सांख्यिकी

समान्तर माध्य, जिसे औसत भी कहते हैं, आँकड़ों के समूह का प्रतिनिधि मान होता है। यह हमें आँकड़ों के केंद्रीय झुकाव के बारे में बताता है।

• परिभाषा: समान्तर माध्य (M) वह मान है जो दिए गए प्रेक्षणों (आँकड़ों) के योग को प्रेक्षणों की कुल संख्या से भाग देने पर प्राप्त होता है।
• सूत्र:

$$M = \frac{\text{प्रेक्षणों का योग}}{\text{प्रेक्षणों की संख्या}}$$ या $$M = \frac{\Sigma x}{N}$$ जहाँ, \(\Sigma x\) = सभी प्रेक्षणों का योग और \(N\) = प्रेक्षणों की कुल संख्या।

• उपयोग:
• कक्षा में विद्यार्थियों की औसत आयु।
• दैनिक समाचार पत्रों का औसत मूल्य।
• क्रिकेट खिलाड़ी द्वारा बनाए गए औसत रन।
• औसत वर्षा।
• विशेषताएँ:
• यह न तो अधिकतम मान होता है और न ही न्यूनतम, बल्कि यह एक संतुलन बिंदु होता है।
• यह आँकड़ों के समूहन को प्रदर्शित करता है।
• सभी प्रेक्षणों को गणना में शामिल करता है।

उदाहरण: राधा के पिछले हफ्ते के जानवरों के पानी पीने के आँकड़े: 12, 15, 13, 11, 13, 13, 14।

• प्रेक्षणों का योग = \(12 + 15 + 13 + 11 + 13 + 13 + 14 = 91\)
• प्रेक्षणों की संख्या = \(7\)
• समान्तर माध्य = \(91 / 7 = 13\)
• अतः, राधा प्रतिदिन औसतन 13 जानवरों को पानी पिलाती है।

महत्वपूर्ण बिन्दु:

• समान्तर माध्य की गणना के लिए सभी आँकड़ों का मान ज्ञात होना आवश्यक है।
• यह अत्यधिक बड़े या छोटे मानों (चरम मानों) से प्रभावित होता है।

बहुलक वह मान है जो किसी आँकड़ा समूह में सर्वाधिक बार आता है या जिसकी बारम्बारता सबसे अधिक होती है।

• परिभाषा: बहुलक दिए गए प्रेक्षणों में से वह मान है जो सर्वाधिक बार दोहराया गया हो। इसे 'M' संकेत द्वारा दर्शाते हैं।
• पहचान: आँकड़ों को आरोही या अवरोही क्रम में व्यवस्थित करके बहुलक को आसानी से पहचाना जा सकता है।
• उपयोग:
• रेडिमेड कपड़ों की दुकानों में सबसे अधिक बिकने वाले आकार (जैसे 38 या 40 नंबर की शर्ट)।
• किसी क्षेत्र में सबसे लोकप्रिय दर्शनीय स्थल का चुनाव।
• उत्पादन में, जिस उत्पाद की मांग सबसे अधिक हो।
• विशेषताएँ:
• बहुलक आँकड़ा समूह में एक से अधिक हो सकता है (बहु-बहुलक)।
• यदि सभी प्रेक्षणों की बारम्बारता समान हो, तो कोई बहुलक नहीं होता।
• यह चरम मानों (अत्यधिक बड़े या छोटे मानों) से प्रभावित नहीं होता।
• यह गुणात्मक आँकड़ों (जैसे पसंदीदा रंग, पसंदीदा खेल) के लिए भी उपयोगी है।

उदाहरण: एक फुटबाल टीम के 11 खिलाड़ियों द्वारा पहने गए जूतों के नाप: 6, 4, 5, 6, 7, 7, 6, 5, 6, 7, 8।

• आँकड़ों को आरोही क्रम में व्यवस्थित करने पर: 4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 8
• यहाँ, संख्या 6 चार बार आई है, जो अन्य संख्याओं से अधिक है।
• अतः, बहुलक = 6।

दीपावली भ्रमण का उदाहरण: | दर्शनीय स्थल | गणना चिह्न | विद्यार्थियों की संख्या | |---|---|---| | सिरपुर | |||| || | 7 | | जगदलपुर | |||| |||| ||| | 13 | | रतनपुर | |||| | 5 | | अम्बिकापुर | |||| || | 5 |

