चर और स्थिरांक से मिलकर बना व्यंजक क्या कहलाता है?

अंकगणितीय व्यंजक

अभिकथन (A): '3x + 8y + 7' एक बीजीय व्यंजक है। कारण (R): बीजीय व्यंजक चर और स्थिरांक से मिलकर बनते हैं।

A and R both correct, R explains A

क्या यह बीजीय व्यंजक क्विज़ मुफ्त है?

हाँ, छत्तीसगढ़ बोर्ड कक्षा 6 गणित के अध्याय 12 'बीजीय व्यंजक' पर यह क्विज़ पूरी तरह से मुफ्त है और इसके लिए किसी साइन-अप की आवश्यकता नहीं है।

इस क्विज़ में कितने प्रश्न हैं?

इस क्विज़ में कुल 40 प्रश्न हैं जो आसान, मध्यम और कठिन श्रेणियों में विभाजित हैं।

क्या यह क्विज़ NCERT पाठ्यक्रम के अनुरूप है?

हाँ, यह क्विज़ छत्तीसगढ़ SCERT (जो NCERT पर आधारित है) कक्षा 6 गणित के पाठ्यक्रम और 'बीजीय व्यंजक' अध्याय पर आधारित है।

मैं इस क्विज़ से क्या सीख सकता हूँ?

यह क्विज़ आपको चर, अचर, बीजीय व्यंजक, पद, गुणांक, और सजातीय व विजातीय पदों की पहचान और समझ में मदद करेगा।

क्या मैं इस क्विज़ को ऑफ़लाइन उपयोग कर सकता हूँ?

वर्तमान में, यह क्विज़ केवल ऑनलाइन उपलब्ध है। इसे एक्सेस करने के लिए आपको इंटरनेट कनेक्शन की आवश्यकता होगी।

Home › Chhattisgarh › Class 6 › Maths › बीजीय व्यंजक

Chhattisgarh · Class 6 · 🧮 Maths · Chapter 12

बीजीय व्यंजक

चर और अचरबीजीय व्यंजकपदगुणांकसजातीय और विजातीय पद

यह अध्याय बीजीय व्यंजकों की मूल अवधारणाओं का परिचय देता है। छात्र चर राशियों (जैसे x, y), स्थिर राशियों (जैसे 3, 5), और इन दोनों के संयोजन से बनने वाले व्यंजकों को सीखते हैं। इसमें पदों की पहचान करना, गुणांकों को समझना, और सजातीय व विजातीय पदों के बीच अंतर करना शामिल है। यह बीजगणित की नींव रखता है, जो गणित की आगे की पढ़ाई के लिए महत्वपूर्ण है।

बीजीय व्यंजक: आधारभूत अवधारणाएँ

बीजीय व्यंजक गणितीय कथन होते हैं जिनमें चर (variables), स्थिरांक (constants) और गणितीय संक्रियाएँ (जैसे जोड़ना, घटाना, गुणा करना, भाग देना) शामिल होती हैं। ये अज्ञात मानों को दर्शाने और उनके साथ गणना करने में हमारी मदद करते हैं।

चर (Variables):
ये वे राशियाँ हैं जिनका मान निश्चित नहीं होता, बल्कि बदल सकता है या अज्ञात होता है।
इन्हें आमतौर पर अंग्रेजी वर्णमाला के अक्षरों जैसे x, y, z, a, b, c आदि से दर्शाया जाता है।
उदाहरण: y (रजिया की उम्र), x (नेहा के प्राप्तांक), y (आयत की चौड़ाई)।

स्थिरांक (Constants):
ये वे संख्याएँ होती हैं जिनका मान निश्चित होता है और कभी नहीं बदलता।
उदाहरण: 5, 3, 4, -5, 10, -3।

बीजीय व्यंजक का निर्माण:
चर और स्थिरांक जब +, -, × अथवा ÷ चिह्न से जुड़ते हैं, तो वे बीजीय व्यंजक बनाते हैं।
उदाहरण: y - 5, y + 3, x - 3, y + 4, 2x + 3y - 5।

