बहुपद

बहुपद एक ऐसा बीजीय व्यंजक है जिसमें चर की घात पूर्ण संख्या होती है।

• बहुपदों का जोड़ना:
• समान घात वाले पदों को एक साथ रखा जाता है।
• उनके गुणांकों को जोड़ा जाता है।
• उदाहरण: \((2x+3) + (x+4) = (2x+x) + (3+4) = 3x+7\)

• बहुपदों का घटाना:
• समान घात वाले पदों को एक साथ रखा जाता है।
• घटाए जाने वाले बहुपद के सभी पदों के चिह्न बदल दिए जाते हैं।
• उदाहरण: \((2x^2+3x+5) - (x^2+x-2) = 2x^2+3x+5-x^2-x+2 = (2x^2-x^2) + (3x-x) + (5+2) = x^2+2x+7\)

• बहुपदों का गुणा करना:
• प्रत्येक पद को दूसरे बहुपद के प्रत्येक पद से गुणा किया जाता है।
• गुणा करते समय चरों की घातें जुड़ जाती हैं।
• उदाहरण: \((x+5)(x-7) = x(x-7) + 5(x-7) = x^2-7x+5x-35 = x^2-2x-35\)

बहुपदों का भाग भी अंकगणित के भाग के समान ही होता है, लेकिन इसमें चर और उनकी घातों का विशेष ध्यान रखना होता है।

• भाग की आवश्यकता:
• जब किसी राशि को बराबर भागों में बांटना हो।
• जब किसी क्षेत्रफल या आयतन से संबंधित अज्ञात विमा ज्ञात करनी हो।
• उदाहरण:
• कार की चाल = \(\frac{\text{दूरी}}{\text{समय}} = \frac{x}{4}\) किमी/घंटे।
• आयत की चौड़ाई = \(\frac{\text{क्षेत्रफल}}{\text{लंबाई}} = \frac{40x^2}{10x} = 4x\) मीटर।

• एकपदीय बहुपद से भाग:
• जब भाजक एकपदीय होता है, तो भाज्य के प्रत्येक पद को भाजक से अलग-अलग भाग दिया जा सकता है।
• उदाहरण: \(\frac{18x^2+9x}{3x} = \frac{18x^2}{3x} + \frac{9x}{3x} = 6x+3\)
• उदाहरण: \(\frac{4x^4+12x^3+8x^2}{4x^2} = \frac{4x^4}{4x^2} + \frac{12x^3}{4x^2} + \frac{8x^2}{4x^2} = x^2+3x+2\)

• गुणनखण्डन विधि से भाग (जब संभव हो):
• यदि भाज्य और भाजक में कोई समान गुणनखण्ड हो, तो उसे उभयनिष्ठ निकालकर रद्द किया जा सकता है।
• उदाहरण: \(\frac{18x^2+9x}{3x} = \frac{9x(2x+1)}{3x} = 3(2x+1) = 6x+3\)

• दीर्घ भाजन विधि की आवश्यकता:
• जब भाज्य और भाजक में कोई स्पष्ट समान गुणनखण्ड न हो, तो दीर्घ भाजन विधि का उपयोग किया जाता है।
• यह विधि अंकगणित के भाग के समान ही होती है।

बहुपदों के भाग के लिए दीर्घ भाजन विधि एक व्यवस्थित प्रक्रिया है।

• चरण-दर-चरण प्रक्रिया:

1. घातों का अवरोही क्रम: भाज्य और भाजक को उनके चरों की घातों के अवरोही क्रम में लिखें। यदि कोई घात अनुपस्थित हो, तो उसे शून्य गुणांक के साथ लिखें (जैसे \(0x^2\))।
2. पहला पद ज्ञात करें: भाज्य के पहले पद को भाजक के पहले पद से भाग दें। यह भागफल का पहला पद होगा।
3. गुणा और घटाव: भागफल के पहले पद से भाजक का गुणा करें और प्राप्त गुणनफल को भाज्य में से घटाएँ।
4. नया भाज्य: घटाने पर प्राप्त परिणाम को नया भाज्य मानें।
5. प्रक्रिया दोहराएँ: चरण 2 से 4 को तब तक दोहराएँ जब तक:

