प्रतिशतता

प्रतिशत क्या है?

• प्रतिशत का अर्थ है 'प्रति सौ' या 'प्रत्येक सौ पर'।
• यह एक विशेष प्रकार की भिन्न है जिसका हर हमेशा 100 होता है।
• इसे '%' चिह्न से दर्शाया जाता है। उदाहरण के लिए, 25% का अर्थ है 100 में से 25।

तुलना में प्रतिशत का महत्व

• विभिन्न राशियों की तुलना करने के लिए, उन्हें एक समान आधार पर लाना आवश्यक होता है।
• जब आधार समान न हो (जैसे अलग-अलग वर्षों के परीक्षा परिणाम में छात्रों की संख्या), तो सीधे संख्याओं की तुलना करना भ्रामक हो सकता है।
• प्रतिशत हमें सभी राशियों को 100 के समान आधार पर लाकर तुलना करने में मदद करता है।

उदाहरण: परीक्षा परिणाम की तुलना (NCERT Section 16.1)

| वर्ष | प्रविष्ट छात्र | उत्तीर्ण छात्र | 100 में से उत्तीर्ण छात्र (प्रतिशत) | |:----|:--------------|:---------------|:------------------------------------| | 2002 | 200 | 160 | \(\frac{160}{200} \times 100 = 80\%\) | | 2003 | 400 | 360 | \(\frac{360}{400} \times 100 = 90\%\) | | 2004 | 300 | 282 | \(\frac{282}{300} \times 100 = 94\%\) |

• इस तालिका से स्पष्ट है कि वर्ष 2004 का परीक्षाफल सबसे अच्छा रहा (94%)।
• यदि हम केवल उत्तीर्ण छात्रों की संख्या देखते (160, 360, 282), तो वर्ष 2003 का परिणाम सबसे अच्छा लगता, जो कि गलत होता।

प्रतिशत के उपयोग

• वित्तीय गणना (ब्याज दरें, छूट)
• सांख्यिकी (जनसंख्या वृद्धि, मतदान प्रतिशत)
• दैनिक जीवन (बिक्री पर छूट, पोषण संबंधी जानकारी)
• यह एक सार्वभौमिक भाषा है जो अनुपातों और तुलनाओं को आसानी से समझने में मदद करती है।

[IMAGE: cg_c7_maths_ch16_t1_scene3] प्रतिशत का जन्म 100 के आधार पर तुलना से हुआ है।

1. प्रतिशत को भिन्न में बदलना

• किसी भी प्रतिशत को भिन्न में बदलने के लिए, उस प्रतिशत संख्या को 100 से भाग दें।
• परिणामी भिन्न को उसके सबसे सरल रूप में लिखें।
• सूत्र: \(P\% = \frac{P}{100}\)

उदाहरण:

• 25% \(= \frac{25}{100} = \frac{1}{4}\)
• 50% \(= \frac{50}{100} = \frac{1}{2}\)
• 75% \(= \frac{75}{100} = \frac{3}{4}\)

2. प्रतिशत को अनुपात में बदलना

• सबसे पहले प्रतिशत को भिन्न में बदलें।
• फिर उस भिन्न को अनुपात के रूप में लिखें।
• सूत्र: \(P\% = \frac{P}{100} = P : 100\)

उदाहरण:

• 25% \(= \frac{25}{100} = 25 : 100 = 1 : 4\)
• 50% \(= \frac{50}{100} = 50 : 100 = 1 : 2\)
• 75% \(= \frac{75}{100} = 75 : 100 = 3 : 4\)

3. प्रतिशत को दशमलव में बदलना

• किसी भी प्रतिशत को दशमलव में बदलने के लिए, प्रतिशत संख्या को 100 से भाग दें।
• दशमलव बिंदु को दो स्थान बाईं ओर खिसकाएँ।
• सूत्र: \(P\% = \frac{P}{100}\)

उदाहरण:

• 25% \(= \frac{25}{100} = 0.25\)
• 50% \(= \frac{50}{100} = 0.50\)
• 75% \(= \frac{75}{100} = 0.75\)

[IMAGE: cg_c7_maths_ch16_t2_scene2] प्रतिशत को भिन्न में बदलना। [IMAGE: cg_c7_maths_ch16_t2_scene3] प्रतिशत को अनुपात में बदलना। [IMAGE: cg_c7_maths_ch16_t2_scene4] प्रतिशत को दशमलव में बदलना।