दैनिक जीवन में उपयोग:
अज्ञात राशियों को व्यक्त करने के लिए।
समस्याओं को गणितीय रूप में ढालने के लिए।
उदाहरण: यदि रजिया की वर्तमान उम्र y वर्ष है, तो:
5 वर्ष पूर्व उसकी उम्र: y - 5 वर्ष।
3 वर्ष बाद उसकी उम्र: y + 3 वर्ष।

महत्वपूर्ण बिंदु:
बीजीय व्यंजक हमें जटिल स्थितियों को सरल गणितीय कथनों में बदलने की क्षमता देते हैं।
ये गणितीय समस्याओं को व्यवस्थित और तार्किक तरीके से हल करने का एक शक्तिशाली उपकरण हैं।

[IMAGE: cg_c6_maths_ch12_chapter_hero] [IMAGE: cg_c6_maths_ch12_t1_scene1] [IMAGE: cg_c6_maths_ch12_t1_scene2]

📖परिभाषा

बीजीय व्यंजक: चर और स्थिरांक के गणितीय संक्रियाओं (जोड़, घटाव, गुणा, भाग) द्वारा बने संयोजन को बीजीय व्यंजक कहते हैं।

⭐याद रखें

संख्याओं के स्थान पर प्रयोग किए जाने वाले अक्षर चर राशि कहलाते हैं। इन्हें बीजीय राशियाँ भी कहते हैं।

बीजीय व्यंजकों का निर्माण और शब्दों को गणितीय रूप में बदलना

गणितीय समस्याओं को बीजीय व्यंजकों में व्यक्त करने के लिए, हमें कुछ मुख्य शब्दों को पहचानना होगा जो विभिन्न गणितीय संक्रियाओं को दर्शाते हैं।

शब्दों को गणितीय संक्रियाओं में बदलना:
गुणा (×): 'गुणा', 'गुना', 'का', 'दोहरा', 'तिहरा', 'उत्पाद' (Product)।
उदाहरण: 'किसी संख्या का तीन गुणा' $\rightarrow 3x$
जोड़ (+): 'अधिक', 'जोड़ा जाए', 'योग', 'कुल', 'बढ़ाया गया' (Increased by)।
उदाहरण: 'किसी संख्या से 6 अधिक' $\rightarrow x + 6$
घटाव (-): 'कम', 'घटाया जाए', 'अंतर', 'घटाया गया' (Decreased by)।
उदाहरण: 'किसी संख्या से 17 कम' $\rightarrow x - 17$
भाग (÷): 'भाग', 'आधा', 'तिहाई', 'चौथाई', 'अनुपात' (Ratio)।
उदाहरण: 'किसी संख्या का 5 वां भाग' $\rightarrow \frac{x}{5}$

विभिन्न समस्याओं को व्यक्त करना:
किसी संख्या के दुगुना से 12 अधिक: यदि संख्या x है, तो 2x + 12।
किसी संख्या के सात गुणे से 3 कम: यदि संख्या x है, तो 7x - 3।
किसी संख्या के चार गुणे का तीसरा भाग: यदि संख्या x है, तो \frac{4x}{3}।
किसी संख्या में उसी संख्या का 7 गुणा जोड़ा जाए: यदि संख्या x है, तो x + 7x।
किसी संख्या के 5 गुणे से उसी संख्या का 6 गुणा घटाया जाए: यदि संख्या x है, तो 5x - 6x।
दूध के भरे डिब्बे से 5 लीटर दूध निकाल लिया तो कितने लीटर दूध बचा?: यदि डिब्बे में L लीटर दूध था, तो L - 5 लीटर।

[IMAGE: cg_c6_maths_ch12_t2_scene1] [IMAGE: cg_c6_maths_ch12_t2_scene2] [IMAGE: cg_c6_maths_ch12_t2_scene3] [IMAGE: cg_c6_maths_ch12_t2_scene4]

💡सुझाव

शब्दों को गणितीय संक्रियाओं में बदलते समय क्रम और अर्थ पर ध्यान दें। 'से कम' या 'से अधिक' जैसे वाक्यांशों में संक्रिया का क्रम महत्वपूर्ण होता है।