• इस सारणी में, जगदलपुर को 13 विद्यार्थियों ने पसंद किया, जो सर्वाधिक है।
• अतः, इस आँकड़ा समूह का बहुलक जगदलपुर है।

माध्यिका आँकड़ों के समूह का मध्य मान होता है जब उन्हें आरोही (बढ़ते क्रम) या अवरोही (घटते क्रम) क्रम में व्यवस्थित किया जाता है। यह आँकड़ा समूह को दो बराबर भागों में विभाजित करता है।

• माध्यिका ज्ञात करने के चरण:

1. दिए गए आँकड़ों को आरोही या अवरोही क्रम में व्यवस्थित करें।
2. प्रेक्षणों की कुल संख्या (N) ज्ञात करें।
3. N के मान के आधार पर माध्यिका ज्ञात करें।

• स्थिति 1: जब आँकड़ों की संख्या (N) विषम हो
• माध्यिका (M) = \(\left(\frac{N+1}{2}\right)\)वाँ पद का मान।
• यह वह पद होता है जिसके ठीक बीच में होने के कारण उसके दोनों ओर बराबर संख्या में पद होते हैं।

• स्थिति 2: जब आँकड़ों की संख्या (N) सम हो
• इस स्थिति में, मध्य में दो पद होते हैं।
• माध्यिका (M) = \(\frac{\left(\frac{N}{2}\right)\text{वाँ पद का मान} + \left(\frac{N}{2}+1\right)\text{वाँ पद का मान}}{2}\)
• अर्थात, दोनों मध्य पदों का समान्तर माध्य।

उदाहरण (N विषम): आँकड़े: 5, 9, 4, 6, 12, 8, 10

1. आरोही क्रम में व्यवस्थित करें: 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12
2. N = 7 (विषम संख्या)
3. माध्यिका = \(\left(\frac{7+1}{2}\right)\)वाँ पद = \(\frac{8}{2}\)वाँ पद = 4वाँ पद
4. 4वाँ पद = 8

• अतः, माध्यिका = 8

उदाहरण (N सम): आँकड़े: 5, 9, 4, 6, 12, 8

1. आरोही क्रम में व्यवस्थित करें: 4, 5, 6, 8, 9, 12
2. N = 6 (सम संख्या)
3. माध्यिका = \(\frac{\left(\frac{6}{2}\right)\text{वाँ पद का मान} + \left(\frac{6}{2}+1\right)\text{वाँ पद का मान}}{2}\)

• = \(\frac{\text{तीसरे पद का मान} + \text{चौथे पद का मान}}{2}\)
• = \(\frac{6 + 8}{2} = \frac{14}{2} = 7\)
• अतः, माध्यिका = 7

माध्यिका का महत्व:

• यह चरम मानों से प्रभावित नहीं होती, जो इसे समान्तर माध्य से अलग बनाता है।
• यह आँकड़ों के केंद्र का एक अच्छा माप है, खासकर जब आँकड़े विषम रूप से वितरित हों।

पाई चार्ट, जिसे वृत्त चित्र या वृत्ताकार लेखाचित्र भी कहते हैं, आँकड़ों को वृत्ताकार रूप में प्रदर्शित करने का एक तरीका है। यह एक पूरे के विभिन्न भागों को दर्शाता है।

• परिभाषा: यदि आँकड़ों को वृत्त के त्रिज्याखण्डों (sectors) द्वारा दिखाया जाता है, तो इसे पाई चार्ट कहा जाता है। प्रत्येक त्रिज्याखण्ड का आकार उस श्रेणी के मान के सीधे आनुपातिक होता है जिसका वह प्रतिनिधित्व करता है।
• विशेषताएँ:
• पूरे वृत्त का कोण \(360^\circ\) होता है।
• प्रत्येक श्रेणी के लिए केंद्रीय कोण की गणना की जाती है।
• सभी त्रिज्याखण्डों के केंद्रीय कोणों का योग हमेशा \(360^\circ\) होता है।
• यह आनुपातिक डेटा (proportional data) को दर्शाने के लिए सबसे उपयुक्त है।

• पाई चार्ट बनाने के चरण:

