अपूर्णांकांवरील क्रिया

जेव्हा अपूर्णांकाचा अंश त्याच्या छेदापेक्षा मोठा असतो, तेव्हा त्यास अंशाधिक अपूर्णांक म्हणतात. अंशाधिक अपूर्णांकाचे पूर्णांकयुक्त अपूर्णांकात रूपांतर करण्यासाठी, अंशाला छेदाने भागावे लागते.

• पायरी 1: अंशाला छेदाने भागा.
• पायरी 2: भागाकार हा पूर्णांक भाग असतो.
• पायरी 3: बाकी हा नवीन अंश असतो.
• पायरी 4: छेद तोच राहतो.

उदाहरण: \( \frac{7}{2} \) चे रूपांतर:

1. 7 ला 2 ने भागल्यास भागाकार 3 आणि बाकी 1 येते.
2. म्हणून, \( \frac{7}{2} = 3 \frac{1}{2} \). येथे 3 हा पूर्णांक भाग आहे आणि \( \frac{1}{2} \) हा अपूर्णांक भाग आहे.

महत्वाचे: पूर्णांकयुक्त अपूर्णांकाच्या अपूर्णांकी भागात अंश नेहमी छेदापेक्षा लहान असतो.

पूर्णांकयुक्त अपूर्णांकाचे अंशाधिक अपूर्णांकात रूपांतर करण्यासाठी खालील पद्धत वापरली जाते:

• पायरी 1: पूर्णांक भागाला छेदाने गुणा.
• पायरी 2: गुणाकारात अंश मिळवा. हा नवीन अंश असेल.
• पायरी 3: छेद तोच राहतो.

उदाहरण: \( 3 \frac{2}{5} \) चे रूपांतर:

1. पूर्णांक भाग (3) ला छेद (5) ने गुणा: \( 3 \times 5 = 15 \).
2. गुणाकारात अंश (2) मिळवा: \( 15 + 2 = 17 \). हा नवीन अंश आहे.
3. छेद तोच (5) राहतो.
4. म्हणून, \( 3 \frac{2}{5} = \frac{17}{5} \).

पूर्णांकयुक्त अपूर्णांकांची बेरीज आणि वजाबाकी दोन मुख्य पद्धतींनी करता येते:

पद्धत 1: पूर्णांक आणि अपूर्णांक भाग वेगळे करून

1. पूर्णांक भाग वेगळे करा: पूर्णांकयुक्त अपूर्णांकातील पूर्णांक भाग वेगळे करून त्यांची बेरीज/वजाबाकी करा.
2. अपूर्णांक भाग वेगळे करा: अपूर्णांक भाग वेगळे करून त्यांची बेरीज/वजाबाकी करा. यासाठी छेदा समान असणे आवश्यक आहे. नसतील तर समान छेद करा.
3. एकत्र करा: मिळालेले पूर्णांक भाग आणि अपूर्णांक भाग एकत्र करा.

उदाहरण (बेरीज): \( 5 \frac{1}{2} + 2 \frac{3}{4} \)

• पूर्णांक भाग: \( 5 + 2 = 7 \)
• अपूर्णांक भाग: \( \frac{1}{2} + \frac{3}{4} = \frac{1 \times 2}{2 \times 2} + \frac{3}{4} = \frac{2}{4} + \frac{3}{4} = \frac{5}{4} \)
• \( \frac{5}{4} \) ला पूर्णांकयुक्त अपूर्णांकात रूपांतरित करा: \( 1 \frac{1}{4} \)
• एकत्र करा: \( 7 + 1 \frac{1}{4} = 8 \frac{1}{4} \)

उदाहरण (वजाबाकी): \( 3 \frac{2}{5} - 2 \frac{1}{7} \)

• पूर्णांक भाग: \( 3 - 2 = 1 \)
• अपूर्णांक भाग: \( \frac{2}{5} - \frac{1}{7} = \frac{2 \times 7}{5 \times 7} - \frac{1 \times 5}{7 \times 5} = \frac{14}{35} - \frac{5}{35} = \frac{9}{35} \)
• एकत्र करा: \( 1 + \frac{9}{35} = 1 \frac{9}{35} \)

पद्धत 2: अंशाधिक अपूर्णांकात रूपांतर करून

1. रूपांतर करा: दोन्ही पूर्णांकयुक्त अपूर्णांकांचे अंशाधिक अपूर्णांकात रूपांतर करा.
2. समान छेद करा: जर छेद समान नसतील, तर त्यांचा लसावि (LCM) काढून समान छेद करा.
3. बेरीज/वजाबाकी करा: अंशांची बेरीज किंवा वजाबाकी करा.
4. सरळ रूप द्या: शक्य असल्यास अंतिम उत्तराला सरळ रूप द्या किंवा पूर्णांकयुक्त अपूर्णांकात रूपांतरित करा.