पद, चर और स्थिरांक की पहचान

बीजीय व्यंजक में पदों की पहचान करना और उनमें चर तथा स्थिरांक को अलग-अलग छाँटना महत्वपूर्ण है।

पद (Terms):
बीजीय व्यंजक में पद वे भाग होते हैं जो जोड़ (+) या घटाव (-) के चिह्न द्वारा एक दूसरे से अलग होते हैं।
प्रत्येक पद एक चर, एक स्थिरांक, या चर और स्थिरांक का गुणनफल हो सकता है।
पदों की संख्या: किसी बीजीय व्यंजक में अलग-अलग चर एवं स्थिरांक के बीच जितने बार + अथवा - चिह्न का उपयोग होता है, बीजीय व्यंजक में पदों की संख्या उससे 1 अधिक होगी।
उदाहरण: z (1 पद), 33x (1 पद), x + 5 (2 पद), y - 8 (2 पद), 3x + 2y (2 पद), 2xy - 3 (2 पद), 7 - 3x (2 पद), y - x (2 पद)।
3 + y - 7p में 3 पद हैं।
2x + 3xy + z में 3 पद हैं।
9 + 3a - 3x + b में 4 पद हैं।

चर (Variables) और स्थिरांक (Constants) को छाँटना:
चर: वे प्रतीक जिनका मान बदल सकता है (जैसे x, y, z, a, b)।
स्थिरांक: वे संख्याएँ जिनका मान निश्चित होता है (जैसे 5, 10, -3, 7)।

उदाहरण: व्यंजक 3x + 8y + 7 में:
चर: x और y।
स्थिरांक: 7।

[IMAGE: cg_c6_maths_ch12_t3_scene1] [IMAGE: cg_c6_maths_ch12_t3_scene2] [IMAGE: cg_c6_maths_ch12_t3_scene3]

🚧ग़लत धारणा

अक्सर छात्र x को एक पद मानते हैं, लेकिन x वास्तव में 1x है, जहाँ 1 गुणांक है। इसी प्रकार, y - 8 में -8 एक स्थिरांक पद है।

गुणांक और स्थिरांक में अंतर

गुणांक और स्थिरांक दोनों संख्यात्मक मान होते हैं, लेकिन उनका कार्य अलग-अलग होता है।

गुणांक (Coefficient):
यह वह संख्यात्मक मान है जो किसी चर के साथ गुणा होता है।
यह चर की मात्रा को दर्शाता है।
उदाहरण: 3x में 3 गुणांक है x का। 8y में 8 गुणांक है y का। 9ab में 9 गुणांक है ab का।
यदि किसी चर के साथ कोई संख्या नहीं दिखती है (जैसे x), तो उसका गुणांक 1 माना जाता है।

स्थिरांक (Constant):
यह वह संख्या है जो किसी भी चर से जुड़ी नहीं होती और उसका मान निश्चित होता है।
यह व्यंजक में एक निश्चित मान जोड़ता या घटाता है।
उदाहरण: 3x + 8y + 7 में 7 स्थिरांक है।

अंतर का सारांश:
गुणांक चर के साथ होता है, जबकि स्थिरांक अकेला होता है।
गुणांक चर के मान को प्रभावित करता है, जबकि स्थिरांक व्यंजक में एक निश्चित आधार मान जोड़ता है।

[IMAGE: cg_c6_maths_ch12_t4_scene3]

❗महत्त्वपूर्ण

किसी भी पद में, चर के साथ गुणा होने वाली संख्यात्मक मान को उसका गुणांक कहते हैं। यदि कोई संख्या नहीं दिखती, तो गुणांक 1 होता है।

सजातीय और विजातीय पद

बीजीय व्यंजकों के सरलीकरण और समीकरणों को हल करने के लिए सजातीय और विजातीय पदों की पहचान करना एक महत्वपूर्ण कौशल है।

चरांकों की पहचान:
किसी पद में चरांक वह भाग होता है जो अक्षरों (जैसे x, y, z, py, xyz) से मिलकर बना होता है।
उदाहरण: 8x में x चरांक है। 9py में py चरांक है।

