घातांक
घातांक अध्याय में आप संख्याओं को घात के रूप में व्यक्त करना सीखते हैं, जिससे बड़ी संख्याओं को लिखना और गणना करना आसान हो जाता है। इसमें पूर्णांकों और परिमेय संख्याओं के घातांकों के नियम शामिल हैं, जैसे गुणन, विभाजन और घात की घात। आप यह भी समझेंगे कि ऋणात्मक आधारों और ऋणात्मक घातांकों के साथ कैसे काम किया जाए। यह अध्याय बीजगणित और आगे की गणितीय अवधारणाओं के लिए एक मजबूत आधार बनाता है।
पूर्णांकों की घात
पूर्णांकों की घातों को समझना घातांकों के मूलभूत सिद्धांतों में से एक है। विशेष रूप से, ऋणात्मक आधार वाली संख्याओं की घातों को समझना महत्वपूर्ण है।
(-1) की घात का पैटर्न
- जब (-1) की घात एक सम संख्या होती है, तो परिणाम हमेशा धनात्मक 1 होता है।
- उदाहरण: \((-1)^2 = (-1) \times (-1) = 1\)
- उदाहरण: \((-1)^4 = (-1) \times (-1) \times (-1) \times (-1) = 1\)
- जब (-1) की घात एक विषम संख्या होती है, तो परिणाम हमेशा ऋणात्मक 1 होता है।
- उदाहरण: \((-1)^3 = (-1) \times (-1) \times (-1) = -1\)
- उदाहरण: \((-1)^5 = (-1) \times (-1) \times (-1) \times (-1) \times (-1) = -1\)
ऋणात्मक आधार की घात का सामान्य नियम
यदि 'a' एक धनात्मक पूर्णांक है और 'm' एक प्राकृत संख्या है, तो \((-a)^m\) को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है: \((-a)^m = (-1 \times a)^m = (-1)^m \times a^m\)
- यदि 'm' एक सम संख्या है:
- \((-1)^m = 1\)
- अतः, \((-a)^m = 1 \times a^m = a^m\) (परिणाम धनात्मक होगा)
- उदाहरण: \((-5)^4 = (-1)^4 \times 5^4 = 1 \times 5^4 = 5^4\)
- यदि 'm' एक विषम संख्या है:
- \((-1)^m = -1\)
- अतः, \((-a)^m = -1 \times a^m = -a^m\) (परिणाम ऋणात्मक होगा)
- उदाहरण: \((-27)^{13} = (-1)^{13} \times 27^{13} = -1 \times 27^{13} = -27^{13}\)
यह नियम हमें बताता है कि ऋणात्मक आधार वाली संख्या की घात का चिह्न घातांक की समता या विषम संख्या पर निर्भर करता है।
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किसी भी ऋणात्मक पूर्णांक की घात का मान निर्धारित करते समय, सबसे पहले घातांक की समता (evenness) या विषम संख्या (oddness) की जाँच करें।
छात्र अक्सर \((-a)^m\) और \(-a^m\) के बीच भ्रमित हो जाते हैं। याद रखें, \((-a)^m\) में पूरा \(-a\) आधार है, जबकि \(-a^m\) में केवल 'a' आधार है और ऋणात्मक चिह्न बाहर है।
उदाहरण 1. सरल कीजिए
पूर्णांकों की घातों को सरल करने के लिए, हमें घातांक के नियमों का सही ढंग से उपयोग करना होता है। ऋणात्मक आधारों के साथ काम करते समय, (-1) की घात का मान महत्वपूर्ण होता है।
घातांक के मूलभूत नियम
- गुणा का नियम: जब आधार समान हों, तो घातें जुड़ जाती हैं। \(a^m \times a^n = a^{m+n}\)
- भाग का नियम: जब आधार समान हों, तो घातें घट जाती हैं। \(a^m \div a^n = a^{m-n}\)
- घात का घात नियम: \((a^m)^n = a^{mn}\)
- शून्य घातांक: किसी भी गैर-शून्य संख्या की घात 0 हमेशा 1 होती है। \(a^0 = 1\) (जहाँ \(a \neq 0\))
ऋणात्मक आधारों को सरल करने के चरण