उदाहरण (बेरीज): \( 5 \frac{1}{2} + 2 \frac{3}{4} \)

• रूपांतर: \( 5 \frac{1}{2} = \frac{11}{2} \), \( 2 \frac{3}{4} = \frac{11}{4} \)
• समान छेद (LCM of 2, 4 is 4): \( \frac{11 \times 2}{2 \times 2} = \frac{22}{4} \)
• बेरीज: \( \frac{22}{4} + \frac{11}{4} = \frac{33}{4} \)
• पूर्णांकयुक्त अपूर्णांकात रूपांतर: \( 8 \frac{1}{4} \)

उदाहरण (वजाबाकी): \( 3 \frac{2}{5} - 2 \frac{1}{7} \)

• रूपांतर: \( 3 \frac{2}{5} = \frac{17}{5} \), \( 2 \frac{1}{7} = \frac{15}{7} \)
• समान छेद (LCM of 5, 7 is 35): \( \frac{17 \times 7}{5 \times 7} = \frac{119}{35} \), \( \frac{15 \times 5}{7 \times 5} = \frac{75}{35} \)
• वजाबाकी: \( \frac{119}{35} - \frac{75}{35} = \frac{44}{35} \)
• पूर्णांकयुक्त अपूर्णांकात रूपांतर: \( 1 \frac{9}{35} \)

संख्यारेषेवर अपूर्णांक दाखवण्यासाठी, प्रत्येक एककाचे अपूर्णांकाच्या छेदाएवढे समान भाग करावे लागतात.

• पायरी 1: संख्यारेषा काढा आणि 0, 1, 2, 3... असे पूर्णांक दर्शवा.
• पायरी 2: ज्या अपूर्णांकाला दाखवायचे आहे, त्याचा छेद पहा.
• पायरी 3: प्रत्येक पूर्णांक एककाचे (उदा. 0 ते 1, 1 ते 2) छेदाएवढे समान भाग करा.
• पायरी 4: अंशाएवढे भाग मोजून योग्य बिंदू चिन्हांकित करा.

उदाहरण 1: \( \frac{2}{3}, \frac{4}{3}, \frac{7}{3} \) संख्यारेषेवर दाखवा.

1. येथे छेद 3 आहे. म्हणून, 0 ते 1, 1 ते 2, 2 ते 3 या प्रत्येक एककाचे 3 समान भाग करा.
2. \( \frac{2}{3} \) म्हणजे 0 पासून दुसरा भाग.
3. \( \frac{4}{3} \) म्हणजे 0 पासून चौथा भाग (जो 1 आणि 2 च्या दरम्यान असेल, \( 1 \frac{1}{3} \) म्हणून).
4. \( \frac{7}{3} \) म्हणजे 0 पासून सातवा भाग (जो 2 आणि 3 च्या दरम्यान असेल, \( 2 \frac{1}{3} \) म्हणून).

उदाहरण 2: \( 3 \frac{7}{10} \) संख्यारेषेवर दाखवा.

1. येथे छेद 10 आहे. म्हणून, 3 ते 4 या एककाचे 10 समान भाग करा.
2. \( 3 \frac{7}{10} \) म्हणजे 3 पासून सातवा भाग.

टीप: जर अपूर्णांक अंशाधिक असेल, तर त्याचे पूर्णांकयुक्त अपूर्णांकात रूपांतर करून तो कोणत्या दोन पूर्णांकांच्या दरम्यान येतो हे ठरवणे सोपे होते.

दोन अपूर्णांकांचा गुणाकार करताना, अंशांचा गुणाकार अंशस्थानी आणि छेदांचा गुणाकार छेदस्थानी लिहितात.

