सरल रेखा और कोण

हमारे दैनिक जीवन में हम कई ज्यामितीय आकृतियाँ देखते हैं। इस अध्याय में हम रेखाओं और कोणों के मूल सिद्धांतों को समझेंगे जो ज्यामिति की नींव हैं।

• रेखाएँ: ये सीधी होती हैं और दोनों दिशाओं में अनंत तक फैली होती हैं।
• कोण: ये दो किरणों के एक उभयनिष्ठ बिंदु (शीर्ष) से निकलने पर बनते हैं।
• ज्यामिति में, रेखाएँ और कोण विभिन्न आकृतियों और उनके गुणों को समझने के लिए महत्वपूर्ण हैं।

ज्यामिति में तीन मूलभूत अवधारणाएँ हैं: रेखा, किरण और रेखाखंड। इनके बीच के अंतर को समझना महत्वपूर्ण है।

• रेखा (Line):
• एक सीधी पथ जो दोनों दिशाओं में अनंत तक फैली होती है।
• इसका कोई अंत-बिंदु नहीं होता।
• इसे छोटे अक्षरों जैसे \(l, m\) या दो बिंदुओं जैसे \(\overleftrightarrow{AB}\) से दर्शाया जाता है।

• किरण (Ray):
• एक सीधी पथ जिसका एक निश्चित प्रारंभिक बिंदु होता है और यह एक दिशा में अनंत तक फैली होती है।
• इसका एक अंत-बिंदु होता है।
• इसे \(\overrightarrow{AB}\) से दर्शाया जाता है, जहाँ A प्रारंभिक बिंदु है।

• रेखाखंड (Line Segment):
• एक रेखा का भाग जिसके दो निश्चित अंत-बिंदु होते हैं।
• इसकी एक निश्चित लंबाई होती है।
• इसे \(\overline{AB}\) से दर्शाया जाता है।

अंतर का सारांश:

| विशेषता | रेखा | किरण | रेखाखंड | | :---------- | :-------------------------- | :--------------------------- | :-------------------------- | | अंत-बिंदु | कोई नहीं | एक | दो | | लंबाई | अनंत | अनंत | निश्चित | | निरूपण | \(\overleftrightarrow{AB}\) या \(l\) | \(\overrightarrow{AB}\) | \(\overline{AB}\) |

एक रेखा पर \(n\) बिंदु अंकित होने पर बनने वाले रेखाखंडों की संख्या \(1 + 2 + ... + (n-1) = \frac{n(n-1)}{2}\) होती है।

• संरेख बिंदु (Collinear Points):
• तीन या अधिक बिंदु जो एक ही सीधी रेखा पर स्थित होते हैं, संरेख बिंदु कहलाते हैं।
• उदाहरण: यदि बिंदु A, B और C एक ही रेखा पर हैं, तो वे संरेख हैं।

• असंरेख बिंदु (Non-collinear Points):
• तीन या अधिक बिंदु जो एक ही सीधी रेखा पर स्थित नहीं होते हैं, असंरेख बिंदु कहलाते हैं।
• कम से कम तीन बिंदुओं के लिए ही संरेखता का प्रश्न सार्थक होता है। कोई भी दो बिंदु हमेशा संरेख होते हैं, क्योंकि उनसे होकर एक सीधी रेखा खींची जा सकती है।

महत्व: संरेख और असंरेख बिंदुओं की अवधारणा त्रिभुजों और अन्य बहुभुजों के निर्माण में महत्वपूर्ण है। तीन असंरेख बिंदु एक त्रिभुज बनाते हैं।

कोणों को उनके माप के आधार पर विभिन्न प्रकारों में वर्गीकृत किया जाता है:

• न्यूनकोण (Acute Angle):
• वह कोण जिसका माप \(0^\circ\) से अधिक और \(90^\circ\) से कम होता है।
• उदाहरण: \(30^\circ, 60^\circ\)

• समकोण (Right Angle):
• वह कोण जिसका माप ठीक \(90^\circ\) होता है।
• यह अक्सर एक छोटे वर्ग के प्रतीक द्वारा दर्शाया जाता है।

• अधिक कोण (Obtuse Angle):
• वह कोण जिसका माप \(90^\circ\) से अधिक और \(180^\circ\) से कम होता है।
• उदाहरण: \(120^\circ, 150^\circ\)

