दशांश अपूर्णांक

दशांश अपूर्णांक म्हणजे ज्या अपूर्णांकांचा छेद 10, 100, 1000 अशा 10 च्या पटीत असतो. दशांश अपूर्णांक लिहिताना दशांशचिन्हाचा वापर केला जातो. दशांशचिन्हाच्या डावीकडील अंक पूर्णांक भाग दर्शवतात, तर उजवीकडील अंक अपूर्णांक भाग दर्शवतात.

स्थानिक किंमत (Place Value)

दशांश अपूर्णांकातील प्रत्येक अंकाची स्थानिक किंमत त्याच्या स्थानानुसार बदलते.

• दशांशचिन्हाच्या डावीकडे:
• पहिले स्थान: एकक (1)
• दुसरे स्थान: दशक (10)
• तिसरे स्थान: शतक (100)
• दशांशचिन्हाच्या उजवीकडे:
• पहिले स्थान: दशांश (1/10)
• दुसरे स्थान: शतांश (1/100)
• तिसरे स्थान: सहस्रांश (1/1000)

उदाहरण: 378.025 या संख्येत:

• 3 ची स्थानिक किंमत = 300 (शतक)
• 7 ची स्थानिक किंमत = 70 (दशक)
• 8 ची स्थानिक किंमत = 8 (एकक)
• 0 ची स्थानिक किंमत = 0/10 = 0 (दशांश)
• 2 ची स्थानिक किंमत = 2/100 = 0.02 (शतांश)
• 5 ची स्थानिक किंमत = 5/1000 = 0.005 (सहस्रांश)

दशांश अपूर्णांकांची बेरीज (Addition of Decimal Fractions)

दशांश अपूर्णांकांची बेरीज करताना काही महत्त्वाचे नियम पाळावे लागतात:

1. दिलेल्या संख्यांची मांडणी करताना दशांशचिन्हे एका खाली एक येतील याची खात्री करा.
2. दशांशचिन्हाच्या उजवीकडील किंवा डावीकडील रिकाम्या जागांमध्ये शून्य (0) लिहून संख्यांची लांबी समान करा. यामुळे बेरीज करणे सोपे होते.
3. पूर्णांक संख्यांची बेरीज करताना जसे करतो, तसेच उजवीकडून डावीकडे बेरीज करा.
4. दशांशचिन्ह योग्य ठिकाणी, म्हणजे बेरजेतही दशांशचिन्हाच्या खाली दशांशचिन्ह येईल अशा प्रकारे द्या.

उदाहरण: 905.5 + 27.197 + 40.0 + 27.7 + 2.451

` 905.500 27.197 40.000 27.700

• 2.451

--------- 1002.848 `

दशांश अपूर्णांकांची वजाबाकी (Subtraction of Decimal Fractions)

दशांश अपूर्णांकांची वजाबाकी करतानाही बेरीज प्रमाणेच नियम लागू होतात:

1. दशांशचिन्हे एका खाली एक येतील अशा प्रकारे संख्यांची मांडणी करा.
2. रिकाम्या जागांमध्ये शून्य (0) लिहून संख्यांची लांबी समान करा.
3. पूर्णांक संख्यांची वजाबाकी करताना जसे करतो, तसेच उजवीकडून डावीकडे वजाबाकी करा.
4. दशांशचिन्ह योग्य ठिकाणी, म्हणजे वजाबाकीतही दशांशचिन्हाच्या खाली दशांशचिन्ह येईल अशा प्रकारे द्या.

उदाहरण: 200.005 - 17.186

` 200.005

• 17.186

---------- 182.819 `

टीप: रुपये-पैसे, मीटर-सेमी यांसारख्या एककांमध्ये दोन दशांश स्थळे वापरली जातात. किलोग्रॅम-ग्रॅम, किलोमीटर-मीटर, लीटर-मिलीलीटर यांसारख्या एककांमध्ये तीन दशांश स्थळे वापरली जातात. एकक रूपांतरण करताना दशांश स्थळांची संख्या योग्य ठेवणे महत्त्वाचे आहे. उदा. 1 किग्रॅ = 1000 ग्रॅम, त्यामुळे 750 ग्रॅम = 0.750 किग्रॅ.

संख्यारेषेवर दशांश अपूर्णांक दर्शवणे (Representing Decimal Fractions on a Number Line)

संख्यारेषा म्हणजे संख्या दर्शवण्यासाठी वापरली जाणारी एक सरळ रेषा. पूर्णांक संख्यांप्रमाणेच दशांश अपूर्णांकही संख्यारेषेवर दर्शवता येतात.

1. पूर्णांक भाग ओळखणे: दशांश अपूर्णांकाचा पूर्णांक भाग कोणत्या दोन पूर्णांकांच्या दरम्यान येतो हे ठरवा.

• उदा. 0.7 हा 0 आणि 1 च्या दरम्यान येतो.
• उदा. 6.5 हा 6 आणि 7 च्या दरम्यान येतो.