1. भिन्न को प्रतिशत में बदलना

• किसी भिन्न को प्रतिशत में बदलने के लिए, उस भिन्न को 100 से गुणा करें और परिणाम के आगे '%' चिह्न लगाएँ।
• सूत्र: \(\frac{a}{b} = \left(\frac{a}{b} \times 100\right)\%\)

उदाहरण:

• \(\frac{1}{4} = \left(\frac{1}{4} \times 100\right)\% = 25\%\)
• \(\frac{1}{2} = \left(\frac{1}{2} \times 100\right)\% = 50\%\)
• \(\frac{3}{4} = \left(\frac{3}{4} \times 100\right)\% = 75\%\)

2. अनुपात को प्रतिशत में बदलना

• सबसे पहले अनुपात को भिन्न के रूप में व्यक्त करें।
• फिर उस भिन्न को 100 से गुणा करके प्रतिशत में बदलें।
• सूत्र: \(a : b = \frac{a}{b} = \left(\frac{a}{b} \times 100\right)\%\)

उदाहरण:

• \(1 : 4 = \frac{1}{4} = \left(\frac{1}{4} \times 100\right)\% = 25\%\)
• \(1 : 2 = \frac{1}{2} = \left(\frac{1}{2} \times 100\right)\% = 50\%\)
• \(3 : 4 = \frac{3}{4} = \left(\frac{3}{4} \times 100\right)\% = 75\%\)

3. दशमलव को प्रतिशत में बदलना

• किसी दशमलव संख्या को प्रतिशत में बदलने के लिए, उस दशमलव संख्या को 100 से गुणा करें और परिणाम के आगे '%' चिह्न लगाएँ।
• दशमलव बिंदु को दो स्थान दाईं ओर खिसकाएँ।
• सूत्र: \(D = (D \times 100)\%\)

उदाहरण:

• \(0.25 = (0.25 \times 100)\% = 25\%\)
• \(0.50 = (0.50 \times 100)\% = 50\%\)
• \(0.75 = (0.75 \times 100)\% = 75\%\)

[IMAGE: cg_c7_maths_ch16_t3_scene1] एक ही मान, अलग-अलग रूप। [IMAGE: cg_c7_maths_ch16_t3_scene2] दशमलव से प्रतिशत में परिवर्तन। [IMAGE: cg_c7_maths_ch16_t3_scene3] भिन्न से प्रतिशत में परिवर्तन। [IMAGE: cg_c7_maths_ch16_t3_scene4] अनुपात से प्रतिशत में परिवर्तन।

प्रतिशत का चित्रांकन

• प्रतिशत को अक्सर चित्रों या आकृतियों के छायांकित और अछायांकित भागों के रूप में दर्शाया जाता है।
• यह किसी पूर्ण वस्तु के हिस्से को समझने का एक दृश्य तरीका प्रदान करता है।

उदाहरण:

• यदि एक वृत्त को दो बराबर भागों में बांटा गया है और एक भाग छायांकित है, तो छायांकित भाग \(\frac{1}{2}\) या 50% होगा। [IMAGE: cg_c7_maths_ch16_t4_scene3]
• यदि एक वृत्त को चार बराबर भागों में बांटा गया है और एक भाग छायांकित है, तो छायांकित भाग \(\frac{1}{4}\) या 25% होगा। [IMAGE: cg_c7_maths_ch16_t4_scene3]

भिन्न, दशमलव, अनुपात और प्रतिशत का पारस्परिक संबंध

• ये सभी एक ही मात्रा को व्यक्त करने के अलग-अलग रूप हैं।
• इन्हें एक-दूसरे में आसानी से बदला जा सकता है।

उदाहरण: कक्षा में अनुपस्थित विद्यार्थी (NCERT Section 16.8)

• कुल विद्यार्थी: 20
• अनुपस्थित विद्यार्थी: 4

| रूप | मान | गणना | |:----------|:--------------------------------------------|:--------------------------------------| | भिन्न | \(\frac{4}{20} = \frac{1}{5}\) | अनुपस्थित विद्यार्थी / कुल विद्यार्थी | | दशमलव | \(0.2\) | \(\frac{1}{5} = 0.2\) | | प्रतिशत | \(20\%\) | \(0.2 \times 100\% = 20\%\) | | अनुपात | \(4 : 20 = 1 : 5\) | अनुपस्थित विद्यार्थी : कुल विद्यार्थी |

