पूर्णांक संखया

गणित शिकताना, संख्यांचे विविध प्रकार समजून घेणे महत्त्वाचे आहे. संख्यांचे मुख्य प्रकार खालीलप्रमाणे आहेत:

• नैसर्गिक संख्या (Natural Numbers):
• या संख्यांचा उपयोग वस्तू मोजण्यासाठी केला जातो. यांना मोजसंख्या असेही म्हणतात.
• या संख्या 1 पासून सुरू होतात आणि अनंत असतात.
• उदाहरणार्थ: 1, 2, 3, 4, 5, ...
• नैसर्गिक संख्यांचा समूह N या अक्षराने दर्शवला जातो.

• पूर्ण संख्या (Whole Numbers):
• नैसर्गिक संख्यांमध्ये शून्य (0) मिळवल्यास पूर्ण संख्यांचा समूह तयार होतो.
• या संख्या 0 पासून सुरू होतात आणि अनंत असतात.
• उदाहरणार्थ: 0, 1, 2, 3, 4, ...
• पूर्ण संख्यांचा समूह W या अक्षराने दर्शवला जातो.

• फरक:
• नैसर्गिक संख्यांमध्ये 0 नसतो, तर पूर्ण संख्यांमध्ये 0 असतो.
• प्रत्येक नैसर्गिक संख्या ही पूर्ण संख्या असते, पण प्रत्येक पूर्ण संख्या ही नैसर्गिक संख्या नसते (कारण 0 ही नैसर्गिक संख्या नाही).

दैनंदिन जीवनातील उपयोग:

• मोजणी: वस्तूंची संख्या (उदा. 5 पेन्सिल, 10 पुस्तके).
• तापमान: 0°C पेक्षा जास्त तापमान (उदा. 25°C).
• उंची: समुद्रसपाटीपासूनची उंची (उदा. 800 मीटर).
• नफा: मिळवलेले पैसे (उदा. 100 रुपये नफा).

काही वेळा आपल्याला 0 पेक्षा लहान संख्यांची गरज लागते. अशा संख्यांना ऋण संख्या म्हणतात.

• ऋण संख्या (Negative Numbers):
• ज्या संख्या 0 पेक्षा लहान असतात, त्यांना ऋण संख्या म्हणतात.
• या संख्यांच्या आधी '-' (वजा) हे चिन्ह वापरले जाते.
• उदाहरणार्थ: -1, -2, -3, -4, ...

• धन संख्या (Positive Numbers):
• ज्या संख्या 0 पेक्षा मोठ्या असतात, त्यांना धन संख्या म्हणतात.
• या संख्यांच्या आधी '+' (अधिक) हे चिन्ह वापरले जाते, पण ते सहसा लिहीत नाहीत. (उदा. 5 म्हणजे +5).
• उदाहरणार्थ: +1, +2, +3, +4, ... किंवा 1, 2, 3, 4, ...

• शून्य (Zero):
• शून्य ही संख्या धन किंवा ऋण नसते. शून्याला कोणतेही चिन्ह नसते.
• शून्य ही धन आणि ऋण संख्यांमधील विभाजक आहे.

संख्यारेषेवरील स्थान:

• संख्यारेषेवर 0 च्या उजवीकडील संख्या धन असतात.
• संख्यारेषेवर 0 च्या डावीकडील संख्या ऋण असतात.
• धन आणि ऋण संख्या 0 च्या विरुद्ध दिशांना असतात.

दैनंदिन जीवनातील उपयोग:

• तापमान: 0°C पेक्षा कमी तापमान (उदा. काश्मीरमध्ये -8°C). 'ऋण आठ अंश सेल्सिअस' असे वाचतात.
• खोली: समुद्रसपाटीपासूनची खोली (उदा. पाणबुडी 500 मीटर खोलीवर म्हणजे -500 मीटर).
• नुकसान/कर्ज: खर्च केलेले पैसे किंवा घेतलेले कर्ज (उदा. 5 रुपये कर्ज म्हणजे -5 रुपये).
• लिफ्ट: तळमजल्याखालील मजले (उदा. -1, -2).

धन संख्या, ऋण संख्या आणि शून्य या सर्वांना मिळून पूर्णांक संख्या (Integers) म्हणतात.

