Home › Maharashtra › Class 10 › Maths › त्रिकोणमिती
Maharashtra · Class 10 · 🧮 Maths · Chapter 6

त्रिकोणमिती

त्रिकोणमितीय गुणोत्तरउन्नत कोनअवनत कोनदृष्टीरेषात्रिकोणमितीय नित्यसमानता

त्रिकोणमिती हा गणितातील एक महत्त्वाचा भाग आहे जो त्रिकोणाच्या बाजू आणि कोनांमधील संबंधांचा अभ्यास करतो. या धड्यात विद्यार्थी sin, cos, tan, cosec, sec आणि cot या त्रिकोणमितीय गुणोत्तरांचा अभ्यास करतात. उन्नत कोन (Angle of elevation) आणि अवनत कोन (Angle of depression) या संकल्पनांचा वापर करून उंची आणि अंतर कसे मोजायचे हे शिकतात. हा धडा अभियांत्रिकी, भौतिकशास्त्र आणि नेव्हिगेशन यांसारख्या अनेक क्षेत्रांमध्ये त्रिकोणमितीच्या व्यावहारिक उपयोजनांसाठी पाया तयार करतो.

त्रिकोणमितीय गुणोत्तरे (Trigonometric Ratios)

काटकोन त्रिकोणामध्ये, कोनाच्या संदर्भात बाजूंचे गुणोत्तर म्हणजे त्रिकोणमितीय गुणोत्तरे.

  • sin (साइन): \(\frac{\text{समोरील बाजू}}{\text{कर्ण}}\)
  • cos (कोसाइन): \(\frac{\text{लगतची बाजू}}{\text{कर्ण}}\)
  • tan (टॅन): \(\frac{\text{समोरील बाजू}}{\text{लगतची बाजू}}\)

यांच्या व्युत्क्रम (reciprocal) गुणोत्तरे:

  • cosec (कोसेक): \(\frac{1}{\sin \theta} = \frac{\text{कर्ण}}{\text{समोरील बाजू}}\)
  • sec (सेक): \(\frac{1}{\cos \theta} = \frac{\text{कर्ण}}{\text{लगतची बाजू}}\)
  • cot (कॉट): \(\frac{1}{\tan \theta} = \frac{\text{लगतची बाजू}}{\text{समोरील बाजू}}\)

महत्त्वाचे संबंध:

  • \(\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}\)
  • \(\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}\)

विशिष्ट कोनांच्या किमती: | कोन (\(\theta\)) | \(\sin \theta\) | \(\cos \theta\) | \(\tan \theta\) | \(\text{cosec } \theta\) | \(\text{sec } \theta\) | \(\text{cot } \theta\) | |:-----------:|:----------:|:----------:|:----------:|:-------------:|:-----------:|:----------:| | 0° | 0 | 1 | 0 | अपरिभाषित | 1 | अपरिभाषित | | 30° | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) | 2 | \(\frac{2}{\sqrt{3}}\) | \(\sqrt{3}\) | | 45° | \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) | \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) | 1 | \(\sqrt{2}\) | \(\sqrt{2}\) | 1 | | 60° | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\sqrt{3}\) | \(\frac{2}{\sqrt{3}}\) | 2 | \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) | | 90° | 1 | 0 | अपरिभाषित | 1 | अपरिभाषित | 0 |

या किमती पाठ करणे अत्यंत महत्त्वाचे आहे. यावर आधारित अनेक प्रश्न विचारले जातात.

⭐लक्षात ठेवा

त्रिकोणमितीय गुणोत्तरे फक्त काटकोन त्रिकोणासाठी लागू होतात. कोनाच्या समोरील बाजू, लगतची बाजू आणि कर्ण हे नेहमी कोनाच्या स्थानानुसार बदलतात.

💡टीप

विशिष्ट कोनांच्या किमती लक्षात ठेवण्यासाठी 'हात' पद्धत (Left Hand Rule) किंवा सारणी (Table) तयार करण्याचा सराव करा. यामुळे वेळेची बचत होते.

त्रिकोणमितीय नित्यसमानता (Trigonometric Identities)

पायथागोरसच्या प्रमेयावरून (\(a^2 + b^2 = c^2\)) तीन मूलभूत त्रिकोणमितीय नित्यसमानता मिळतात. या नित्यसमानता \(\theta\) च्या कोणत्याही मूल्यासाठी सत्य असतात.

  1. पहिली नित्यसमानता: \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\)
  • यावरून: \(\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta\)
  • यावरून: \(\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta\)
  1. दुसरी नित्यसमानता: \(1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta\)
  • यावरून: \(\tan^2 \theta = \sec^2 \theta - 1\)
  • यावरून: \(\sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1\)
  1. तिसरी नित्यसमानता: \(1 + \cot^2 \theta = \text{cosec}^2 \theta\)
  • यावरून: \(\cot^2 \theta = \text{cosec}^2 \theta - 1\)
  • यावरून: \(\text{cosec}^2 \theta - \cot^2 \theta = 1\)

या तीन नित्यसमानता सिद्ध करणे आणि त्यांचा वापर करून इतर त्रिकोणमितीय संबंध सिद्ध करणे हे परीक्षेच्या दृष्टीने महत्त्वाचे आहे.