सजातीय पद (Like Terms):
ऐसे पद जिनमें चरांक या बीजांक वाला भाग (अक्षर और उनकी घात) समान होता है, सजातीय पद कहलाते हैं।
इन पदों में गुणांक (संख्यात्मक भाग) अलग-अलग हो सकते हैं।
केवल सजातीय पदों को ही जोड़ा या घटाया जा सकता है।
उदाहरण:
5x और 12x (चरांक x समान है)
3xy और -7xy (चरांक xy समान है)
8x और 32x
9py और -3py
xyz और 3xyz
yz और -2yz और -5yz

विजातीय पद (Unlike Terms):
ऐसे पद जिनमें चरांक या बीजांक वाला भाग समान नहीं होता, विजातीय पद कहलाते हैं।
विजातीय पदों को जोड़ा या घटाया नहीं जा सकता।
उदाहरण:
5x और 3y (चरांक x और y अलग-अलग हैं)
2x और 3xy (चरांक x और xy अलग-अलग हैं)
7m और 4v (गणित की किताबें और विज्ञान की किताबें)

पहचान और अनुप्रयोग:
जोड़/घटाव: 5x + 3x = 8x (सजातीय पद)
जोड़/घटाव नहीं: 5x + 3y को सरल नहीं किया जा सकता (विजातीय पद)

[IMAGE: cg_c6_maths_ch12_t5_scene1] [IMAGE: cg_c6_maths_ch12_t5_scene2] [IMAGE: cg_c6_maths_ch12_t5_scene3]

📖परिभाषा

सजातीय पद: ऐसे पद जिनमें चर भाग (अक्षर और उनकी घात) समान होता है। गुणांक अलग हो सकते हैं।

📖परिभाषा

विजातीय पद: ऐसे पद जिनमें चर भाग (अक्षर और उनकी घात) समान नहीं होता।

Easy (15)

एक अज्ञात मान वाली राशि को क्या कहते हैं?
- स्थिरांक
- चर (correct)
- गुणांक
- पद
Why: अज्ञात मान वाली राशि को चर कहते हैं।
एक निश्चित मान वाली राशि को क्या कहते हैं?
- चर
- स्थिरांक (correct)
- व्यंजक
- पद
Why: एक निश्चित मान वाली राशि को स्थिरांक कहते हैं।
चर और स्थिरांक से मिलकर बना व्यंजक क्या कहलाता है?
- अंकगणितीय व्यंजक
- बीजीय व्यंजक (correct)
- समीकरण
- सूत्र
Why: चर और स्थिरांक से बना व्यंजक बीजीय व्यंजक कहलाता है।
व्यंजक 'x + 5' में 'x' क्या है?
- स्थिरांक
- गुणांक
- चर (correct)
- पद
Why: 'x' एक चर है क्योंकि इसका मान बदल सकता है।
व्यंजक '3y' में '3' क्या है?
- चर
- स्थिरांक
- गुणांक (correct)
- पद
Why: '3' चर 'y' का गुणांक है।
व्यंजक '2x + 3' में कितने पद हैं?
- एक
- दो (correct)
- तीन
- चार
Why: व्यंजक '2x + 3' में दो पद हैं: 2x और 3।
निम्नलिखित में से कौन एकपदीय व्यंजक है?
- x + y
- 3x - 2
- 5ab (correct)
- a + b + c
Why: 5ab में केवल एक पद है, इसलिए यह एक एकपदीय व्यंजक है।
निम्नलिखित में से कौन द्विपदीय व्यंजक है?
- 7xy
- a - 30 (correct)
- x + y + z
- 12
Why: a - 30 में दो पद हैं, इसलिए यह एक द्विपदीय व्यंजक है।
बीजीय व्यंजक में चर का मान हमेशा स्थिर रहता है।
Why: चर का मान बदलता रहता है, स्थिर नहीं रहता।
5x और 7x सजातीय पद हैं।
Why: दोनों पदों में चर भाग 'x' समान है, इसलिए वे सजातीय पद हैं।
3y और 3z सजातीय पद हैं।
Why: दोनों पदों में चर भाग 'y' और 'z' अलग-अलग हैं, इसलिए वे विजातीय पद हैं।
किसी संख्या के तीन गुने को बीजीय व्यंजक के रूप में ______ लिखा जा सकता है।
Why: किसी संख्या (x) का तीन गुना 3x होता है।
किसी संख्या से 6 अधिक को बीजीय व्यंजक के रूप में ______ लिखा जा सकता है।
Why: किसी संख्या (x) से 6 अधिक को x + 6 लिखा जाता है।
किसी संख्या से 17 कम को बीजीय व्यंजक के रूप में ______ लिखा जा सकता है।
Why: किसी संख्या (x) से 17 कम को x - 17 लिखा जाता है।
किसी संख्या के 5वें भाग को बीजीय व्यंजक के रूप में ______ लिखा जा सकता है।
Why: किसी संख्या (x) का 5वां भाग x/5 होता है।