• पूर्णांक संख्यांचा समूह:
• ... , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...
• पूर्णांक संख्यांचा समूह Z या अक्षराने दर्शवला जातो.

• संख्यारेषेवर पूर्णांक संख्या दाखवणे:

1. एक सरळ रेषा काढा.
2. रेषेच्या मध्यभागी एक बिंदू घेऊन त्याला '0' (शून्य) असे नाव द्या. या बिंदूला आरंभबिंदू म्हणतात.
3. 0 च्या उजवीकडे समान अंतरावर बिंदू घेऊन त्यांना 1, 2, 3, ... अशी धन संख्या द्या.
4. 0 च्या डावीकडे समान अंतरावर बिंदू घेऊन त्यांना -1, -2, -3, ... अशी ऋण संख्या द्या.
5. प्रत्येक बिंदू एक पूर्णांक संख्या दर्शवतो.

उदाहरण: संख्यारेषेवर -7 आणि +8 या संख्या दाखवणे.

• 0 पासून डावीकडे 7 एकक अंतरावर -7 ही संख्या असते.
• 0 पासून उजवीकडे 8 एकक अंतरावर +8 ही संख्या असते.

• संख्या समूहांमधील संबंध:
• नैसर्गिक संख्या (N) हा पूर्ण संख्यांचा (W) उपसमूह आहे. N \subset W
• पूर्ण संख्या (W) हा पूर्णांक संख्यांचा (Z) उपसमूह आहे. W \subset Z
• म्हणजे, N \subset W \subset Z.

[IMAGE: TODO: नैसर्गिक, पूर्ण आणि पूर्णांक संख्यांमधील संबंध दर्शवणारा वेन आकृतीसारखा आकृतीबंध]

पूर्णांक संख्यांची बेरीज करताना चिन्हांचा विचार करणे महत्त्वाचे आहे. संख्यारेषेचा वापर करून बेरीज समजून घेणे सोपे होते.

बेरजेचे नियम:

1. दोन धन संख्यांची बेरीज:

• दोन धन संख्यांची बेरीज नेहमी धन संख्याच असते.
• उदाहरण: (+5) + (+3) = +8 (5 + 3 = 8)
• संख्यारेषेवर: 0 पासून उजवीकडे 5 एकक, नंतर पुन्हा उजवीकडे 3 एकक = 8.

1. दोन ऋण संख्यांची बेरीज:

• दोन ऋण संख्यांची बेरीज नेहमी ऋण संख्याच असते.
• चिन्हाचा विचार न करता संख्यांची बेरीज करावी आणि येणाऱ्या बेरजेला ऋण चिन्ह द्यावे.
• उदाहरण: (-5) + (-3) = -8
• संख्यारेषेवर: 0 पासून डावीकडे 5 एकक, नंतर पुन्हा डावीकडे 3 एकक = -8.

1. एक धन आणि एक ऋण संख्यांची बेरीज:

• चिन्हाचा विचार न करता मोठ्या संख्येतून लहान संख्या वजा करावी.
• येणाऱ्या वजाबाकीला मोठ्या संख्येचे चिन्ह द्यावे.
• उदाहरण 1: (-8) + (+2) = -6
• मोठी संख्या 8 (चिन्ह -), लहान संख्या 2 (चिन्ह +).
• 8 - 2 = 6.
• मोठ्या संख्येचे चिन्ह (-) असल्याने उत्तर -6.
• संख्यारेषेवर: 0 पासून डावीकडे 8 एकक, नंतर उजवीकडे 2 एकक = -6.
• उदाहरण 2: (+8) + (-3) = +5
• मोठी संख्या 8 (चिन्ह +), लहान संख्या 3 (चिन्ह -).
• 8 - 3 = 5.
• मोठ्या संख्येचे चिन्ह (+) असल्याने उत्तर +5.
• संख्यारेषेवर: 0 पासून उजवीकडे 8 एकक, नंतर डावीकडे 3 एकक = +5.