• सरल कोण या ऋजुकोण (Straight Angle):
• वह कोण जिसका माप ठीक \(180^\circ\) होता है।
• यह एक सीधी रेखा बनाता है।

• प्रतिवर्ती कोण या वृहत्त कोण (Reflex Angle):
• वह कोण जिसका माप \(180^\circ\) से अधिक और \(360^\circ\) से कम होता है।
• उदाहरण: \(210^\circ, 300^\circ\)

• पूर्ण कोण (Complete Angle):
• वह कोण जिसका माप ठीक \(360^\circ\) होता है।

कोणों के युग्म:

• आसन्न कोण (Adjacent Angles):
• दो कोण आसन्न कोण कहलाते हैं यदि उनका एक उभयनिष्ठ शीर्ष हो, एक उभयनिष्ठ भुजा हो, और उनकी गैर-उभयनिष्ठ भुजाएँ उभयनिष्ठ भुजा के विपरीत हों।
• महत्वपूर्ण: एक कोण दूसरे में समाहित नहीं होना चाहिए।

• पूरक कोण (Complementary Angles):
• दो कोण पूरक कोण कहलाते हैं यदि उनके मापों का योग \(90^\circ\) हो।
• उदाहरण: \(30^\circ\) और \(60^\circ\) पूरक कोण हैं।

• संपूरक कोण (Supplementary Angles):
• दो कोण संपूरक कोण कहलाते हैं यदि उनके मापों का योग \(180^\circ\) हो।
• उदाहरण: \(70^\circ\) और \(110^\circ\) संपूरक कोण हैं।

• रेखीय युग्म (Linear Pair):
• आसन्न कोणों का एक युग्म जिनकी गैर-उभयनिष्ठ भुजाएँ एक सीधी रेखा बनाती हैं।
• रेखीय युग्म हमेशा संपूरक होते हैं (उनका योग \(180^\circ\) होता है)।
• अभिगृहीत: यदि एक किरण एक रेखा पर खड़ी हो, तो इस प्रकार बने दोनों आसन्न कोणों का योग \(180^\circ\) होता है। इसका विलोम भी सत्य है।

• प्रतिच्छेदी रेखाएँ (Intersecting Lines):
• दो रेखाएँ जो एक उभयनिष्ठ बिंदु पर एक-दूसरे को काटती हैं, प्रतिच्छेदी रेखाएँ कहलाती हैं।
• उभयनिष्ठ बिंदु को प्रतिच्छेदन बिंदु कहते हैं।
• यदि दो रेखाएँ प्रतिच्छेदी नहीं हैं, तो वे समांतर होती हैं।

• समांतर रेखाएँ (Parallel Lines):
• दो रेखाएँ जो एक ही तल में स्थित होती हैं और कभी एक-दूसरे को प्रतिच्छेद नहीं करती हैं, समांतर रेखाएँ कहलाती हैं।
• उनके बीच की लंबवत दूरी हमेशा समान रहती है।
• समांतर रेखाओं को \(l \parallel m\) से दर्शाया जाता है।

• रेखीय युग्म (Linear Pair):
• जैसा कि पहले चर्चा की गई, ये आसन्न कोणों का एक युग्म है जो एक सीधी रेखा बनाते हैं।
• इनका योग हमेशा \(180^\circ\) होता है।

• शीर्षाभिमुख कोण (Vertically Opposite Angles):
• जब दो रेखाएँ एक-दूसरे को प्रतिच्छेद करती हैं, तो प्रतिच्छेदन बिंदु पर चार कोण बनते हैं।
• शीर्षाभिमुख कोण वे कोण होते हैं जो एक-दूसरे के विपरीत होते हैं।
• प्रमेय: दो प्रतिच्छेदी रेखाओं के शीर्षाभिमुख कोण हमेशा बराबर होते हैं।

उपपत्ति (Proof): शीर्षाभिमुख कोणों की समानता मान लीजिए दो रेखाएँ AB और CD बिंदु O पर प्रतिच्छेद करती हैं, जिससे \(\angle 1, \angle 2, \angle 3, \angle 4\) बनते हैं।