- ऋणात्मक आधार को अलग करें: किसी भी ऋणात्मक आधार \((-a)\) को \((-1) \times a\) के रूप में लिखें।
- घातांक के नियमों का प्रयोग करें: \((xy)^m = x^m y^m\) का उपयोग करके \((-1)^m \times a^m\) प्राप्त करें।
- (-1) की घात का मान ज्ञात करें:
- यदि 'm' सम है, तो \((-1)^m = 1\)।
- यदि 'm' विषम है, तो \((-1)^m = -1\)।
- परिणाम को संयोजित करें: प्राप्त मानों को गुणा करके अंतिम परिणाम प्राप्त करें।
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ऋणात्मक आधारों के साथ गणना करते समय, चिह्नों की गलतियों से बचने के लिए (-1) की घात के नियम को हमेशा ध्यान में रखें। यह सबसे आम गलती है।
जब एक ऋणात्मक संख्या की घात सम होती है, तो परिणाम हमेशा धनात्मक होता है। जब घात विषम होती है, तो परिणाम हमेशा ऋणात्मक होता है।
परिमेय संख्याओं की घात
परिमेय संख्याओं की घातें भी पूर्णांकों की घातों के समान नियमों का पालन करती हैं। एक परिमेय संख्या \(\frac{p}{q}\) को घातांक के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ 'p' और 'q' पूर्णांक हैं और \(q \neq 0\)।
धनात्मक घातांक
- जब किसी परिमेय संख्या \(\left(\frac{a}{b}\right)\) की घात 'm' होती है, जहाँ 'm' एक धनात्मक पूर्णांक है, तो इसका अर्थ है कि \(\frac{a}{b}\) को 'm' बार स्वयं से गुणा किया गया है।
- सूत्र: \(\left(\frac{a}{b}\right)^m = \frac{a}{b} \times \frac{a}{b} \times \dots \text{(m बार)}\)
- इसे सरल करके लिखा जा सकता है: \(\left(\frac{a}{b}\right)^m = \frac{a^m}{b^m}\)
- उदाहरण: \(\left(\frac{5}{7}\right)^4 = \frac{5^4}{7^4}\)
- उदाहरण: \(\left(-\frac{5}{3}\right)^3 = \frac{(-5)^3}{3^3} = \frac{-5^3}{3^3}\)
ऋणात्मक घातांक
- जब किसी परिमेय संख्या \(\left(\frac{a}{b}\right)\) की घात ऋणात्मक होती है, जैसे \(\left(\frac{a}{b}\right)^{-m}\), तो इसे धनात्मक घात में बदलने के लिए परिमेय संख्या का व्युत्क्रम (reciprocal) लिया जाता है।
- इसका मतलब है कि अंश और हर आपस में बदल जाते हैं, और ऋणात्मक घात धनात्मक हो जाती है।
- सूत्र: \(\left(\frac{a}{b}\right)^{-m} = \left(\frac{b}{a}\right)^m\) (जहाँ \(a \neq 0, b \neq 0\))
- उदाहरण: \(\left(\frac{5}{4} ight)^{-2} = \left(\frac{4}{5} ight)^2 = \frac{4^2}{5^2}\)
- उदाहरण: \(\left(\frac{3}{7} ight)^{-4} = \left(\frac{7}{3} ight)^4 = \frac{7^4}{3^4}\)
शून्य घातांक
- किसी भी गैर-शून्य परिमेय संख्या की घात 0 हमेशा 1 होती है।
- सूत्र: \(\left(\frac{a}{b} ight)^0 = 1\) (जहाँ \(a \neq 0, b \neq 0\))
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\(\left(\frac{p}{q}\right)^m = \frac{p^m}{q^m}\) \(\left(\frac{p}{q}\right)^{-m} = \left(\frac{q}{p}\right)^m\) \(\left(\frac{p}{q}\right)^0 = 1\)
ऋणात्मक घातांक का मतलब यह नहीं है कि संख्या स्वयं ऋणात्मक है। इसका मतलब है कि संख्या का व्युत्क्रम लेना है।
अब यदि परिमेय संख्या का घात ऋणात्मक हो, तब स्थिति कैसी होगी ?