सारांश (बेरजेचे नियम): | संख्यांची चिन्हे | क्रिया | उत्तराचे चिन्ह | | :-------------- | :---- | :------------- | | समान (++, --) | बेरीज | तेच चिन्ह | | भिन्न (+-, -+) | वजाबाकी | मोठ्या संख्येचे |

संख्यारेषेवरील बेरीज (सशाचे उदाहरण):

• ससा उजवीकडे उडी मारतो म्हणजे धन संख्या मिळवणे.
• ससा डावीकडे उडी मारतो म्हणजे ऋण संख्या मिळवणे.
• 1 + 5 = (+1) + (+5) = +6 (1 वरून उजवीकडे 5 उड्या)
• (-2) + (+5) = +3 (-2 वरून उजवीकडे 5 उड्या)
• (-3) + (-4) = -7 (-3 वरून डावीकडे 4 उड्या)
• (+3) + (-4) = -1 (+3 वरून डावीकडे 4 उड्या)

पूर्णांक संख्यांच्या बेरजेसाठी काही मूलभूत नियम आहेत, जे नैसर्गिक आणि पूर्ण संख्यांसाठीही लागू होतात.

• क्रमनिरपेक्षता (Commutativity):
• दोन पूर्णांक संख्यांची बेरीज करताना त्यांचा क्रम बदलल्यास उत्तरामध्ये फरक पडत नाही.
• a + b = b + a
• उदाहरण: 5 + (-3) = 2 आणि (-3) + 5 = 2

• साहचर्यता (Associativity):
• तीन किंवा अधिक पूर्णांक संख्यांची बेरीज करताना, कोणत्याही दोन संख्यांची प्रथम बेरीज करून नंतर तिसरी संख्या मिळवल्यास उत्तरामध्ये फरक पडत नाही.
• (a + b) + c = a + (b + c)
• उदाहरण: (2 + (-3)) + 4 = (-1) + 4 = 3
• 2 + ((-3) + 4) = 2 + 1 = 3

• बेरजेचा तत्समक घटक (Additive Identity):
• कोणत्याही पूर्णांक संख्येत 0 मिळवल्यास तीच संख्या मिळते.
• a + 0 = a
• 0 ला बेरजेचा तत्समक घटक म्हणतात.
• उदाहरण: 7 + 0 = 7, (-4) + 0 = -4

संख्यारेषेवर 0 पासून समान अंतरावर पण विरुद्ध दिशांना असलेल्या संख्यांना विरुद्ध संख्या (Opposite Numbers) म्हणतात.

• व्याख्या:
• जर a ही कोणतीही पूर्णांक संख्या असेल, तर (-a) ही तिची विरुद्ध संख्या असते.
• उदाहरणार्थ, 3 ची विरुद्ध संख्या -3 आहे, आणि -5 ची विरुद्ध संख्या +5 आहे.

• वैशिष्ट्ये:
• दोन विरुद्ध संख्यांची बेरीज नेहमी शून्य (0) असते.
• a + (-a) = 0
• उदाहरण: (+3) + (-3) = 0, (-5) + (+5) = 0.
• शून्याची विरुद्ध संख्या शून्यच असते.

• संख्यारेषेवर:
• 0 पासून उजवीकडे 3 एकक म्हणजे +3.
• 0 पासून डावीकडे 3 एकक म्हणजे -3.
• +3 आणि -3 या विरुद्ध संख्या आहेत.

विरुद्ध संख्या शोधणे: | संख्या | विरुद्ध संख्या | | :---- | :------------ | | 47 | -47 | | +52 | -52 | | -33 | +33 | | -84 | +84 | | -21 | +21 | | +16 | -16 | | -26 | +26 | | 80 | -80 |

पूर्णांक संख्यांचा लहान-मोठेपणा ठरवण्यासाठी संख्यारेषेचा वापर केला जातो.

• संख्यारेषेवरील नियम:
• संख्यारेषेवर, उजवीकडील संख्या नेहमी डावीकडील संख्येपेक्षा मोठी असते.
• म्हणजे, तुम्ही संख्यारेषेवर उजवीकडे जाल, तसतशी संख्या मोठी होत जाते.
• तुम्ही संख्यारेषेवर डावीकडे जाल, तसतशी संख्या लहान होत जाते.

• लहान-मोठेपणा ठरवण्याचे नियम:

1. दोन धन संख्यांमध्ये: जी संख्या 0 पासून जास्त दूर असते ती मोठी असते. (उदा. 5 > 3)
2. दोन ऋण संख्यांमध्ये: जी संख्या 0 च्या जवळ असते ती मोठी असते. (उदा. -2 > -5 कारण -2, -5 च्या उजवीकडे आहे).