1. दशांश भाग दर्शवणे: दोन पूर्णांकांमधील अंतर 10 समान भागांमध्ये विभागले जाते. प्रत्येक भाग 0.1 दर्शवतो.

• 0.7 दर्शवण्यासाठी, 0 पासून उजवीकडे 7 वे लहान चिन्ह पहा.
• 6.5 दर्शवण्यासाठी, 6 पासून उजवीकडे 5 वे लहान चिन्ह पहा (जे 6 आणि 7 च्या बरोबर मध्यभागी असते).

व्यवहारी अपूर्णांकाचे दशांश अपूर्णांकांत रूपांतर (Conversion of Common Fractions to Decimal Fractions)

व्यवहारी अपूर्णांकाचे दशांश अपूर्णांकांत रूपांतर करण्याचे मुख्य उद्दिष्ट म्हणजे छेदाला 10, 100, 1000 अशा 10 च्या पटीत आणणे.

पद्धत 1: छेद 10 च्या पटीत आणणे

• जर छेद 10, 100, 1000 असेल तर:
• अंशस्थानी शून्यांपेक्षा जास्त अंक: उजवीकडून शून्यांच्या संख्येइतके अंक सोडून दशांशचिन्ह द्या.
• उदा. \(723/10 = 72.3\)
• उदा. \(51250/100 = 512.50\)
• उदा. \(5138/1000 = 5.138\)
• अंशस्थानी शून्याइतकेच अंक: अंशाच्या आधी दशांशचिन्ह देऊन पूर्णांकाच्या जागी शून्य लिहा.
• उदा. \(7/10 = 0.7\)
• उदा. \(54/100 = 0.54\)
• उदा. \(725/1000 = 0.725\)
• अंशस्थानी शून्यांपेक्षा कमी अंक: अंशाच्या आधी काही शून्ये देऊन एकूण अंक छेदातील शून्यांच्या संख्येएवढे करा. त्या आधी दशांशचिन्ह लिहा व पूर्णांकाच्या जागी शून्य लिहा.
• उदा. \(8/100 = 0.08\)
• उदा. \(8/1000 = 0.008\)

पद्धत 2: भागाकार पद्धत

• जर छेद 10 च्या पटीत आणणे शक्य नसेल, तर अंशाला छेदाने प्रत्यक्ष भागाकार करा.
• उदा. \(3/4\)
• 3 ला 4 ने भागल्यास 0.75 मिळते.
• उदा. \(9/8\)
• 9 ला 8 ने भागल्यास 1.125 मिळते.

दशांश अपूर्णांकाचे व्यवहारी अपूर्णांकांत रूपांतर (Conversion of Decimal Fractions to Common Fractions)

दशांश अपूर्णांकाचे व्यवहारी अपूर्णांकात रूपांतर करताना:

1. दिलेल्या दशांश अपूर्णांकातील दशांशचिन्हाचा विचार न करता मिळालेली संख्या अंशाच्या स्थानी लिहा.
2. छेदाच्या स्थानी 1 हा अंक लिहा.
3. दशांशचिन्हाच्या पुढे जेवढे अंक असतील, तेवढी शून्ये 1 च्या पुढे लिहा.

उदाहरणे:

• \(26.4 = 264/10\) (दशांशचिन्हापुढे 1 अंक, म्हणून 1 शून्य)
• \(0.04 = 4/100\) (दशांशचिन्हापुढे 2 अंक, म्हणून 2 शून्ये)
• \(19.315 = 19315/1000\) (दशांशचिन्हापुढे 3 अंक, म्हणून 3 शून्ये)
• \(70.400 = 70400/1000 = 704/10\) (शून्ये कमी करता येतात)

दशांश अपूर्णांकांचा गुणाकार करताना, पूर्णांक संख्यांच्या गुणाकाराप्रमाणेच प्रक्रिया केली जाते, परंतु दशांशचिन्हाच्या स्थानाकडे विशेष लक्ष द्यावे लागते.

दशांश अपूर्णांकाचा पूर्णांक संख्येने गुणाकार

1. दशांशचिन्हाचा विचार न करता, दिलेल्या संख्यांचा पूर्णांक संख्यांप्रमाणे गुणाकार करा.
2. गुण्य (ज्या संख्येला गुणले जाते) मध्ये दशांशचिन्हाच्या उजवीकडे जेवढे अंक असतील, तेवढे अंक गुणाकारात उजवीकडून सोडून दशांशचिन्ह द्या.

