Chhattisgarh · Class 6 · 🧮 Maths · Chapter 16
क्षेत्रमिति - 1 क्षेत्रफल
बंद और खुली आकृतियाँक्षेत्रफल की परिभाषाआयत का क्षेत्रफलवर्ग का क्षेत्रफलक्षेत्रफल की इकाई
यह अध्याय छात्रों को बंद और खुली आकृतियों की पहचान करना सिखाता है, और फिर क्षेत्रफल की अवधारणा का परिचय देता है। इसमें आयत और वर्ग के क्षेत्रफल की गणना के लिए सूत्र दिए गए हैं और उदाहरणों के साथ समझाया गया है कि कैसे 1 सेमी x 1 सेमी के वर्गों का उपयोग करके क्षेत्रफल ज्ञात किया जा सकता है। यह अध्याय दैनिक जीवन में क्षेत्रफल के महत्व को भी बताता है।
खुली और बंद आकृतियाँ
1.1 आकृतियों का वर्गीकरण
- हम अपने दैनिक जीवन में विभिन्न प्रकार की आकृतियाँ देखते हैं, जैसे खिड़की, दरवाजा, सड़क का किनारा, मैदान की बाड़ आदि।
- इन आकृतियों को उनकी बनावट के आधार पर दो मुख्य प्रकारों में बाँटा जा सकता है:
- खुली आकृतियाँ
- बंद आकृतियाँ
1.2 पहचान का नियम
- किसी आकृति को खुली या बंद पहचानने का मुख्य नियम यह है कि क्या उसका प्रारंभिक बिंदु और अंतिम बिंदु एक ही है।
- बंद आकृति:
- यदि किसी आकृति को किसी एक बिंदु से प्रारंभ करके, बिना पेंसिल उठाए और किसी भी हिस्से पर दुबारा चले बिना, उसी प्रारंभिक बिंदु पर वापस पहुँचा जा सके, तो वह एक बंद आकृति कहलाती है।
- बंद आकृति का कोई अंतिम बिंदु नहीं होता; उसका प्रारंभिक और अंतिम बिंदु एक ही होता है।
- इन आकृतियों का एक निश्चित 'अंदर' और 'बाहर' का क्षेत्र होता है।
- उदाहरण: त्रिभुज, वर्ग, आयत, वृत्त।
- खुली आकृति:
- यदि आकृति को बनाने के बाद प्रारंभिक बिंदु पर वापस नहीं आया जा सकता, तो वह एक खुली आकृति होती है।
- खुली आकृतियों में प्रारंभिक और अंतिम बिंदु अलग-अलग होते हैं।
- उदाहरण: अंग्रेजी अक्षर 'C', 'S', 'L' जैसी आकृतियाँ।
1.3 महत्व
- खुली और बंद आकृतियों का यह वर्गीकरण हमें ज्यामिति में आगे की अवधारणाओं, जैसे क्षेत्रफल और परिमाप, को समझने में मदद करता है। केवल बंद आकृतियों का ही निश्चित क्षेत्रफल और परिमाप होता है।
परिभाषा
खुली आकृति: वह आकृति जिसका प्रारंभिक और अंतिम बिंदु अलग-अलग होता है। बंद आकृति: वह आकृति जिसका प्रारंभिक और अंतिम बिंदु एक ही होता है।
याद रखें
केवल बंद आकृतियों का ही क्षेत्रफल ज्ञात किया जा सकता है।
क्षेत्रफल की अवधारणा
2.1 क्षेत्रफल क्या है?
- सभी बंद आकृतियों के अंदर कुछ जगह होती है।
- इन आकृतियों के बाहर स्थित किसी बिंदु से इनके अंदर स्थित किसी बिंदु तक आकृति की रेखा को काटे बिना नहीं जा सकते।
- बंद आकृतियों के अंदर की जगह ही उसका क्षेत्र है।
- कोई वस्तु या आकृति समतल पर जितनी जगह घेरती है, वह उसका क्षेत्रफल कहलाता है।
- जिस आकृति में ज्यादा जगह होती है, वह बड़ी होती है।
2.2 क्षेत्रफल का मात्रक
- क्षेत्रफल का मात्रक हमेशा वर्ग इकाई होता है।
- उदाहरण: वर्ग सेंटीमीटर (सेमी²), वर्ग मीटर (मी²), वर्ग किलोमीटर (किमी²)।
- यह दर्शाता है कि हम किसी क्षेत्र को 1 इकाई भुजा वाले वर्गों से ढक रहे हैं।
2.3 ग्राफ पेपर की सहायता से क्षेत्रफल ज्ञात करना
- अनियमित आकृतियों का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए ग्राफ पेपर एक उपयोगी उपकरण है।
- विधि:
- आकृति को ग्राफ पेपर पर रखें या उसकी रूपरेखा (outline) ट्रेस करें।
- आकृति के अंदर के पूरे वर्गों को गिनें।
- आकृति के अंदर के आधे वर्गों को गिनें।
- आकृति के अंदर के आधे से अधिक वर्गों को गिनें (इन्हें पूरा वर्ग मानें)।