• निष्कर्ष: \(\frac{4}{20}\), \(0.2\) और \(20\%\) समतुल्य राशियाँ हैं।

[IMAGE: cg_c7_maths_ch16_t4_scene2] भिन्न, दशमलव, अनुपात और प्रतिशत का संबंध। [IMAGE: cg_c7_maths_ch16_t4_scene1] दशमलव को प्रतिशत में बदलना।

1. क्रय मूल्य (Cost Price - CP)

• वह मूल्य जिस पर कोई वस्तु खरीदी जाती है।
• इसमें वस्तु को खरीदने के अलावा उस पर किए गए सभी अतिरिक्त खर्च (जैसे मरम्मत, ढुलाई, रंगाई) भी शामिल होते हैं। इसे लागत मूल्य भी कहते हैं।

2. विक्रय मूल्य (Selling Price - SP)

• वह मूल्य जिस पर कोई वस्तु बेची जाती है।

3. लाभ (Profit)

• परिभाषा: लाभ तब होता है जब विक्रय मूल्य क्रय मूल्य से अधिक होता है।
• सूत्र: \(लाभ = विक्रय \, मूल्य - क्रय \, मूल्य\)
• शर्त: \(विक्रय \, मूल्य > क्रय \, मूल्य\)

लाभ से संबंधित सूत्र:

• \(विक्रय \, मूल्य = क्रय \, मूल्य + लाभ\)
• \(क्रय \, मूल्य = विक्रय \, मूल्य - लाभ\)

4. हानि (Loss)

• परिभाषा: हानि तब होती है जब क्रय मूल्य विक्रय मूल्य से अधिक होता है।
• सूत्र: \(हानि = क्रय \, मूल्य - विक्रय \, मूल्य\)
• शर्त: \(क्रय \, मूल्य > विक्रय \, मूल्य\)

हानि से संबंधित सूत्र:

• \(विक्रय \, मूल्य = क्रय \, मूल्य - हानि\)
• \(क्रय \, मूल्य = विक्रय \, मूल्य + हानि\)

[IMAGE: cg_c7_maths_ch16_t5_scene1] लाभ क्या है? [IMAGE: cg_c7_maths_ch16_t5_scene2] हानि क्या है? [IMAGE: cg_c7_maths_ch16_t5_scene5] लागत मूल्य का महत्व।

1. लाभ प्रतिशत (Profit Percentage)

• यह दर्शाता है कि क्रय मूल्य के सापेक्ष कितना लाभ हुआ है।
• सूत्र: \(लाभ\% = \frac{लाभ}{क्रय \, मूल्य} \times 100\)
• हमेशा क्रय मूल्य (या लागत मूल्य) पर गणना की जाती है।

2. हानि प्रतिशत (Loss Percentage)

• यह दर्शाता है कि क्रय मूल्य के सापेक्ष कितनी हानि हुई है।
• सूत्र: \(हानि\% = \frac{हानि}{क्रय \, मूल्य} \times 100\)
• हमेशा क्रय मूल्य (या लागत मूल्य) पर गणना की जाती है।

क्रय या विक्रय मूल्य ज्ञात करना (जब लाभ/हानि प्रतिशत ज्ञात हो)

• विक्रय मूल्य (जब लाभ हो): \(विक्रय \, मूल्य = क्रय \, मूल्य \times \frac{(100 + लाभ\%)}{100}\)
• विक्रय मूल्य (जब हानि हो): \(विक्रय \, मूल्य = क्रय \, मूल्य \times \frac{(100 - हानि\%)}{100}\)
• क्रय मूल्य (जब लाभ हो): \(क्रय \, मूल्य = विक्रय \, मूल्य \times \frac{100}{(100 + लाभ\%)}\)
• क्रय मूल्य (जब हानि हो): \(क्रय \, मूल्य = विक्रय \, मूल्य \times \frac{100}{(100 - हानि\%)}\)

[IMAGE: cg_c7_maths_ch16_t6_scene3] लाभ प्रतिशत कैसे निकालें? [IMAGE: cg_c7_maths_ch16_t6_scene4] हानि प्रतिशत कैसे निकालें? [IMAGE: cg_c7_maths_ch16_t6_scene5] लागत मूल्य का महत्व। [IMAGE: cg_c7_maths_ch16_t6_scene6] क्रय या विक्रय मूल्य ज्ञात करना।