1. रेखा AB पर किरण OC खड़ी है। इसलिए, \(\angle AOC + \angle COB = 180^\circ\) (रेखीय युग्म) \(\Rightarrow \angle 1 + \angle 2 = 180^\circ\) (समीकरण 1)
2. रेखा CD पर किरण OA खड़ी है। इसलिए, \(\angle COA + \angle AOD = 180^\circ\) (रेखीय युग्म) \(\Rightarrow \angle 1 + \angle 4 = 180^\circ\) (समीकरण 2)
3. समीकरण 1 और 2 से:

\(\angle 1 + \angle 2 = \angle 1 + \angle 4\) \(\Rightarrow \angle 2 = \angle 4\)

1. इसी प्रकार, हम सिद्ध कर सकते हैं कि \(\angle 1 = \angle 3\)।

रेखा AB पर किरण OD खड़ी है। इसलिए, \(\angle AOD + \angle DOB = 180^\circ\) (रेखीय युग्म) \(\Rightarrow \angle 4 + \angle 3 = 180^\circ\) (समीकरण 3) समीकरण 2 और 3 से: \(\angle 1 + \angle 4 = \angle 4 + \angle 3\) \(\Rightarrow \angle 1 = \angle 3\)

अतः, शीर्षाभिमुख कोण बराबर होते हैं।

एक बिंदु के चारों ओर बने सभी कोणों का योग हमेशा \(360^\circ\) होता है।

• यदि एक बिंदु O से कई किरणें (OP, OQ, OR, OS) निकलती हैं, तो उनके बीच बने सभी कोणों का योग \(360^\circ\) होगा।
• यह अवधारणा जटिल ज्यामितीय समस्याओं को हल करने में उपयोगी है।

उदाहरण: यदि \(\angle POQ, \angle QOR, \angle ROS, \angle SOP\) एक बिंदु O पर बने कोण हैं, तो \(\angle POQ + \angle QOR + \angle ROS + \angle SOP = 360^\circ\)।

• कोण समद्विभाजक (Angle Bisector):
• एक किरण जो एक कोण को दो बराबर भागों में विभाजित करती है, कोण समद्विभाजक कहलाती है।
• उदाहरण: यदि किरण OB, \(\angle AOC\) को समद्विभाजित करती है, तो \(\angle AOB = \angle BOC\) होगा।

• कोण समद्विभाजक का उपयोग अक्सर कोणों के मान ज्ञात करने या ज्यामितीय उपपत्तियों में किया जाता है।
• समद्विभाजक की अवधारणा त्रिभुजों और अन्य आकृतियों में कोणों से संबंधित गुणों को सिद्ध करने में महत्वपूर्ण है।

जब एक तिर्यक रेखा (transversal line) दो या दो से अधिक रेखाओं को अलग-अलग बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करती है, तो विभिन्न प्रकार के कोण बनते हैं।

मान लीजिए रेखा \(n\) दो रेखाओं \(l\) और \(m\) को प्रतिच्छेद करती है, तो 8 कोण बनते हैं (चित्र - 24 और 25 देखें)। इन कोणों को निम्न प्रकार से वर्गीकृत किया जाता है:

1. संगत कोण (Corresponding Angles):

• ये तिर्यक रेखा के एक ही ओर होते हैं और रेखाओं \(l\) और \(m\) के सापेक्ष समान स्थिति में होते हैं।
• युग्म: \((\angle 1, \angle 5), (\angle 2, \angle 6), (\angle 3, \angle 7), (\angle 4, \angle 8)\)

1. एकांतर अंतःकोण (Alternate Interior Angles):

• ये तिर्यक रेखा के विपरीत ओर होते हैं और दोनों रेखाओं \(l\) और \(m\) के अंदर स्थित होते हैं।
• युग्म: \((\angle 4, \angle 6), (\angle 3, \angle 5)\)

1. एकांतर बाह्य कोण (Alternate Exterior Angles):

• ये तिर्यक रेखा के विपरीत ओर होते हैं और दोनों रेखाओं \(l\) और \(m\) के बाहर स्थित होते हैं।
• युग्म: \((\angle 1, \angle 7), (\angle 2, \angle 8)\)

1. तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अंतः कोण (Consecutive Interior Angles / Co-interior Angles):