परिमेय संख्याओं के ऋणात्मक घातांकों को समझना और उन्हें धनात्मक घातांकों में बदलना एक महत्वपूर्ण कौशल है। यह हमें गणनाओं को सरल बनाने में मदद करता है।
ऋणात्मक घातांक का नियम
- यदि \(\frac{a}{b}\) कोई परिमेय संख्या है (जहाँ \(a \neq 0, b \neq 0\)) और 'm' एक धनात्मक पूर्णांक है, तो:
\(\left(\frac{a}{b} ight)^{-m} = \frac{1}{\left(\frac{a}{b} ight)^m}\)
- इसे आगे सरल करने पर:
\(\frac{1}{\left(\frac{a^m}{b^m} ight)} = \frac{b^m}{a^m}\)
- जिसे \(\left(\frac{b}{a} ight)^m\) के रूप में भी लिखा जा सकता है।
- अतः, \(\left(\frac{a}{b} ight)^{-m} = \left(\frac{b}{a} ight)^m\)
ऋणात्मक घातांक को धनात्मक में बदलने के चरण
- परिमेय संख्या का व्युत्क्रम लें: अंश को हर और हर को अंश में बदल दें।
- घातांक का चिह्न बदलें: ऋणात्मक घातांक को धनात्मक घातांक में बदल दें।
उदाहरण: \(\left(-\frac{2}{3} ight)^{-3}\)
- व्युत्क्रम लें: \(\left(-\frac{3}{2} ight)\)
- घात को धनात्मक करें: \(\left(-\frac{3}{2} ight)^3\)
- सरल करें: \(\frac{(-3)^3}{2^3} = \frac{-27}{8}\)
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ऋणात्मक घातांक वाले प्रश्नों में, पहले घातांक को धनात्मक में बदलना हमेशा आसान होता है। इससे गणना में त्रुटियों की संभावना कम हो जाती है।
छात्र अक्सर \(\left(\frac{a}{b} ight)^{-m}\) को \(\left(-\frac{a}{b} ight)^m\) समझ लेते हैं। यह गलत है। ऋणात्मक घातांक केवल व्युत्क्रम को इंगित करता है, आधार के चिह्न को नहीं बदलता।
उदाहरण 2. निम्न को सरल कीजिए
परिमेय संख्याओं की घातों को सरल करने के लिए, हम घातांक के उन्हीं नियमों का उपयोग करते हैं जो पूर्णांकों के लिए लागू होते हैं। मुख्य नियम हैं गुणा, भाग और घात का घात।
परिमेय संख्याओं के घातांक के नियम
- गुणा का नियम (समान आधार):
- जब दो परिमेय संख्याओं का आधार समान होता है और वे गुणा की जाती हैं, तो उनके घातांक जुड़ जाते हैं।
- सूत्र: \(\left(\frac{a}{b} ight)^m \times \left(\frac{a}{b} ight)^n = \left(\frac{a}{b} ight)^{m+n}\)
- उदाहरण: \(\left(\frac{2}{3} ight)^3 \times \left(\frac{2}{3} ight)^2 = \left(\frac{2}{3} ight)^{3+2} = \left(\frac{2}{3} ight)^5\)
- भाग का नियम (समान आधार):
- जब समान आधार वाली दो परिमेय संख्याओं को भाग दिया जाता है, तो उनके घातांक घट जाते हैं।
- सूत्र: \(\left(\frac{a}{b} ight)^m \div \left(\frac{a}{b} ight)^n = \left(\frac{a}{b} ight)^{m-n}\)
- उदाहरण: \(\left(\frac{4}{9} ight)^4 \div \left(\frac{4}{9} ight)^{-2} = \left(\frac{4}{9} ight)^{4 - (-2)} = \left(\frac{4}{9} ight)^{4+2} = \left(\frac{4}{9} ight)^6\)
- घात के रूप में व्यक्त करना:
- किसी दी गई परिमेय संख्या को घात के रूप में व्यक्त करने के लिए, अंश और हर दोनों को उनके अभाज्य गुणनखंडों में तोड़ें।
- फिर, देखें कि क्या उन्हें समान घात वाली संख्याओं के रूप में लिखा जा सकता है।
- उदाहरण: \(\frac{36}{49} = \frac{6 \times 6}{7 \times 7} = \frac{6^2}{7^2} = \left(\frac{6}{7} ight)^2\)
- यह भी संभव है कि \(\frac{36}{49} = \frac{(-6) \times (-6)}{7 \times 7} = \frac{(-6)^2}{7^2} = \left(-\frac{6}{7} ight)^2\)
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घातांक के सभी नियम (गुणा, भाग, घात का घात, शून्य घातांक, ऋणात्मक घातांक) पूर्णांकों और परिमेय संख्याओं दोनों पर समान रूप से लागू होते हैं।
जब किसी संख्या को घात के रूप में व्यक्त करना हो, तो हमेशा उसके अभाज्य गुणनखंडों पर विचार करें। यह आपको सही आधार और घातांक खोजने में मदद करेगा।