1. कुल मान ज्ञात करें: सभी श्रेणियों के मानों का योग ज्ञात करें।
2. प्रत्येक श्रेणी के लिए केंद्रीय कोण ज्ञात करें:

$$ \text{केंद्रीय कोण} = \left(\frac{\text{श्रेणी का मान}}{\text{कुल मान}}\right) \times 360^\circ $$

1. वृत्त बनाएँ: एक उपयुक्त त्रिज्या का वृत्त खींचें।
2. त्रिज्याखण्ड बनाएँ: प्रोटेक्टर (चाँदा) का उपयोग करके प्रत्येक श्रेणी के केंद्रीय कोण के अनुसार त्रिज्याखण्डों को चिह्नित करें।
3. लेबल करें: प्रत्येक त्रिज्याखण्ड को उसकी श्रेणी के नाम और प्रतिशत (यदि आवश्यक हो) के साथ लेबल करें।

उदाहरण: एक किसान के खेत में गत वर्ष पैदा हुई फसलों का डेटा। कुल पैदावार = 720 क्विंटल। | फसल | केंद्रीय कोण | |---|---| | गेहूँ | \(135^\circ\) | | चावल | \(90^\circ\) | | उड़द | \(45^\circ\) | | मूँग | \(40^\circ\) | | सरसों | \(50^\circ\) |

• कुल कोण = \(135^\circ + 90^\circ + 45^\circ + 40^\circ + 50^\circ = 360^\circ\)
• चूँकि \(360^\circ = 720\) क्विंटल, तो \(1^\circ = \frac{720}{360} = 2\) क्विंटल।
• प्रत्येक फसल की पैदावार:
• गेहूँ = \(135 \times 2 = 270\) क्विंटल
• चावल = \(90 \times 2 = 180\) क्विंटल
• उड़द = \(45 \times 2 = 90\) क्विंटल
• मूँग = \(40 \times 2 = 80\) क्विंटल
• सरसों = \(50 \times 2 = 100\) क्विंटल

पाई चार्ट के फायदे:

• एक नज़र में अनुपातिक तुलना करना आसान होता है।
• कुल के हिस्से को स्पष्ट रूप से दर्शाता है।

प्रायिकता किसी घटना के घटित होने की संभावना का संख्यात्मक माप है। यह हमें बताती है कि कोई घटना कितनी बार घटित हो सकती है।

• परिभाषा: किसी घटना के घटित होने की संभावना को मापना प्रायिकता कहलाता है।
• प्रायिकता का मान: प्रायिकता का मान हमेशा 0 और 1 के बीच होता है।
• \(P(E) = 0\) का अर्थ है कि घटना का घटित होना असंभव है।
• \(P(E) = 1\) का अर्थ है कि घटना का घटित होना निश्चित है।
• सूत्र:

$$ \text{प्रायिकता (P)} = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल संभव परिणामों की संख्या}} $$

• उदाहरण:
• एक सिक्के को उछालना:
• कुल संभव परिणाम = {चित, पट} = 2
• चित आने के अनुकूल परिणाम = {चित} = 1
• चित आने की प्रायिकता = \(1/2\)
• पट आने की प्रायिकता = \(1/2\)
• एक पासे को उछालना:
• कुल संभव परिणाम = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = 6
• शीर्ष पर 3 आने के अनुकूल परिणाम = {3} = 1
• शीर्ष पर 3 आने की प्रायिकता = \(1/6\)
• सम संख्या (2, 4, 6) आने की प्रायिकता = \(3/6 = 1/2\)
• ताश की गड्डी:
• कुल पत्ते = 52
• हुकुम के पत्ते = 13
• हुकुम का पत्ता निकालने की प्रायिकता = \(13/52 = 1/4\)
• बादशाह के पत्ते = 4
• बादशाह का पत्ता निकालने की प्रायिकता = \(4/52 = 1/13\)

• दैनिक जीवन में उपयोग:
• मौसम का पूर्वानुमान।
• खेल के परिणामों की भविष्यवाणी।
• लॉटरी में जीतने की संभावना।
• क्रिकेट मैच में टॉस।

महत्वपूर्ण बिन्दु:

• प्रायिकता में, सभी संभव परिणामों की गणना सही ढंग से करना महत्वपूर्ण है।
• अनुकूल परिणाम वे होते हैं जो हमारी वांछित घटना के पक्ष में हों।