• ये तिर्यक रेखा के एक ही ओर होते हैं और दोनों रेखाओं \(l\) और \(m\) के अंदर स्थित होते हैं।
• इन्हें क्रमागत अंतः कोण या सह-अंतः कोण भी कहते हैं।
• युग्म: \((\angle 4, \angle 5), (\angle 3, \angle 6)\)

1. तिर्यक रेखा के एक ही ओर के बाह्य कोण (Consecutive Exterior Angles / Co-exterior Angles):

• ये तिर्यक रेखा के एक ही ओर होते हैं और दोनों रेखाओं \(l\) और \(m\) के बाहर स्थित होते हैं।
• इन्हें क्रमागत बाह्य कोण या सह-बाह्य कोण भी कहते हैं।
• युग्म: \((\angle 1, \angle 8), (\angle 2, \angle 7)\)

इन कोणों के बीच संबंध तभी स्थापित होते हैं जब रेखाएँ \(l\) और \(m\) समांतर हों।

जब एक तिर्यक रेखा दो समांतर रेखाओं को प्रतिच्छेद करती है, तो कोणों के बीच विशेष संबंध स्थापित होते हैं। ये संबंध ज्यामिति में महत्वपूर्ण प्रमेय और अभिगृहीत हैं।

1. संगत कोण अभिगृहीत (Corresponding Angles Axiom):

• यदि एक तिर्यक रेखा दो समांतर रेखाओं को प्रतिच्छेद करती है, तो संगत कोणों का प्रत्येक युग्म बराबर होता है।
• विलोम: यदि एक तिर्यक रेखा दो रेखाओं को इस प्रकार प्रतिच्छेद करती है कि संगत कोणों का एक युग्म बराबर हो, तो दोनों रेखाएँ समांतर होती हैं।
• उदाहरण: यदि \(l \parallel m\), तो \(\angle 1 = \angle 5, \angle 2 = \angle 6, \angle 3 = \angle 7, \angle 4 = \angle 8\)।

1. एकांतर अंतःकोण प्रमेय (Alternate Interior Angles Theorem):

• यदि एक तिर्यक रेखा दो समांतर रेखाओं को प्रतिच्छेद करती है, तो एकांतर अंतः कोणों का प्रत्येक युग्म बराबर होता है।
• विलोम: यदि एक तिर्यक रेखा दो रेखाओं को इस प्रकार प्रतिच्छेद करती है कि एकांतर अंतः कोणों का एक युग्म बराबर हो, तो दोनों रेखाएँ समांतर होती हैं।
• उदाहरण: यदि \(l \parallel m\), तो \(\angle 4 = \angle 6, \angle 3 = \angle 5\)।

1. एकांतर बाह्य कोण प्रमेय (Alternate Exterior Angles Theorem):

• यदि एक तिर्यक रेखा दो समांतर रेखाओं को प्रतिच्छेद करती है, तो एकांतर बाह्य कोणों का प्रत्येक युग्म बराबर होता है।
• विलोम: यदि एक तिर्यक रेखा दो रेखाओं को इस प्रकार प्रतिच्छेद करती है कि एकांतर बाह्य कोणों का एक युग्म बराबर हो, तो दोनों रेखाएँ समांतर होती हैं।
• उदाहरण: यदि \(l \parallel m\), तो \(\angle 1 = \angle 7, \angle 2 = \angle 8\)।

1. तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अंतः कोण प्रमेय (Consecutive Interior Angles Theorem):

• यदि एक तिर्यक रेखा दो समांतर रेखाओं को प्रतिच्छेद करती है, तो तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अंतः कोणों का प्रत्येक युग्म संपूरक होता है (योग \(180^\circ\))।
• विलोम: यदि एक तिर्यक रेखा दो रेखाओं को इस प्रकार प्रतिच्छेद करती है कि तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अंतः कोणों का एक युग्म संपूरक हो, तो दोनों रेखाएँ समांतर होती हैं।
• उदाहरण: यदि \(l \parallel m\), तो \(\angle 4 + \angle 5 = 180^\circ, \angle 3 + \angle 6 = 180^\circ\)।

1. एक ही रेखा के समांतर रेखाएँ (Lines Parallel to the Same Line):