• शेषफल शून्य न हो जाए।
• शेषफल के चर की घात भाजक के चर की घात से कम न हो जाए।

• भाग एल्गोरिथम:
• भाज्य = भाजक \(\times\) भागफल + शेषफल
• यदि \(p(x)\) भाज्य है, \(g(x)\) भाजक है, \(q(x)\) भागफल है और \(r(x)\) शेषफल है, तो \(p(x) = g(x) \cdot q(x) + r(x)\) जहाँ \(r(x) = 0\) या \(\text{घात}(r(x)) < \text{घात}(g(x))\)।

शेषफल प्रमेय हमें बिना वास्तविक भाग किए शेषफल ज्ञात करने में मदद करता है।

• प्रमेय का कथन:
• यदि किसी बहुपद \(f(x)\) को \((x-a)\) से भाग दिया जाए, तो शेषफल \(f(a)\) होता है।
• यहाँ \(f(a)\) का अर्थ है \(x=a\) पर बहुपद \(f(x)\) का मान।

• उपपत्ति (Proof):
• भाग एल्गोरिथम से: \(f(x) = (x-a) \cdot q(x) + r\)
• जहाँ \(q(x)\) भागफल है और \(r\) शेषफल है (क्योंकि \((x-a)\) की घात 1 है, इसलिए शेषफल की घात 0 होगी, यानी शेषफल एक अचर होगा)।
• \(x=a\) रखने पर:

\(f(a) = (a-a) \cdot q(a) + r\) \(f(a) = 0 \cdot q(a) + r\) \(f(a) = r\)

• अतः, शेषफल \(r = f(a)\) होता है।

• उपयोग:
• किसी बहुपद को \((x-a)\) से भाग देने पर शेषफल ज्ञात करने के लिए, बस \(x\) के स्थान पर \(a\) रख दें।
• यदि भाजक \((x+a)\) हो, तो \(x=-a\) रखने पर शेषफल \(f(-a)\) होगा।
• यदि भाजक \((ax-b)\) हो, तो \(x=\frac{b}{a}\) रखने पर शेषफल \(f(\frac{b}{a})\) होगा।

गुणनखण्ड प्रमेय शेषफल प्रमेय का एक विशेष मामला है, जहाँ शेषफल शून्य होता है।

• प्रमेय का कथन:
• यदि \(x=a\) बहुपद \(f(x)\) का एक शून्यक है (अर्थात \(f(a)=0\)), तो \((x-a)\), \(f(x)\) का एक गुणनखण्ड होता है।
• विलोम: यदि \((x-a)\) बहुपद \(f(x)\) का एक गुणनखण्ड है, तो \(f(a)=0\) होता है।

• उपपत्ति (Proof):
• शेषफल प्रमेय से, हम जानते हैं कि \(f(x) = (x-a) \cdot q(x) + f(a)\)।
• यदि \(f(a)=0\) है, तो समीकरण बन जाता है: \(f(x) = (x-a) \cdot q(x) + 0\)
• \(f(x) = (x-a) \cdot q(x)\)
• यह दर्शाता है कि \((x-a)\), \(f(x)\) का एक गुणनखण्ड है।

• विलोम की उपपत्ति:
• यदि \((x-a)\) बहुपद \(f(x)\) का एक गुणनखण्ड है, तो \(f(x)\) को \((x-a)\) से भाग देने पर शेषफल शून्य होगा।
• शेषफल प्रमेय के अनुसार, शेषफल \(f(a)\) होता है।
• अतः, \(f(a)=0\)।

• उपयोग:
• यह जांचने के लिए कि कोई दिया गया व्यंजक बहुपद का गुणनखण्ड है या नहीं, उस व्यंजक को \((x-a)\) के रूप में लिखें और \(x=a\) पर बहुपद का मान ज्ञात करें। यदि मान शून्य आता है, तो वह गुणनखण्ड है।
• उदाहरण: क्या \((x-2)\), \(p(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 4\) का एक गुणनखण्ड है?
• \(x=2\) रखने पर: \(p(2) = (2)^3 - 3(2)^2 + 4(2) - 4 = 8 - 12 + 8 - 4 = 0\)
• चूंकि \(p(2)=0\), अतः \((x-2)\) एक गुणनखण्ड है।
• अज्ञात गुणांकों का मान ज्ञात करने में, जब एक गुणनखण्ड दिया गया हो।
• उदाहरण: यदि \((x-1)\), \(p(x) = x^2+x+k\) का एक गुणनखण्ड है, तो \(p(1)=0\)।
• \((1)^2 + (1) + k = 0 \Rightarrow 1+1+k=0 \Rightarrow 2+k=0 \Rightarrow k=-2\)

