बीजीय व्यंजकों पर संक्रियाएँ

बीजीय व्यंजक गणित की वह शाखा है जहाँ संख्याओं के साथ-साथ अक्षरों (जिन्हें चर कहते हैं) का भी उपयोग किया जाता है।

चर और अचर

• चर (Variable): ये वे प्रतीक होते हैं जिनका मान निश्चित नहीं होता, बल्कि बदल सकता है। इन्हें आमतौर पर अंग्रेजी वर्णमाला के छोटे अक्षरों जैसे \(x, y, z, p, q\) आदि से दर्शाया जाता है।
• उदाहरण: एक पेटी में खिलौनों की संख्या \(x\) है। यहाँ \(x\) का मान 5, 10, 15 कुछ भी हो सकता है।
• अचर (Constant): ये वे राशियाँ होती हैं जिनका मान निश्चित और स्थिर होता है, जो बदलता नहीं है।
• उदाहरण: 3, 5, -7, \(\frac{1}{2}\) आदि।

बीजीय व्यंजक का निर्माण

• बीजीय व्यंजक चरों, अचरों और गणितीय संक्रियाओं (जोड़, घटाव, गुणा, भाग) का एक संयोजन होता है।
• ये वास्तविक जीवन की समस्याओं को गणितीय रूप में व्यक्त करने में मदद करते हैं।
• उदाहरण:
• \(3x\) (3 और \(x\) का गुणनफल)
• \(x + y\) (\(x\) और \(y\) का योग)
• \(2x + 3y\) (\(2x\) और \(3y\) का योग)
• \(7P - 5\) (\(7P\) में से 5 घटाया गया)

पद और गुणांक

• पद (Term): व्यंजक के वे भाग जो जोड़ या घटाव के चिन्हों से अलग होते हैं, पद कहलाते हैं।
• उदाहरण: व्यंजक \(5x + 6y - 7\) में तीन पद हैं: \(5x\), \(6y\) और \(-7\)।
• गुणांक (Coefficient): किसी पद में चर के साथ गुणा होने वाला संख्यात्मक मान उसका गुणांक कहलाता है।
• उदाहरण: \(5x\) में \(x\) का गुणांक 5 है। \(-7y\) में \(y\) का गुणांक -7 है। यदि केवल \(x\) लिखा है, तो \(x\) का गुणांक 1 होता है।

सजातीय और विजातीय पद

• सजातीय पद (Like Terms): वे पद जिनमें चर भाग (चर और उनकी घातें) बिल्कुल समान होते हैं। केवल उनके संख्यात्मक गुणांक भिन्न हो सकते हैं।
• उदाहरण: \(5x\) और \(-2x\) सजातीय पद हैं (दोनों में चर \(x\) है)।
• \(3xy\) और \(7xy\) सजातीय पद हैं (दोनों में चर \(xy\) है)।
• \(4x^2\) और \(-9x^2\) सजातीय पद हैं (दोनों में चर \(x^2\) है)।
• विजातीय पद (Unlike Terms): वे पद जिनमें चर भाग या उनकी घातें भिन्न होती हैं।
• उदाहरण: \(5x\) और \(5y\) विजातीय पद हैं (चर भिन्न हैं)।
• \(5x\) और \(5x^2\) विजातीय पद हैं (चर की घातें भिन्न हैं)।
• \(3x\) और \(4xy\) विजातीय पद हैं (चर भाग भिन्न हैं)।

महत्वपूर्ण: केवल सजातीय पदों को ही जोड़ा या घटाया जा सकता है। विजातीय पदों को वैसे ही छोड़ दिया जाता है।

[IMAGE: cg_c7_maths_ch09_t1_scene1] [IMAGE: cg_c7_maths_ch09_t1_scene2] [IMAGE: cg_c7_maths_ch09_t1_scene3]

बीजीय व्यंजकों को जोड़ने या घटाने के लिए, हम केवल उनके सजातीय पदों पर संक्रिया करते हैं। विजातीय पद वैसे ही रहते हैं।

जोड़ने की विधियाँ

बीजीय व्यंजकों को जोड़ने की दो मुख्य विधियाँ हैं:

1. क्षैतिज विधि (Horizontal Method)

• सभी व्यंजकों को एक पंक्ति में लिखें।
• सजातीय पदों को एक साथ समूहित करें।
• सजातीय पदों के गुणांकों को जोड़ें।

उदाहरण: \((5x + 6y) + (3x + 2y)\)

