कोन (Angle)
या प्रकरणात तुम्ही कोनांचे विविध प्रकार शिकाल, जसे की शून्य कोन, लघुकोन, काटकोन, विशालकोन, सरळ कोन, प्रविशाल कोन आणि पूर्ण कोन. प्रत्येक कोनाचे माप आणि त्याची वैशिष्ट्ये समजून घ्याल. कंपासपेटीतील कोनमापक, कंपास, गुणिया आणि कर्कटक यांसारख्या साधनांचा उपयोग कसा करायचा हे शिकाल. तसेच, कंपास आणि पट्टीच्या साहाय्याने कोनदुभाजक कसा काढायचा आणि दिलेल्या मापाएवढा कोन कसा काढायचा हे देखील शिकाल. हे प्रकरण भूमितीतील मूलभूत संकल्पना स्पष्ट करते, जे पुढील अभ्यासासाठी महत्त्वाचे आहे.
कोनाचे प्रकार
कोन म्हणजे दोन किरणांनी एकाच शिरोबिंदूतून सुरू केल्यावर तयार होणारी आकृती. कोनाचे माप अंशांमध्ये (degrees) मोजले जाते. कोनाचे विविध प्रकार त्याच्या मापावरून ठरतात:
- शून्य कोन (Zero Angle):
- माप 0° असते.
- दोन किरण एकमेकांवर स्थिर असतात आणि त्यांच्यात कोणताही बदल झालेला नसतो.
- लघुकोन (Acute Angle):
- माप 0° पेक्षा मोठे आणि 90° पेक्षा लहान असते.
- उदा. 30°, 45°, 75°.
- काटकोन (Right Angle):
- माप बरोबर 90° असते.
- दोन किरण एकमेकांना लंब असतात.
- विशालकोन (Obtuse Angle):
- माप 90° पेक्षा मोठे आणि 180° पेक्षा लहान असते.
- उदा. 110°, 135°, 160°.
- सरळ कोन (Straight Angle):
- माप बरोबर 180° असते.
- दोन किरण एकमेकांच्या विरुद्ध दिशेने एका सरळ रेषेत असतात.
- प्रविशाल कोन (Reflex Angle):
- माप 180° पेक्षा मोठे आणि 360° पेक्षा लहान असते.
- उदा. 210°, 270°, 300°.
- पूर्ण कोन (Complete Angle):
- माप बरोबर 360° असते.
- किरण एक पूर्ण फेरा घेऊन मूळ स्थितीत परत येतो.
कोनाचे घटक:
- शिरोबिंदू (Vertex): दोन किरण ज्या एकाच बिंदूतून सुरू होतात तो बिंदू. (उदा. ∠ABC मध्ये बिंदू B)
- भुजा (Arms/Sides): कोन तयार करणारे दोन किरण. (उदा. ∠ABC मध्ये किरण BA आणि किरण BC)
- कोनाचे नाव: कोनाचे नाव लिहिताना शिरोबिंदू नेहमी मध्यभागी असतो. (उदा. ∠ABC किंवा ∠CBA)
कोनाचे माप मोजण्यासाठी कोनमापकाचा (Protractor) वापर केला जातो.
परीक्षेत कोनाचे माप दिल्यावर त्याचा प्रकार ओळखायला विचारले जाते. उदा. 75° हा लघुकोन आहे.
भौमितिक साधनांची ओळख आणि उपयोग
कंपासपेटीतील विविध साधने आणि त्यांचे भूमितीतील उपयोग:
- कंपास (Compass):
- वर्तुळ काढण्यासाठी किंवा दिलेल्या अंतरावर कंस (Arc) काढण्यासाठी वापरतात.
- एखाद्या रेषेचे किंवा कोनाचे समान भाग करण्यासाठी (दुभाजक काढण्यासाठी) महत्त्वाचे साधन.
- कोनमापक (Protractor):
- कोनाचे माप मोजण्यासाठी आणि दिलेल्या मापाचा कोन काढण्यासाठी वापरतात.
- यावर 0° ते 180° पर्यंत मापे अंकित केलेली असतात.
- पट्टी (Ruler/Scale):
- सरळ रेषाखंड काढण्यासाठी आणि लांबी मोजण्यासाठी वापरतात.
- सेमी (cm) आणि मिमी (mm) मध्ये मापे असतात.
- गुणिया (Set Squares):
- दोन प्रकारचे गुणिये असतात: 30°-60°-90° आणि 45°-45°-90°.
- लंब रेषा काढण्यासाठी, समांतर रेषा काढण्यासाठी आणि विशिष्ट मापाचे कोन (30°, 45°, 60°, 90°) काढण्यासाठी उपयोग होतो.
- कर्कटक (Divider):
- दोन बिंदूंमधील अंतर मोजण्यासाठी किंवा एका रेषेवरील समान अंतराचे बिंदू निश्चित करण्यासाठी वापरतात.
- कर्कटकाचा उपयोग करताना पट्टीची मदत घ्यावी लागते.
प्रत्येक साधनाचा उपयोग माहीत असणे आवश्यक आहे, कारण भौमितिक रचना करताना त्यांचा योग्य वापर करावा लागतो.