Medium (15)

यदि राधा के प्राप्तांक नेहा के प्राप्तांक से 3 कम हैं और नेहा के प्राप्तांक 'x' हैं, तो राधा के प्राप्तांक को कैसे व्यक्त करेंगे?
- x + 3
- 3 - x
- x - 3 (correct)
- 3x
Why: नेहा के प्राप्तांक से 3 कम का मतलब x - 3 है।
यदि एक आयत की चौड़ाई 'y' इकाई है और लम्बाई चौड़ाई से 4 इकाई अधिक है, तो आयत की लम्बाई क्या होगी?
- 4y
- y - 4
- y + 4 (correct)
- y / 4
Why: चौड़ाई 'y' से 4 अधिक का मतलब y + 4 है।
व्यंजक '7 - 3x' में स्थिरांक क्या है?
- 7 (correct)
- 3
- x
- -3
Why: 7 एक निश्चित मान है, इसलिए यह स्थिरांक है।
व्यंजक '2xy - 3' में 'xy' का गुणांक क्या है?
- x
- y
- 2 (correct)
- -3
Why: चर भाग 'xy' के साथ गुणा होने वाला अंक '2' है।
निम्नलिखित में से कौन '8x' का सजातीय पद है?
- 8y
- x (correct)
- 8
- xy
Why: सजातीय पद में चर भाग समान होता है, 'x' में भी चर भाग 'x' है।
सही मिलान कीजिए:
Why: प्रत्येक पद को उसकी सही परिभाषा से मिलाया गया है।
निम्नलिखित को उनके प्रकार से मिलाएँ:
Why: व्यंजकों को उनके पदों की संख्या के आधार पर वर्गीकृत किया गया है।
सजातीय पदों के उदाहरणों को उनके समूह से मिलाएँ:
Why: सजातीय पदों में चर भाग समान होता है।
व्यंजक '9ab' में 'ab' का गुणांक क्या है?
Why: गुणांक चर के साथ गुणा होने वाला संख्यात्मक मान है।
व्यंजक 'y - x' में कितने पद हैं?
Why: व्यंजक 'y - x' में 'y' और '-x' दो पद हैं।
एक आयताकार मैदान की लम्बाई 'x' और चौड़ाई 'y' है। मैदान के चारों ओर एक चक्कर लगाने में तय की गई दूरी का सही क्रम क्या होगा?
Why: मैदान के चारों ओर एक चक्कर लगाने में उसकी परिधि के बराबर दूरी तय की जाती है।
निम्नलिखित चरणों को सही क्रम में व्यवस्थित करें ताकि 'किसी संख्या के दुगुने से 12 अधिक' का बीजीय व्यंजक प्राप्त हो सके।
Why: पहले संख्या को चर मानें, फिर दुगुना करें, और अंत में 12 जोड़ें।
दिए गए आयत के लिए, यदि लम्बाई 'x' और चौड़ाई 'y' है, तो इसका परिमाप क्या होगा?
- xy
- x + y
- 2(x + y) (correct)
- x² + y²
Why: आयत का परिमाप 2(लम्बाई + चौड़ाई) होता है।
दिए गए चित्र में, यदि एक वर्ग की भुजा 's' है, तो उसका क्षेत्रफल क्या होगा?
- 4s
- s + s
- s² (correct)
- 2s
Why: वर्ग का क्षेत्रफल भुजा × भुजा होता है।
दिए गए त्रिभुज में, यदि आधार 'b' और ऊँचाई 'h' है, तो इसका क्षेत्रफल क्या होगा?
- b + h
- bh
- ½ bh (correct)
- 2bh
Why: त्रिभुज का क्षेत्रफल ½ × आधार × ऊँचाई होता है।