1. व्यंजकों को एक पंक्ति में लिखें: \(5x + 6y + 3x + 2y\)
2. सजातीय पदों को समूहित करें: \((5x + 3x) + (6y + 2y)\)
3. गुणांकों को जोड़ें: \(8x + 8y\)

2. स्तंभ विधि (Column Method)

• व्यंजकों को एक के नीचे एक इस प्रकार लिखें कि सजातीय पद एक दूसरे के नीचे आ जाएँ।
• फिर उन्हें सामान्य जोड़ की तरह जोड़ें।

उदाहरण: \((5x + 6y) + (3x + 2y)\) ` 5x + 6y

• 3x + 2y

---------- 8x + 8y `

घटाने की विधियाँ

बीजीय व्यंजकों को घटाने के लिए, हम घटाए जाने वाले व्यंजक के प्रत्येक पद का चिन्ह बदल देते हैं (धनात्मक को ऋणात्मक और ऋणात्मक को धनात्मक) और फिर उन्हें जोड़ देते हैं।

1. क्षैतिज विधि (Horizontal Method)

• घटाए जाने वाले व्यंजक को कोष्ठक में लिखें और उसके सामने ऋण चिन्ह लगाएं।
• कोष्ठक खोलते समय, कोष्ठक के अंदर के सभी पदों के चिन्ह बदल दें।
• फिर सजातीय पदों को समूहित करें और जोड़ें।

उदाहरण: \((13xy - 8z) - (5z - 7xy)\)

1. व्यंजकों को लिखें: \(13xy - 8z - (5z - 7xy)\)
2. कोष्ठक खोलें और चिन्ह बदलें: \(13xy - 8z - 5z + 7xy\)
3. सजातीय पदों को समूहित करें: \((13xy + 7xy) + (-8z - 5z)\)
4. गुणांकों को जोड़ें: \(20xy - 13z\)

2. स्तंभ विधि (Column Method)

• व्यंजकों को एक के नीचे एक इस प्रकार लिखें कि सजातीय पद एक दूसरे के नीचे आ जाएँ।
• घटाए जाने वाले व्यंजक के प्रत्येक पद का चिन्ह बदलें।
• फिर उन्हें सामान्य जोड़ की तरह जोड़ें।

उदाहरण: \((13xy - 8z) - (5z - 7xy)\) ` 13xy - 8z

• (-7xy + 5z) <-- घटाए जाने वाले व्यंजक के चिन्ह बदलें

---------------- 13xy - 8z

• 7xy - 5z <-- चिन्ह बदलने के बाद

---------------- 20xy - 13z `

[IMAGE: cg_c7_maths_ch09_t2_scene3] [IMAGE: cg_c7_maths_ch09_t2_scene4]

बीजीय व्यंजकों का गुणनफल संख्याओं के गुणनफल के समान ही कुछ नियमों का पालन करता है।

गुणनफल के मूल सिद्धांत

• गुणांकों का गुणा: संख्यात्मक गुणांकों को आपस में गुणा किया जाता है।
• चरों का गुणा: चरों को आपस में गुणा किया जाता है।
• समान चरों की घातों का योग: यदि समान चर गुणा हो रहे हों, तो उनकी घातें जुड़ जाती हैं। (घात नियम: \(a^m \times a^n = a^{m+n}\))

उदाहरण:

• \(a \times b = ab\)
• \(3 \times x = 3x\)
• \(x \times x = x^2\) (यहाँ \(x^1 \times x^1 = x^{1+1} = x^2\))
• \(2a \times 5a = (2 \times 5) \times (a \times a) = 10a^2\)
• \(4x^2 \times 3x^3 = (4 \times 3) \times (x^2 \times x^3) = 12x^{2+3} = 12x^5\)

वास्तविक जीवन के उदाहरण

• खिलौनों की संख्या: यदि राधा के पास \(m\) पेटियाँ हैं और प्रत्येक पेटी में \(n\) खिलौने हैं, तो कुल खिलौनों की संख्या \(m \times n = mn\) होगी।
• यह दर्शाता है कि दो चरों का गुणनफल कैसे होता है।
• [IMAGE: cg_c7_maths_ch09_t3_scene1]
• आयत का क्षेत्रफल: यदि एक आयत की लंबाई \(x\) सेमी और चौड़ाई 3 सेमी है, तो उसका क्षेत्रफल \(x \times 3 = 3x\) वर्ग सेमी होगा।
• यह एक अचर और एक चर के गुणनफल को दर्शाता है।
• [IMAGE: cg_c7_maths_ch09_t3_scene2]