- आकृति के अंदर के आधे से कम वर्गों को छोड़ दें।
- कुल क्षेत्रफल = (पूरे वर्गों की संख्या + आधे वर्गों की संख्या $\times$ 0.5 + आधे से अधिक वर्गों की संख्या) $\times$ 1 वर्ग इकाई।
- सरलीकृत विधि:
- पूरे वर्गों की संख्या = P
- आधे से अधिक वर्गों की संख्या = M
- आधे वर्गों की संख्या = H
- कुल क्षेत्रफल $\approx$ (P + M + H/2) वर्ग इकाई।
परिभाषा
क्षेत्रफल: किसी बंद आकृति द्वारा समतल पर घेरा गया स्थान।
महत्त्वपूर्ण
क्षेत्रफल को हमेशा वर्ग इकाई (जैसे वर्ग सेमी, वर्ग मी) में व्यक्त किया जाता है।
आयत का क्षेत्रफल
3.1 आयत की परिभाषा
- आयत एक चतुर्भुज है जिसकी:
- आमने-सामने की भुजाएँ बराबर और समांतर होती हैं।
- प्रत्येक कोण समकोण (90°) होता है।
3.2 आयत के क्षेत्रफल का सूत्र
- आयत का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए हम उसकी लंबाई और चौड़ाई को गुणा करते हैं।
- सूत्र: आयत का क्षेत्रफल = लंबाई $\times$ चौड़ाई
- चूँकि गुणा की संक्रिया क्रम विनिमय के नियम का पालन करती है, इसलिए इसे चौड़ाई $\times$ लंबाई भी लिख सकते हैं।
3.3 सूत्र की उपपत्ति (ग्रिड विधि)
- एक आयत जिसकी लंबाई 6 सेमी और चौड़ाई 3 सेमी है।
- इसे 1 सेमी $\times$ 1 सेमी के छोटे वर्गों में बाँटने पर:
- लंबाई के अनुदिश 6 वर्ग बनेंगे।
- चौड़ाई के अनुदिश 3 वर्ग बनेंगे।
- कुल वर्गों की संख्या = 6 $\times$ 3 = 18 वर्ग।
- चूँकि प्रत्येक 1 सेमी $\times$ 1 सेमी वर्ग का क्षेत्रफल 1 वर्ग सेमी होता है।
- अतः, आयत का कुल क्षेत्रफल = 18 $\times$ 1 वर्ग सेमी = 18 वर्ग सेमी।
- यह दर्शाता है कि आयत का क्षेत्रफल उसकी लंबाई और चौड़ाई के गुणनफल के बराबर होता है।
सूत्र
$$\text{आयत का क्षेत्रफल} = \text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई}$$
सुझाव
क्षेत्रफल ज्ञात करते समय, सुनिश्चित करें कि लंबाई और चौड़ाई की इकाइयाँ समान हों। यदि नहीं, तो उन्हें एक ही इकाई में परिवर्तित करें।
वर्ग का क्षेत्रफल
4.1 वर्ग की परिभाषा
- वर्ग एक विशेष प्रकार का आयत है।
- इसकी सभी भुजाएँ बराबर होती हैं।
- प्रत्येक कोण समकोण (90°) होता है।
- चूँकि लंबाई और चौड़ाई बराबर होती हैं, इसलिए वर्ग को 'समान भुजाओं वाला आयत' भी कह सकते हैं।
4.2 वर्ग के क्षेत्रफल का सूत्र
- चूँकि वर्ग की सभी भुजाएँ बराबर होती हैं, तो उसकी लंबाई और चौड़ाई भी बराबर होती है।
- यदि वर्ग की एक भुजा को 'भुजा' मान लें, तो:
- लंबाई = भुजा
- चौड़ाई = भुजा
- आयत के क्षेत्रफल के सूत्र (लंबाई $\times$ चौड़ाई) का उपयोग करने पर:
- वर्ग का क्षेत्रफल = भुजा $\times$ भुजा
- इसे (भुजा)² भी लिखा जा सकता है।
4.3 सूत्र की उपपत्ति (ग्रिड विधि)
- एक वर्ग जिसकी भुजा 4 सेमी है।
- इसे 1 सेमी $\times$ 1 सेमी के छोटे वर्गों में बाँटने पर:
- लंबाई के अनुदिश 4 वर्ग बनेंगे।
- चौड़ाई के अनुदिश 4 वर्ग बनेंगे।
- कुल वर्गों की संख्या = 4 $\times$ 4 = 16 वर्ग।
- चूँकि प्रत्येक 1 सेमी $\times$ 1 सेमी वर्ग का क्षेत्रफल 1 वर्ग सेमी होता है।
- अतः, वर्ग का कुल क्षेत्रफल = 16 $\times$ 1 वर्ग सेमी = 16 वर्ग सेमी।
- यह दर्शाता है कि वर्ग का क्षेत्रफल उसकी भुजा के वर्ग के बराबर होता है।
सूत्र
$$\text{वर्ग का क्षेत्रफल} = \text{भुजा} \times \text{भुजा} = (\text{भुजा})^2$$
ग़लत धारणा
छात्र अक्सर क्षेत्रफल और परिमाप के सूत्रों को भ्रमित करते हैं। याद रखें, क्षेत्रफल वर्ग इकाई में होता है और परिमाप केवल इकाई में।