• ऋण संख्या जितकी मोठी दिसेल, तितकी ती लहान असते. (उदा. -100 < -1)

1. एक धन आणि एक ऋण संख्यांमध्ये: धन संख्या नेहमी ऋण संख्येपेश्या मोठी असते. (उदा. 4 > -3)
2. शून्य आणि धन संख्यांमध्ये: धन संख्या नेहमी 0 पेक्षा मोठी असते. (उदा. 7 > 0)
3. शून्य आणि ऋण संख्यांमध्ये: 0 नेहमी ऋण संख्येपेश्या मोठी असते. (उदा. 0 > -6)

उदाहरणे:

• 4 > -3 (धन संख्या ऋण संख्येपेश्या मोठी)
• 4 > 3 (दोन धन संख्या)
• 0 > -1 (शून्य ऋण संख्येपेश्या मोठा)
• -2 > -3 (-2, -3 च्या उजवीकडे आहे)
• -12 < 7 (ऋण संख्या धन संख्येपेश्या लहान)
• -1 > -2 (-1, -2 च्या उजवीकडे आहे)
• 6 > -3 (धन संख्या ऋण संख्येपेश्या मोठी)
• -14 = -14 (समान संख्या)

पूर्णांक संख्यांची वजाबाकी करताना, वजाबाकीचे रूपांतर बेरजेत केले जाते. हा नियम अत्यंत महत्त्वाचा आहे.

• वजाबाकीचा नियम:
• एखाद्या संख्येतून दुसरी संख्या वजा करणे म्हणजे, दुसऱ्या संख्येची विरुद्ध संख्या पहिल्या संख्येत मिळवणे.
• a - b = a + (-b)
• a - (-b) = a + (+b)

• उदाहरणे:

1. 8 - (-6)

• येथे 6 ची विरुद्ध संख्या -6 आहे. म्हणून, 8 - (-6) = 8 + (+6) = 8 + 6 = 14.

1. (-9) - (-4)

• येथे -4 ची विरुद्ध संख्या +4 आहे. म्हणून, (-9) - (-4) = (-9) + (+4).
• आता बेरजेचा नियम वापरू: भिन्न चिन्हे, मोठ्या संख्येतून लहान संख्या वजा (9-4=5), मोठ्या संख्येचे चिन्ह (-) म्हणून उत्तर -5.

1. (-4) - (-9)

• येथे -9 ची विरुद्ध संख्या +9 आहे. म्हणून, (-4) - (-9) = (-4) + (+9).
• बेरजेचा नियम: भिन्न चिन्हे, मोठ्या संख्येतून लहान संख्या वजा (9-4=5), मोठ्या संख्येचे चिन्ह (+) म्हणून उत्तर +5.

1. (+9) - (+4)

• येथे +4 ची विरुद्ध संख्या -4 आहे. म्हणून, (+9) - (+4) = (+9) + (-4).
• बेरजेचा नियम: भिन्न चिन्हे, मोठ्या संख्येतून लहान संख्या वजा (9-4=5), मोठ्या संख्येचे चिन्ह (+) म्हणून उत्तर +5.

1. (+9) - (-4)

• येथे -4 ची विरुद्ध संख्या +4 आहे. म्हणून, (+9) - (-4) = (+9) + (+4).
• बेरजेचा नियम: समान चिन्हे, बेरीज (9+4=13), तेच चिन्ह (+) म्हणून उत्तर +13.

वजाबाकी सारणी (उदा. सरावसंच 8): | - | 6 | 9 | -4 | -5 | | :-- | :--- | :--- | :--- | :--- | | 0 | -6 | -9 | 4 | 5 | | +7 | 1 | -2 | 11 | 12 | | -8 | -14 | -17 | -4 | -3 | | -3 | -9 | -12 | 1 | 2 |

• उदाहरण स्पष्टीकरण (सारणीतील):
• 0 - 6 = 0 + (-6) = -6
• 7 - 9 = 7 + (-9) = -2
• (-8) - 6 = (-8) + (-6) = -14
• (-3) - (-4) = (-3) + (+4) = 1