14 ला 4 ने भाग जात नाही.
- म्हणून, 7314 ही 4 ने विभाज्य नाही.
- उदाहरण 3: संख्या 6448
- दशक व एकक स्थानचे अंक: 48
- 48 ला 4 ने भाग जातो ($48 \div 4 = 12$)
- म्हणून, 6448 ही 4 ने विभाज्य आहे.
सराव सारणी (NCERT Table 8.2 वर आधारित)
| संख्या | दशक व एकक स्थानच्या अंकांनी तयार झालेली संख्या | तयार झालेली संख्या 4 ने विभाज्य आहे का? | दिलेली संख्या 4 ने विभाज्य आहे का? | |---|---|---|---| | 992 | 92 | होय | होय | | 7314 | 14 | नाही | नाही | | 6448 | 48 | होय | होय | | 8116 | 16 | होय | होय | | 7773 | 73 | नाही | नाही | | 3024 | 24 | होय | होय |
मोठ्या संख्यांसाठी 4 ची कसोटी खूप उपयुक्त आहे, कारण आपल्याला फक्त शेवटच्या दोन अंकांचा विचार करावा लागतो.
9 ची विभाज्यता कसोटी
9 ची विभाज्यता कसोटी
- कसोटी: जर एखाद्या संख्येतील अंकांच्या बेरजेला 9 ने नि:शेष भाग जात असेल, तर ती संख्या 9 ने विभाज्य असते.
- पायऱ्या:
- दिलेल्या संख्येतील सर्व अंकांची बेरीज करा.
- मिळालेल्या बेरजेला 9 ने भाग जातो का ते तपासा.
- जर भाग जात असेल, तर मूळ संख्या 9 ने विभाज्य आहे.
- उदाहरण 1: संख्या 1980
- अंकांची बेरीज: $1 + 9 + 8 + 0 = 18$
- 18 ला 9 ने भाग जातो ($18 \div 9 = 2$)
- म्हणून, 1980 ही 9 ने विभाज्य आहे.
- उदाहरण 2: संख्या 2999
- अंकांची बेरीज: $2 + 9 + 9 + 9 = 29$
- 29 ला 9 ने भाग जात नाही.
- म्हणून, 2999 ही 9 ने विभाज्य नाही.
- उदाहरण 3: संख्या 7578
- अंकांची बेरीज: $7 + 5 + 7 + 8 = 27$
- 27 ला 9 ने भाग जातो ($27 \div 9 = 3$)
- म्हणून, 7578 ही 9 ने विभाज्य आहे.
सराव सारणी (NCERT Table 8.3 वर आधारित)
| संख्या | संख्येतील अंकांची बेरीज | बेरीज 9 ने विभाज्य आहे का? | दिलेली संख्या 9 ने विभाज्य आहे का? | |---|---|---|---| | 1980 | $1 + 9 + 8 + 0 = 18$ | होय | होय | | 2999 | $2 + 9 + 9 + 9 = 29$ | नाही | नाही | | 5004 | $5 + 0 + 0 + 4 = 9$ | होय | होय | | 13389 | $1 + 3 + 3 + 8 + 9 = 24$ | नाही | नाही | | 7578 | $7 + 5 + 7 + 8 = 27$ | होय | होय | | 69993 | $6 + 9 + 9 + 9 + 3 = 36$ | होय | होय |
लक्षात ठेवा: जी संख्या 9 ने विभाज्य असते, ती 3 ने सुद्धा विभाज्य असते. कारण 9 हा 3 चा गुणक आहे. पण जी संख्या 3 ने विभाज्य असते, ती 9 ने विभाज्य असेलच असे नाही.
विभाज्यता कसोट्यांचा एकत्रित वापर
काही संख्या एकापेक्षा जास्त कसोट्या पूर्ण करतात. उदा. 10 ने विभाज्य असलेल्या सर्व संख्या 2 आणि 5 ने सुद्धा विभाज्य असतात.
उदाहरणे आणि विश्लेषण
- संख्या 125:
- 2 ने विभाज्य? नाही (एकक स्थानी 5 आहे)
- 5 ने विभाज्य? होय (एकक स्थानी 5 आहे)
- 10 ने विभाज्य? नाही (एकक स्थानी 5 आहे)
- 3 ने विभाज्य? नाही ($1+2+5=8$, 8 ला 3 ने भाग जात नाही)
- 4 ने विभाज्य? नाही (25 ला 4 ने भाग जात नाही)
- 9 ने विभाज्य? नाही ($1+2+5=8$, 8 ला 9 ने भाग जात नाही)
- संख्या 364:
- 2 ने विभाज्य? होय (एकक स्थानी 4 आहे)
- 5 ने विभाज्य? नाही
- 10 ने विभाज्य? नाही
- 3 ने विभाज्य? नाही ($3+6+4=13$, 13 ला 3 ने भाग जात नाही)
- 4 ने विभाज्य? होय (64 ला 4 ने भाग जातो)
- 9 ने विभाज्य? नाही ($3+6+4=13$, 13 ला 9 ने भाग जात नाही)
- संख्या 750:
- 2 ने विभाज्य? होय (एकक स्थानी 0 आहे)
- 5 ने विभाज्य? होय (एकक स्थानी 0 आहे)
- 10 ने विभाज्य? होय (एकक स्थानी 0 आहे)
- 3 ने विभाज्य? होय ($7+5+0=12$, 12 ला 3 ने भाग जातो)
- 4 ने विभाज्य? नाही (50 ला 4 ने भाग जात नाही)
- 9 ने विभाज्य? नाही ($7+5+0=12$, 12 ला 9 ने भाग जात नाही)
- संख्या 8710:
- 2 ने विभाज्य? होय (एकक स्थानी 0 आहे)
- 5 ने विभाज्य? होय (एकक स्थानी 0 आहे)
- 10 ने विभाज्य? होय (एकक स्थानी 0 आहे)
- 3 ने विभाज्य? नाही ($8+7+1+0=16$, 16 ला 3 ने भाग जात नाही)
- 4 ने विभाज्य? नाही (10 ला 4 ने भाग जात नाही)
- 9 ने विभाज्य? नाही ($8+7+1+0=16$, 16 ला 9 ने भाग जात नाही)
सारांश सारणी (दिलेल्या संख्यांसाठी)
| संख्या | 2 ने विभाज्य | 5 ने विभाज्य | 10 ने विभाज्य | 3 ने विभाज्य | 4 ने विभाज्य | 9 ने विभाज्य | |---|---|---|---|---|---|---| | 125 | नाही | होय | नाही | नाही | नाही | नाही | | 364 | होय | नाही | नाही | नाही | होय | नाही | | 475 | नाही | होय | नाही | नाही | नाही | नाही | | 750 | होय | होय | होय | होय | नाही | नाही | | 800 | होय | होय | होय | नाही | होय | नाही | | 628 | होय | नाही | नाही | नाही | होय | नाही | | 206 | होय | नाही | नाही | नाही | नाही | नाही | | 508 | होय | नाही | नाही | नाही | होय | नाही | | 7009 | नाही | नाही | नाही | नाही | नाही | नाही | | 5345 | नाही | होय | नाही | नाही | नाही | नाही | | 8710 | होय | होय | होय | नाही | नाही | नाही |
एकाच संख्येसाठी अनेक कसोट्या लागू होऊ शकतात. प्रश्नामध्ये कोणती कसोटी विचारली आहे, हे काळजीपूर्वक वाचा.