गुणनफल के सामान्य नियम

बीजीय व्यंजक भी संख्याओं की तरह कुछ मूलभूत नियमों का पालन करते हैं, जैसे:

• संवरक गुणधर्म (Closure Property): दो बीजीय व्यंजकों का गुणनफल भी एक बीजीय व्यंजक होता है।
• क्रम विनिमय गुणधर्म (Commutative Property): गुणनफल का क्रम बदलने से परिणाम नहीं बदलता। \(A \times B = B \times A\)
• साहचर्य गुणधर्म (Associative Property): तीन या अधिक व्यंजकों को गुणा करते समय, समूहन का क्रम परिणाम को प्रभावित नहीं करता। \((A \times B) \times C = A \times (B \times C)\)
• वितरण गुणधर्म (Distributive Property): एक व्यंजक को दो या अधिक व्यंजकों के योग/अंतर से गुणा करना। \(A \times (B + C) = AB + AC\)

इन नियमों को अगले अनुभागों में विस्तार से देखेंगे।

[IMAGE: cg_c7_maths_ch09_t3_scene3]

बीजीय व्यंजकों का गुणनफल करते समय, संख्याओं के गुणनफल के समान ही कुछ महत्वपूर्ण गुणधर्म लागू होते हैं।

1. क्रम विनिमय गुणधर्म (Commutative Property)

• यह गुणधर्म बताता है कि दो बीजीय व्यंजकों का गुणनफल उनके क्रम पर निर्भर नहीं करता है।
• अर्थात, यदि \(A\) और \(B\) कोई दो बीजीय व्यंजक हैं, तो:

\(A \times B = B \times A\)

• उदाहरण:
• \(3 \times x = x \times 3 = 3x\)
• \(5a \times 2b = 2b \times 5a = 10ab\)
• यह गुणधर्म तालिका में भी देखा जा सकता है जहाँ 'प्रथम व्यंजक \(\times\) द्वितीय व्यंजक' और 'द्वितीय व्यंजक \(\times\) प्रथम व्यंजक' का गुणनफल समान आता है।

[IMAGE: cg_c7_maths_ch09_t4_scene2]

2. साहचर्य गुणधर्म (Associative Property)

• यह गुणधर्म बताता है कि तीन या अधिक बीजीय व्यंजकों को गुणा करते समय, उनके समूहन का क्रम गुणनफल को प्रभावित नहीं करता है।
• अर्थात, यदि \(A, B\) और \(C\) कोई तीन बीजीय व्यंजक हैं, तो:

\((A \times B) \times C = A \times (B \times C)\)

• उदाहरण:
• \((2x \times 3y) \times 4z = (6xy) \times 4z = 24xyz\)
• \(2x \times (3y \times 4z) = 2x \times (12yz) = 24xyz\)
• दोनों स्थितियों में परिणाम समान है।

[IMAGE: cg_c7_maths_ch09_t4_scene3]

3. वितरण गुणधर्म (Distributive Property)

• यह गुणधर्म बताता है कि एक बीजीय व्यंजक को दो या दो से अधिक बीजीय व्यंजकों के योग या अंतर से गुणा करते समय, हम पहले व्यंजक को कोष्ठक के अंदर के प्रत्येक व्यंजक से अलग-अलग गुणा करके फिर उन्हें जोड़ या घटा सकते हैं।
• अर्थात, यदि \(A, B\) और \(C\) कोई बीजीय व्यंजक हैं, तो:
• \(A \times (B + C) = (A \times B) + (A \times C)\)
• \(A \times (B - C) = (A \times B) - (A \times C)\)
• उदाहरण:
• \(3(x + 4) = 3 \times x + 3 \times 4 = 3x + 12\)
• \(5(a - 2b) = 5 \times a - 5 \times 2b = 5a - 10b\)
• यह गुणधर्म बीजीय व्यंजकों के गुणनफल में बहुत महत्वपूर्ण है, विशेषकर जब एकपदी को बहुपदी से गुणा किया जाता है।

[IMAGE: cg_c7_maths_ch09_t4_scene4]

गुणनफल की प्रक्रिया

• एकपदी का एकपदी से गुणा: गुणांकों को गुणा करें और चरों को गुणा करें (समान चरों की घातें जोड़ें)।
• उदाहरण: \(4x \times 5y = (4 \times 5) \times (x \times y) = 20xy\)
• उदाहरण: \(-3a^2 \times 2a = (-3 \times 2) \times (a^2 \times a) = -6a^{2+1} = -6a^3\)

[IMAGE: cg_c7_maths_ch09_t4_scene1]