Hard (10)

यदि किसी संख्या के सात गुने से 3 कम को बीजीय व्यंजक के रूप में लिखा जाए, और संख्या का मान 5 हो, तो व्यंजक का मान क्या होगा?
Why: संख्या के सात गुने से 3 कम का व्यंजक 7x - 3 है। x=5 रखने पर 7*5 - 3 = 35 - 3 = 32।
यदि किसी संख्या के चार गुने का तीसरा भाग को बीजीय व्यंजक के रूप में लिखा जाए, और संख्या का मान 9 हो, तो व्यंजक का मान क्या होगा?
Why: संख्या के चार गुने का तीसरा भाग का व्यंजक 4x/3 है। x=9 रखने पर 4*9/3 = 36/3 = 12।
यदि किसी संख्या में उसी संख्या का 7 गुणा जोड़ा जाए, और संख्या का मान 2 हो, तो परिणाम क्या होगा?
Why: व्यंजक x + 7x = 8x है। x=2 रखने पर 8*2 = 16।
दूध के भरे डिब्बे से 5 लीटर दूध निकाल लिया गया। यदि डिब्बे में पहले 'L' लीटर दूध था, और अब 10 लीटर दूध बचा है, तो डिब्बे में पहले कितना दूध था?
Why: व्यंजक L - 5 = 10 है, तो L = 10 + 5 = 15।
अभिकथन (A): '3x + 8y + 7' एक बीजीय व्यंजक है। कारण (R): बीजीय व्यंजक चर और स्थिरांक से मिलकर बनते हैं।
Why: अभिकथन और कारण दोनों सही हैं, और कारण अभिकथन की सही व्याख्या करता है।
अभिकथन (A): '5xy' और '7x' सजातीय पद हैं। कारण (R): सजातीय पदों में चर भाग समान होता है।
Why: अभिकथन गलत है क्योंकि '5xy' और '7x' के चर भाग अलग-अलग हैं, जबकि कारण सही है।
एक दुकानदार 'p' रुपये प्रति पेन और 'q' रुपये प्रति पेंसिल बेचता है। यदि एक ग्राहक 5 पेन और 3 पेंसिल खरीदता है, तो कुल लागत को दर्शाने वाला बीजीय व्यंजक क्या होगा?
- p + q
- 5p + 3q (correct)
- 3p + 5q
- 8pq
Why: 5 पेन की लागत 5p और 3 पेंसिल की लागत 3q होगी, कुल लागत 5p + 3q।
एक बस 'v' किमी/घंटा की गति से चल रही है। यदि यह 't' घंटे तक चलती है, और फिर 10 किमी और यात्रा करती है, तो बस द्वारा तय की गई कुल दूरी को दर्शाने वाला व्यंजक क्या होगा?
- v + t + 10
- vt + 10 (correct)
- v / t + 10
- 10vt
Why: दूरी = गति × समय, इसलिए vt + 10 किमी।
दिए गए चित्र में, यदि एक वृत्त की त्रिज्या 'r' है, तो उसका परिमाप (परिधि) क्या होगा?
- πr²
- 2πr (correct)
- πd
- r²
Why: वृत्त की परिधि का सूत्र 2πr होता है।
दिए गए चित्र में, एक घनाभ की लम्बाई 'l', चौड़ाई 'b' और ऊँचाई 'h' है। इसका आयतन क्या होगा?
- 2(lb + bh + hl)
- l + b + h
- lbh (correct)
- l² + b² + h²
Why: घनाभ का आयतन लम्बाई × चौड़ाई × ऊँचाई होता है।