नित्यसमानता वापरताना लक्षात ठेवण्यासारख्या गोष्टी:

  • डावी बाजू (LHS) घेऊन उजवी बाजू (RHS) सिद्ध करणे किंवा याउलट.
  • अनेकदा \(\sin \theta\) आणि \(\cos \theta\) मध्ये रूपांतरित केल्यास सोपे होते.
  • वर्गमूळ घेताना किंवा वर्ग करताना चिन्हांची काळजी घ्या.
  • \((a+b)^2 = a^2+2ab+b^2\) आणि \((a-b)^2 = a^2-2ab+b^2\) तसेच \((a^2-b^2) = (a-b)(a+b)\) या बीजगणितीय नित्यसमानतांचा वापर होतो.
  • छेदाचे परिमेयकरण (rationalization) करणे आवश्यक असू शकते.
🧮सूत्र

पायथागोरसच्या प्रमेयावरून त्रिकोणमितीय नित्यसमानता:

  1. \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\)
  2. \(1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta\)
  3. \(1 + \cot^2 \theta = \text{cosec}^2 \theta\)
🚧गैरसमज

अनेक विद्यार्थी \(\sin \theta^2\) आणि \(\sin^2 \theta\) मध्ये गोंधळतात. \(\sin^2 \theta\) म्हणजे \((\sin \theta)^2\) होय, \(\theta^2\) चा साइन नव्हे.

त्रिकोणमितीचे उपयोजन (Applications of Trigonometry)

त्रिकोणमितीचा उपयोग उंची आणि अंतर (Heights and Distances) मोजण्यासाठी होतो, जिथे प्रत्यक्ष मोजमाप करणे शक्य नसते. उदा. इमारतीची उंची, नदीची रुंदी, जहाजाचे अंतर इत्यादी.

महत्त्वाच्या संकल्पना:

  1. दृष्टीरेषा (Line of Sight): निरीक्षकाच्या डोळ्यापासून वस्तूंपर्यंत काढलेली रेषा.
  2. क्षितिज समांतर रेषा (Horizontal Line): निरीक्षकाच्या डोळ्यांतून जमिनीला समांतर काढलेली रेषा.
  3. उन्नत कोन (Angle of Elevation):
  • जेव्हा निरीक्षक क्षितिज समांतर रेषेच्या वरच्या दिशेने पाहतो, तेव्हा दृष्टीरेषा आणि क्षितिज समांतर रेषा यांच्यामध्ये तयार होणारा कोन.
  • वस्तू निरीक्षकापेक्षा उंच असते.
  1. अवनत कोन (Angle of Depression):
  • जेव्हा निरीक्षक क्षितिज समांतर रेषेच्या खालच्या दिशेने पाहतो, तेव्हा दृष्टीरेषा आणि क्षितिज समांतर रेषा यांच्यामध्ये तयार होणारा कोन.
  • वस्तू निरीक्षकापेक्षा खाली असते.

उदाहरणे सोडवताना महत्त्वाच्या पायऱ्या:

  1. दिलेल्या माहितीनुसार कच्ची आकृती (diagram) काढा. यामध्ये वस्तू, निरीक्षक, उंची, अंतर आणि कोन स्पष्टपणे दर्शवा.
  2. आकृतीमध्ये काटकोन त्रिकोण ओळखा.
  3. दिलेली माहिती आणि काढायची माहिती यांच्यातील संबंधासाठी योग्य त्रिकोणमितीय गुणोत्तर (sin, cos, tan) निवडा.
  4. समीकरण मांडून सोडवा. आवश्यक असल्यास \(\sqrt{2}\) किंवा \(\sqrt{3}\) च्या किमती वापरा.

लक्षात ठेवा:

  • झाडे, इमारती, मनोरे हे जमिनीला लंब (90° कोन) असतात असे मानले जाते.
  • निरीक्षकाची उंची सामान्यतः विचारात घेतली जात नाही, जोपर्यंत स्पष्टपणे दिलेली नसते.
  • अवनत कोन आणि उन्नत कोन हे एकाच रेषेतील व्युत्क्रम कोन (alternate interior angles) असल्याने समान असतात. (उदा. जर इमारतीवरून खाली पाहताना अवनत कोन \(30^\circ\) असेल, तर जमिनीवरून इमारतीकडे पाहताना उन्नत कोनही \(30^\circ\) असेल.)
❗महत्त्वाची नोंद

उन्नत कोन आणि अवनत कोन हे नेहमी क्षितिज समांतर रेषेशी (horizontal line) तयार होतात, उभ्या रेषेशी (vertical line) नव्हे.

💡टीप

आकृती स्पष्ट आणि योग्य प्रमाणात काढणे हे गणिते सोडवताना खूप महत्त्वाचे आहे. आकृतीमुळे समस्या समजून घेणे सोपे होते आणि चुका टाळता येतात.

Ask SAAVI — Free