• प्रमेय: वे रेखाएँ जो एक ही रेखा के समांतर हों, परस्पर समांतर होती हैं।
• यदि \(l \parallel n\) और \(m \parallel n\), तो \(l \parallel m\)।

सारांश (समांतर रेखाओं के गुणधर्म):

| कोणों का प्रकार | समांतर रेखाओं के लिए गुणधर्म | विलोम (समांतरता सिद्ध करने के लिए) | | :---------------------------- | :--------------------------------------------------------- | :--------------------------------------------------------------- | | संगत कोण | बराबर होते हैं | यदि संगत कोण बराबर हों, तो रेखाएँ समांतर होती हैं। | | एकांतर अंतःकोण | बराबर होते हैं | यदि एकांतर अंतःकोण बराबर हों, तो रेखाएँ समांतर होती हैं। | | एकांतर बाह्य कोण | बराबर होते हैं | यदि एकांतर बाह्य कोण बराबर हों, तो रेखाएँ समांतर होती हैं। | | तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अंतः कोण | संपूरक होते हैं (योग \(180^\circ\)) | यदि तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अंतः कोण संपूरक हों, तो रेखाएँ समांतर होती हैं। |

ये सभी गुणधर्म और उनके विलोम ज्यामितीय समस्याओं को हल करने और उपपत्तियों में बहुत उपयोगी हैं।

• प्रमेय: किसी त्रिभुज के तीनों अंतः कोणों का योग \(180^\circ\) होता है।

उपपत्ति (Proof):

दिया है: एक त्रिभुज ABC, जिसके कोण \(\angle 1, \angle 2\) और \(\angle 3\) हैं। सिद्ध करना है: \(\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 = 180^\circ\)

रचना: शीर्ष A से होकर भुजा BC के समांतर एक रेखा PQ खींचिए।

प्रमाण:

1. चूँकि \(PQ \parallel BC\) और AB एक तिर्यक रेखा है, तो \(\angle 4 = \angle 2\) (एकांतर अंतःकोण)। (समीकरण 1)
2. चूँकि \(PQ \parallel BC\) और AC एक तिर्यक रेखा है, तो \(\angle 5 = \angle 3\) (एकांतर अंतःकोण)। (समीकरण 2)
3. रेखा PQ एक सीधी रेखा है, इसलिए \(\angle 4 + \angle 1 + \angle 5 = 180^\circ\) (रेखीय युग्म)। (समीकरण 3)
4. समीकरण 1 और 2 से \(\angle 4\) और \(\angle 5\) के मान समीकरण 3 में रखने पर:

\(\angle 2 + \angle 1 + \angle 3 = 180^\circ\) या \(\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 = 180^\circ\)

अतः, त्रिभुज के तीनों अंतः कोणों का योग \(180^\circ\) होता है।

• प्रमेय: यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा बढ़ाई जाए, तो इस प्रकार बना बाह्यकोण अपने दोनों अंतः अभिमुख (विपरीत) कोणों के योग के बराबर होता है।
• इसे बाह्यकोण प्रमेय (Exterior Angle Theorem) भी कहते हैं।

उपपत्ति (Proof):

दिया है: एक त्रिभुज ABC, जिसकी भुजा BC को बिंदु D तक बढ़ाया गया है। बाह्यकोण \(\angle ACD\) है, और अंतः अभिमुख कोण \(\angle BAC\) और \(\angle ABC\) हैं। सिद्ध करना है: \(\angle ACD = \angle BAC + \angle ABC\)

प्रमाण:

1. त्रिभुज ABC में, अंतः कोणों के योग गुणधर्म से:

\(\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^\circ\) (समीकरण 1)

1. रेखा BD एक सीधी रेखा है, और किरण AC उस पर खड़ी है। इसलिए, \(\angle ACB + \angle ACD = 180^\circ\) (रेखीय युग्म)। (समीकरण 2)
2. समीकरण 1 और 2 से:

\(\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = \angle ACB + \angle ACD\) \(\Rightarrow \angle BAC + \angle ABC = \angle ACD\)

अतः, त्रिभुज का बाह्यकोण अपने दोनों अंतः अभिमुख कोणों के योग के बराबर होता है।

निष्कर्ष: किसी त्रिभुज का बाह्यकोण अपने दोनों अंतः अभिमुख कोणों में से प्रत्येक से बड़ा होता है।