उदाहरण: \(4.3 \times 5\)

• दशांशचिन्हाचा विचार न करता: \(43 \times 5 = 215\)
• 4.3 मध्ये दशांशचिन्हाच्या उजवीकडे 1 अंक आहे.
• म्हणून, गुणाकारात उजवीकडून 1 अंक सोडून दशांशचिन्ह द्या: \(21.5\)

दशांश अपूर्णांकाचा दशांश अपूर्णांकाने गुणाकार

1. दशांशचिन्हाचा विचार न करता, दिलेल्या संख्यांचा पूर्णांक संख्यांप्रमाणे गुणाकार करा.
2. गुण्य आणि गुणक (ज्या संख्येने गुणले जाते) या दोन्ही संख्यांमधील दशांशचिन्हाच्या उजवीकडील अंकांची एकूण संख्या मोजा.
3. गुणाकारात उजवीकडून तेवढे अंक सोडून दशांशचिन्ह द्या.

उदाहरण: \(62.32 \times 2.5\)

• दशांशचिन्हाचा विचार न करता: \(6232 \times 25 = 155800\)
• 62.32 मध्ये दशांशचिन्हाच्या उजवीकडे 2 अंक आहेत.
• 2.5 मध्ये दशांशचिन्हाच्या उजवीकडे 1 अंक आहे.
• एकूण दशांश स्थळे = \(2 + 1 = 3\)
• म्हणून, गुणाकारात उजवीकडून 3 अंक सोडून दशांशचिन्ह द्या: \(155.800\)

टीप: \(155.800 = 155.80 = 155.8\) हे सर्व समान आहेत. दशांशचिन्हाच्या उजवीकडील शेवटची शून्ये काढता येतात.

10, 100, 1000 ने गुणाकार

• दशांश अपूर्णांकाला 10, 100, 1000 ने गुणताना, दशांशचिन्ह जेवढे शून्य असतील तेवढ्या स्थानांनी उजवीकडे सरकते.
• \(3.45 \times 10 = 34.5\)
• \(3.45 \times 100 = 345.0\)
• \(3.45 \times 1000 = 3450.0\)
• जर अंक कमी पडत असतील, तर उजवीकडे शून्य द्यावे लागतात.
• \(0.2 \times 100 = 20.0\)

दशांश अपूर्णांकांचा भागाकार करताना, भागाकार क्रिया सोपी करण्यासाठी दशांशचिन्हे काढून टाकण्याचा प्रयत्न केला जातो.

दशांश अपूर्णांकाचा पूर्णांक संख्येने भागाकार

1. दशांशचिन्हाचा विचार न करता, दिलेल्या संख्यांचा पूर्णांक संख्यांप्रमाणे भागाकार करा.
2. भागाकारात, भाज्य (ज्या संख्येला भागले जाते) मध्ये जिथे दशांशचिन्ह आहे, बरोबर त्याच ठिकाणी दशांशचिन्ह द्या.

उदाहरण: \(6.2 \div 2\)

• 62 ला 2 ने भागल्यास 31 मिळते.
• 6.2 मध्ये दशांशचिन्ह 6 नंतर आहे.
• म्हणून, भागाकारात 3 नंतर दशांशचिन्ह द्या: \(3.1\)

पर्यायी पद्धत (व्यवहारी अपूर्णांकात रूपांतर):

• \(6.2 \div 2 = 62/10 \div 2/1 = 62/10 \times 1/2 = 31/10 = 3.1\)

दशांश अपूर्णांकाचा दशांश अपूर्णांकाने भागाकार

दशांश अपूर्णांकाने भागताना, भाजक (ज्या संख्येने भागले जाते) हा पूर्णांक संख्या बनवणे सोपे असते.

1. भाजक पूर्णांक संख्या होईपर्यंत भाजक आणि भाज्य या दोघेही संख्यांना 10, 100, 1000 ने गुणा.

• उदा. \(4.8 \div 1.2\)
• भाजक 1.2 ला 10 ने गुणल्यास 12 मिळते.
• भाज्या 4.8 ला 10 ने गुणल्यास 48 मिळते.
• आता भागाकार \(48 \div 12 = 4\)

पर्यायी पद्धत (व्यवहारी अपूर्णांकात रूपांतर):

• \(4.8 \div 1.2 = 48/10 \div 12/10 = 48/10 \times 10/12 = 48/12 = 4\)

उदाहरण: \(3.4 \div 5\)

• येथे भाजक 5 आधीच पूर्णांक आहे.
• \(3.4 \div 5 = 34/10 \div 5/1 = 34/10 \times 1/5 = 34/50\)
• आता \(34/50\) ला दशांश अपूर्णांकात रूपांतरित करण्यासाठी छेदाला 100 करू:
• \((34 \times 2) / (50 \times 2) = 68/100 = 0.68\)

10, 100, 1000 ने भागाकार

• दशांश अपूर्णांकाला 10, 100, 1000 ने भागताना, दशांशचिन्ह जेवढे शून्य असतील तेवढ्या स्थानांनी डावीकडे सरकते.
• \(34.5 \div 10 = 3.45\)
• \(345.0 \div 100 = 3.45\)
• \(3450.0 \div 1000 = 3.45\)
• जर अंक कमी पडत असतील, तर डावीकडे शून्य द्यावे लागतात.
• \(3.4 \div 100 = 0.034\)
• \(0.5 \div 10 = 0.05\)