• पायरी 1: अंशांचा गुणाकार करा.
• पायरी 2: छेदांचा गुणाकार करा.
• पायरी 3: मिळालेल्या अपूर्णांकाला सरळ रूप द्या (शक्य असल्यास).

सूत्र: \( \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d} \)

उदाहरण 1: \( \frac{3}{5} \times \frac{1}{2} \)

• अंशांचा गुणाकार: \( 3 \times 1 = 3 \)
• छेदांचा गुणाकार: \( 5 \times 2 = 10 \)
• उत्तर: \( \frac{3}{10} \)

उदाहरण 2: \( 42 \) चा \( \frac{2}{7} \) भाग काढा.

• \( 42 \times \frac{2}{7} = \frac{42}{1} \times \frac{2}{7} \)
• \( = \frac{42 \times 2}{1 \times 7} \)
• \( = \frac{84}{7} \)
• \( = 12 \)

टीप: गुणाकार करण्यापूर्वी, अंश आणि छेदांमध्ये सामाईक अवयव असल्यास ते रद्द करून गुणाकार सोपा करता येतो. उदा. \( \frac{42}{1} \times \frac{2}{7} = \frac{6 \times 7 \times 2}{1 \times 7} = 6 \times 2 = 12 \).

जेव्हा दोन संख्यांचा गुणाकार 1 असतो, तेव्हा त्या संख्या एकमेकींच्या गुणाकार व्यसत असतात.

• एखाद्या अपूर्णांकाचा गुणाकार व्यसत काढण्यासाठी, त्याचा अंश आणि छेद यांची अदलाबदल करतात.

उदाहरण:

1. \( \frac{5}{6} \) चा गुणाकार व्यसत \( \frac{6}{5} \) आहे, कारण \( \frac{5}{6} \times \frac{6}{5} = \frac{30}{30} = 1 \).
2. 4 चा गुणाकार व्यसत \( \frac{1}{4} \) आहे, कारण \( 4 = \frac{4}{1} \) आणि \( \frac{4}{1} \times \frac{1}{4} = \frac{4}{4} = 1 \).
3. \( \frac{3}{2} \) चा गुणाकार व्यसत \( \frac{2}{3} \) आहे, कारण \( \frac{3}{2} \times \frac{2}{3} = \frac{6}{6} = 1 \).

महत्वाचे मुद्दे:

• 1 चा गुणाकार व्यसत 1 च आहे (कारण \( 1 \times 1 = 1 \)).
• 0 ला गुणाकार व्यसत नाही, कारण कोणत्याही संख्येला 0 ने गुणल्यास गुणाकार 0 येतो, 1 नाही. तसेच, 0 चा व्यसत \( \frac{1}{0} \) असतो, जो अपरिभाषित आहे.

एखाद्या संख्येला अपूर्णांकाने भागणे म्हणजे त्या संख्येला त्या अपूर्णांकाच्या गुणाकार व्यस्ताने गुणणे.

• पायरी 1: भागाकाराचे चिन्ह गुणाकारात बदला.
• पायरी 2: भाजक अपूर्णांकाचा गुणाकार व्यसत लिहा (अंश व छेदाची अदलाबदल करा).
• पायरी 3: आता गुणाकाराचे नियम वापरून गुणाकार करा.

सूत्र: \( \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{a \times d}{b \times c} \)

उदाहरण 1: \( 1 \div \frac{1}{4} \)

• \( 1 \div \frac{1}{4} = 1 \times \frac{4}{1} = 4 \)

उदाहरण 2: \( 6 \div \frac{3}{2} \)

• \( 6 \div \frac{3}{2} = \frac{6}{1} \times \frac{2}{3} \)
• \( = \frac{6 \times 2}{1 \times 3} \)
• \( = \frac{12}{3} \)
• \( = 4 \)

उदाहरण 3: \( \frac{5}{7} \div \frac{2}{3} \)

• \( \frac{5}{7} \div \frac{2}{3} = \frac{5}{7} \times \frac{3}{2} \)
• \( = \frac{5 \times 3}{7 \times 2} \)
• \( = \frac{15}{14} \)
• \( = 1 \frac{1}{14} \) (पूर्णांकयुक्त अपूर्णांकात रूपांतरित केल्यास)