• चतुर्भुज के अंतःकोणों का योग: किसी चतुर्भुज के चारों अंतःकोणों का योग \(360^\circ\) होता है।

उपपत्ति (Proof):

दिया है: एक चतुर्भुज ABCD। सिद्ध करना है: \(\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ\)

रचना: विकर्ण AC खींचिए, जो चतुर्भुज को दो त्रिभुजों \(\triangle ABC\) और \(\triangle ADC\) में विभाजित करता है।

प्रमाण:

1. \(\triangle ABC\) में, कोण योग गुणधर्म से:

\(\angle BAC + \angle ABC + \angle BCA = 180^\circ\) (समीकरण 1)

1. \(\triangle ADC\) में, कोण योग गुणधर्म से:

\(\angle DAC + \angle ADC + \angle DCA = 180^\circ\) (समीकरण 2)

1. समीकरण 1 और 2 को जोड़ने पर:

\((\angle BAC + \angle DAC) + \angle ABC + (\angle BCA + \angle DCA) + \angle ADC = 180^\circ + 180^\circ\) \(\Rightarrow \angle BAD + \angle ABC + \angle BCD + \angle ADC = 360^\circ\) \(\Rightarrow \angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ\)

• सामान्य बहुभुज के अंतःकोणों का योग:
• एक \(n\) भुजा वाले बहुभुज को एक उभयनिष्ठ शीर्ष वाले \((n-2)\) त्रिभुजों में विभाजित किया जा सकता है।
• इसलिए, \(n\) भुजा वाले बहुभुज के सभी अंतः कोणों का योग \(= (n-2) \times 180^\circ\) होता है।

उदाहरण:

• त्रिभुज (n=3): \((3-2) \times 180^\circ = 1 \times 180^\circ = 180^\circ\)
• चतुर्भुज (n=4): \((4-2) \times 180^\circ = 2 \times 180^\circ = 360^\circ\)
• पंचभुज (n=5): \((5-2) \times 180^\circ = 3 \times 180^\circ = 540^\circ\)

इस खंड में, हम त्रिभुजों और बहुभुजों के कोणों से संबंधित विभिन्न प्रकार की समस्याओं को हल करने के लिए सीखे गए प्रमेयों और गुणों का उपयोग करेंगे। इसमें अज्ञात कोणों का मान ज्ञात करना, कोण समद्विभाजकों का उपयोग करना और ज्यामितीय उपपत्तियाँ शामिल हैं।

समस्या-समाधान के लिए मुख्य चरण:

1. दिए गए को पहचानें: चित्र और प्रश्न में दी गई सभी जानकारी को ध्यान से पढ़ें।
2. सिद्ध करने या ज्ञात करने वाले को पहचानें: आपको क्या ज्ञात करना है या क्या सिद्ध करना है, यह स्पष्ट करें।
3. उपयुक्त प्रमेय/गुणधर्म लागू करें: रेखाओं, कोणों, त्रिभुजों या बहुभुजों से संबंधित कौन से गुणधर्म यहाँ लागू होते हैं, यह तय करें।

• रेखीय युग्म, शीर्षाभिमुख कोण।
• समांतर रेखाओं के गुणधर्म (संगत, एकांतर, सह-अंतः कोण)।
• त्रिभुज का कोण योग गुणधर्म।
• त्रिभुज का बाह्यकोण प्रमेय।
• बहुभुज के अंतःकोणों का योग सूत्र।

1. रचना (यदि आवश्यक हो): कभी-कभी, समस्या को हल करने के लिए एक अतिरिक्त रेखा खींचने की आवश्यकता हो सकती है (जैसे समांतर रेखा)।
2. चरण-दर-चरण हल करें: प्रत्येक चरण को तार्किक रूप से लिखें और प्रत्येक कथन के लिए कारण दें।
3. जांच करें: अपने उत्तर की दोबारा जांच करें, खासकर यदि यह एक संख्यात्मक मान है।

यह खंड पिछले सभी अवधारणाओं का अनुप्रयोग है, इसलिए सभी प्रमेयों और गुणों की अच्छी समझ आवश्यक है।