1. ब्याज (Interest)

• परिभाषा: ब्याज वह अतिरिक्त धन है जो उधार लिए गए या दिए गए पैसे के उपयोग के बदले चुकाया जाता है।
• यह उधार लेने वाले के लिए पैसे के उपयोग की कीमत है और उधार देने वाले के लिए निवेश पर मिलने वाला लाभ है।

2. मूलधन (Principal - P)

• वह प्रारंभिक राशि जो उधार ली जाती है या दी जाती है।

3. दर (Rate - R)

• वह प्रतिशत जिस पर मूलधन पर ब्याज की गणना की जाती है।
• यह आमतौर पर प्रतिवर्ष (per annum) के हिसाब से व्यक्त की जाती है (जैसे 5% प्रतिवर्ष)।

4. समय (Time - T)

• वह अवधि जिसके लिए धन उधार लिया या दिया जाता है।
• इसे वर्षों में व्यक्त किया जाता है। यदि महीने या दिन दिए हों, तो उन्हें वर्ष में बदलें।

5. मिश्रधन (Amount - A)

• वह कुल राशि जो मूलधन और ब्याज को जोड़कर प्राप्त होती है।
• सूत्र: \(मिश्रधन = मूलधन + ब्याज\)
• इससे हम ब्याज भी ज्ञात कर सकते हैं: \(ब्याज = मिश्रधन - मूलधन\)

साधारण ब्याज का सूत्र (Simple Interest - SI)

• साधारण ब्याज की गणना के लिए निम्नलिखित सूत्र का उपयोग किया जाता है:

\(SI = \frac{P \times R \times T}{100}\)

• \(P\) = मूलधन (Principal)
• \(R\) = दर (Rate of Interest, प्रतिशत में)
• \(T\) = समय (Time, वर्षों में)

[IMAGE: cg_c7_maths_ch16_t7_scene1] ब्याज क्या है? [IMAGE: cg_c7_maths_ch16_t7_scene2] मूलधन और मिश्रधन। [IMAGE: cg_c7_maths_ch16_t7_scene3] ब्याज दर। [IMAGE: cg_c7_maths_ch16_t7_scene4] साधारण ब्याज का सूत्र।

साधारण ब्याज के प्रश्नों में, चार मुख्य राशियाँ होती हैं: मूलधन (P), दर (R), समय (T) और साधारण ब्याज (SI)। यदि इनमें से कोई तीन राशियाँ ज्ञात हों, तो चौथी अज्ञात राशि को साधारण ब्याज के मूल सूत्र का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है।

मूल सूत्र से व्युत्पन्न सूत्र:

1. समय (T) ज्ञात करने का सूत्र

• यदि हमें साधारण ब्याज (SI), मूलधन (P) और दर (R) ज्ञात हो, तो समय (T) ज्ञात करने के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करें:

\(SI = \frac{P \times R \times T}{100}\) \(SI \times 100 = P \times R \times T\) \(T = \frac{SI \times 100}{P \times R}\)

2. दर (R) ज्ञात करने का सूत्र

• यदि हमें साधारण ब्याज (SI), मूलधन (P) और समय (T) ज्ञात हो, तो दर (R) ज्ञात करने के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करें:

\(SI = \frac{P \times R \times T}{100}\) \(SI \times 100 = P \times R \times T\) \(R = \frac{SI \times 100}{P \times T}\)

3. मूलधन (P) ज्ञात करने का सूत्र

• यदि हमें साधारण ब्याज (SI), दर (R) और समय (T) ज्ञात हो, तो मूलधन (P) ज्ञात करने के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करें:

\(SI = \frac{P \times R \times T}{100}\) \(SI \times 100 = P \times R \times T\) \(P = \frac{SI \times 100}{R \times T}\)

[IMAGE: cg_c7_maths_ch16_t8_scene1] अज्ञात राशियों की पहचान। [IMAGE: cg_c7_maths_ch16_t8_scene2] समय ज्ञात करने का सूत्र। [IMAGE: cg_c7_maths_ch16_t8_scene3] दर ज्ञात करने का सूत्र। [IMAGE: cg_c7_maths_ch16_t8_scene4] मूलधन ज्ञात करने का सूत्र।