वितरण नियम बीजीय व्यंजकों के गुणनफल का एक महत्वपूर्ण आधार है, खासकर जब एकपदी को बहुपदी से या बहुपदी को बहुपदी से गुणा करना हो।

वितरण नियम का सामान्य रूप

वितरण नियम बताता है कि एक संख्या या व्यंजक को कोष्ठक में दिए गए दो या दो से अधिक पदों के योग या अंतर से गुणा कैसे किया जाता है।

• \(a(b + c) = ab + ac\)
• \((a + b)c = ac + bc\)

[IMAGE: cg_c7_maths_ch09_t5_scene1]

1. एकपदी का द्विपदी से गुणन

जब एक एकपदी व्यंजक को एक द्विपदी व्यंजक से गुणा किया जाता है, तो एकपदी व्यंजक को द्विपदी व्यंजक के प्रत्येक पद से अलग-अलग गुणा किया जाता है।

प्रक्रिया:

1. एकपदी को द्विपदी के पहले पद से गुणा करें।
2. एकपदी को द्विपदी के दूसरे पद से गुणा करें।
3. दोनों गुणनफलों को जोड़ें (या घटाएँ, यदि चिन्ह ऋणात्मक हो)।

उदाहरण: \(-5a \times (6b + 3c)\)

1. \(-5a\) को \(6b\) से गुणा करें: \((-5a) \times (6b) = -30ab\)
2. \(-5a\) को \(3c\) से गुणा करें: \((-5a) \times (3c) = -15ac\)
3. दोनों गुणनफलों को जोड़ें: \(-30ab - 15ac\)

उदाहरण: \(4b \times (7b - 3c)\)

1. \(4b\) को \(7b\) से गुणा करें: \(4b \times 7b = 28b^2\)
2. \(4b\) को \(-3c\) से गुणा करें: \(4b \times (-3c) = -12bc\)
3. दोनों गुणनफलों को जोड़ें: \(28b^2 - 12bc\)

[IMAGE: cg_c7_maths_ch09_t5_scene2] [IMAGE: cg_c7_maths_ch09_t5_scene3]

2. द्विपदी का द्विपदी से गुणन

जब एक द्विपदी को दूसरी द्विपदी से गुणा किया जाता है, तो पहली द्विपदी के प्रत्येक पद को दूसरी द्विपदी के प्रत्येक पद से गुणा किया जाता है। इसे अक्सर FOIL (First, Outer, Inner, Last) विधि से याद रखा जाता है, हालांकि यह केवल द्विपदी के लिए है।

प्रक्रिया:

1. पहली द्विपदी के पहले पद को दूसरी द्विपदी के दोनों पदों से गुणा करें।
2. पहली द्विपदी के दूसरे पद को दूसरी द्विपदी के दोनों पदों से गुणा करें।
3. सभी गुणनफलों को जोड़ें और सजातीय पदों को सरल करें।

उदाहरण: \((x + 2)(x + 3)\)

1. \(x\) को \((x + 3)\) से गुणा करें: \(x(x + 3) = x^2 + 3x\)
2. \(2\) को \((x + 3)\) से गुणा करें: \(2(x + 3) = 2x + 6\)
3. दोनों परिणामों को जोड़ें: \(x^2 + 3x + 2x + 6\)
4. सजातीय पदों को सरल करें: \(x^2 + 5x + 6\)

3. द्विपदी का त्रिपदी से गुणन

इसी प्रकार, यदि एक द्विपदी को एक त्रिपदी से गुणा करना हो, तो द्विपदी के प्रत्येक पद को त्रिपदी के प्रत्येक पद से गुणा किया जाता है।

उदाहरण: \((x + 1)(x^2 + 2x + 3)\)

1. \(x\) को \((x^2 + 2x + 3)\) से गुणा करें: \(x(x^2 + 2x + 3) = x^3 + 2x^2 + 3x\)
2. \(1\) को \((x^2 + 2x + 3)\) से गुणा करें: \(1(x^2 + 2x + 3) = x^2 + 2x + 3\)
3. दोनों परिणामों को जोड़ें: \(x^3 + 2x^2 + 3x + x^2 + 2x + 3\)
4. सजातीय पदों को सरल करें: \(x^3 + (2x^2 + x^2) + (3x + 2x) + 3 = x^3 + 3x^2 + 5x + 3\)

सारांश: गुणनफल की प्रक्रिया में हमेशा वितरण नियम का उपयोग होता है, चाहे वह एकपदी से बहुपदी का हो या बहुपदी से बहुपदी का।