कोनदुभाजक (Angle Bisector)
कोनदुभाजक म्हणजे असा किरण जो कोनाचे दोन समान भागांमध्ये विभाजन करतो.
- जर किरण BO हा ∠ABC चा कोनदुभाजक असेल, तर ∠ABO = ∠CBO.
- कोनदुभाजकावरील कोणताही बिंदू कोनाच्या दोन्ही भुजांपासून समान अंतरावर असतो. [IMAGE: TODO: कोनदुभाजक आणि त्यावर समान अंतरावर असलेले बिंदू A, B, C, P, T]
- उदा. जर बिंदू P कोनदुभाजकावर असेल, तर बिंदू P पासून किरण BA आणि किरण BC पर्यंतचे लंब अंतर समान असते.
कोनदुभाजक: जो किरण कोनाचे दोन समान भागांमध्ये विभाजन करतो, त्या किरणाला त्या कोनाचा कोनदुभाजक म्हणतात.
भौमितिक रचना: कोनदुभाजक काढणे
कंपास आणि पट्टीच्या साहाय्याने कोणत्याही मापाचा कोनदुभाजक काढता येतो.
रचना पायऱ्या:
- दिलेला कोन काढा: उदा. ∠ABC.
- पहिला कंस काढा: कंपासमध्ये सोयीस्कर अंतर घेऊन, कंपासचे टोक शिरोबिंदू B वर ठेवा. किरण BA आणि किरण BC यांना छेदणारा एक कंस काढा. छेदनबिंदूंना P आणि Q नावे द्या.
- दुसरे कंस काढा: कंपासमध्ये पुरेसे अंतर घेऊन, कंपासचे टोक P बिंदूवर ठेवून, कोनाच्या अंतर्भागात एक कंस काढा. कंपासमधील तेच अंतर कायम ठेवून, कंपासचे टोक Q बिंदूवर ठेवून, पूर्वीच्या कंसाला छेदणारा दुसरा कंस काढा.
- छेदनबिंदू निश्चित करा: दोन्ही कंसांच्या छेदनबिंदूला O नाव द्या.
- कोनदुभाजक काढा: शिरोबिंदू B आणि बिंदू O यांना जोडून किरण BO काढा. किरण BO हा ∠ABC चा कोनदुभाजक आहे.
पडताळणी: कोनमापकाने ∠ABO आणि ∠CBO मोजा. त्यांचे माप समान असेल. (उदा. जर ∠ABC = 60° असेल, तर ∠ABO = 30° आणि ∠CBO = 30° असेल.)
कोनदुभाजक काढताना कंपासमधील अंतर योग्य ठेवावे लागते. पहिल्या कंसासाठी घेतलेले अंतर आणि नंतर P व Q बिंदूतून कंस काढताना घेतलेले अंतर वेगवेगळे असू शकते, पण P आणि Q मधून कंस काढताना घेतलेले अंतर मात्र समान असावे लागते.
भौमितिक रचना: दिलेल्या कोनाएवढा कोन काढणे
कंपास आणि पट्टीच्या साहाय्याने दिलेल्या कोनाएवढा कोन काढता येतो.
रचना पायऱ्या:
- दिलेला कोन आणि किरण काढा: उदा. ∠ABC हा दिलेला कोन आहे. आपल्याला ∠PQR काढायचा आहे. प्रथम किरण QR काढा.
- पहिला कंस काढा (दिलेल्या कोनावर): कंपासमध्ये सोयीस्कर अंतर घेऊन, कंपासचे टोक ∠ABC च्या शिरोबिंदू B वर ठेवा. किरण BA आणि किरण BC यांना छेदणारा कंस काढा. या छेदनबिंदूंना D आणि E नावे द्या.
- दुसरा कंस काढा (नवीन किरणावर): कंपासमध्ये घेतलेले अंतर कायम ठेवा. कंपासचे टोक किरण QR च्या बिंदू Q वर ठेवून एक कंस काढा. हा कंस किरण QR ला ज्या बिंदूत छेदेल त्या बिंदूस T नाव द्या.
- कंसाचे अंतर मोजा: आता कंपासचे टोक E बिंदूवर ठेवून कंपासमधील पेन्सिलचे टोक D वर पडेल इतके अंतर कंपासमध्ये घ्या. (म्हणजेच, कंस DE ची लांबी मोजा).
- तिसरा कंस काढा: कंपासमधील अंतर न बदलता (DE च्या लांबीएवढे) आता कंपासचे टोक बिंदू T वर ठेवा आणि पूर्वी काढलेल्या कंसाला छेदणारा दुसरा कंस काढा. दोन्ही कंसांच्या छेदनबिंदूस S नाव द्या.
- नवीन कोन काढा: किरण QS काढा. या किरणावर P बिंदू घ्या. तयार झालेला ∠PQR हा ∠ABC एवढा आहे.
पडताळणी: कोनमापकाच्या साहाय्याने ∠ABC आणि ∠PQR मोजा. त्यांचे माप समान असेल.
कंस काढताना कंपासमधील अंतर बदलू नये. विशेषतः, DE चे अंतर मोजताना आणि ते T बिंदूतून पुढे वापरताना अंतर अचूक असणे आवश्यक आहे.