किसी बहुपद का गुणनखण्डन करने का अर्थ है उसे ऐसे सरल बहुपदों के गुणनफल के रूप में लिखना जिन्हें गुणा करने पर मूल बहुपद प्राप्त हो।

• उभयनिष्ठ निकालकर गुणनखण्डन:
• यह विधि तब लागू होती है जब बहुपद के सभी पदों में कोई समान पद या गुणांक मौजूद हो।
• उस समान पद को बाहर निकालकर गुणनखण्डन किया जाता है।
• उदाहरण: \(12x+4x^2 = 4x(3+x)\)
• उदाहरण: \(ab+ac+a^2 = a(b+c+a)\)
• उदाहरण: \(2x^3+4x = 2x(x^2+2)\)

• सर्वसमिकाओं का उपयोग करके गुणनखण्डन:
• कुछ विशेष प्रकार के बहुपदों को मानक बीजीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके गुणनखण्डित किया जा सकता है।
• महत्वपूर्ण सर्वसमिकाएँ:
• \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)
• \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)
• \(a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)\)
• उदाहरण: \(x^2-4 = x^2-2^2 = (x+2)(x-2)\)
• उदाहरण: \(x^2+6x+9 = x^2+2(x)(3)+3^2 = (x+3)^2 = (x+3)(x+3)\)
• उदाहरण: \(4x^2-20x+25 = (2x)^2-2(2x)(5)+5^2 = (2x-5)^2 = (2x-5)(2x-5)\)

यह विधि \(ax^2+bx+c\) रूप के द्विघातीय बहुपदों के गुणनखण्डन के लिए उपयोग की जाती है, खासकर जब सीधी सर्वसमिका लागू न हो।

• प्रक्रिया:

1. \(ac\) ज्ञात करें: \(x^2\) के गुणांक (\(a\)) और अचर पद (\(c\)) का गुणनफल ज्ञात करें।
2. दो संख्याएँ ढूँढें: दो ऐसी संख्याएँ \(p\) और \(q\) ज्ञात करें जिनका योग मध्यपद के गुणांक \(b\) के बराबर हो (यानी \(p+q=b\)) और जिनका गुणनफल \(ac\) के बराबर हो (यानी \(p \cdot q = ac\))।
3. मध्यपद को तोड़ें: मध्यपद \(bx\) को \(px+qx\) के रूप में लिखें।
4. समूह बनाकर गुणनखण्डन: बहुपद को चार पदों में विभाजित करें और पहले दो पदों तथा अंतिम दो पदों में से उभयनिष्ठ निकालकर गुणनखण्डन करें।

• उदाहरण: \(x^2+5x+6\) का गुणनखण्डन करें।

1. \(a=1, b=5, c=6\)। \(ac = 1 \times 6 = 6\)।
2. ऐसी संख्याएँ जिनका योग 5 और गुणनफल 6 हो: 2 और 3 (क्योंकि \(2+3=5\) और \(2 \times 3 = 6\))।
3. मध्यपद को तोड़ें: \(x^2+2x+3x+6\)
4. समूह बनाकर गुणनखण्डन: \(x(x+2)+3(x+2) = (x+2)(x+3)\)

• उदाहरण: \(6x^2-5x-6\) का गुणनखण्डन करें।

1. \(a=6, b=-5, c=-6\)। \(ac = 6 \times (-6) = -36\)।
2. ऐसी संख्याएँ जिनका योग -5 और गुणनफल -36 हो: 4 और -9 (क्योंकि \(4+(-9)=-5\) और \(4 \times (-9) = -36\))।
3. मध्यपद को तोड़ें: \(6x^2+4x-9x-6\)
4. समूह बनाकर गुणनखण्डन: \(2x(3x+2)-3(3x+2) = (3x+2)(2x-3)\)

• भिन्नात्मक गुणांकों या करणी वाले गुणांकों के लिए भी समान विधि:
• उदाहरण: \(4\sqrt{3}x^2+5x-2\sqrt{3}\)
• \(a=4\sqrt{3}, b=5, c=-2\sqrt{3}\)
• \(ac = (4\sqrt{3}) \times (-2\sqrt{3}) = -8 \times 3 = -24\)
• ऐसी संख्याएँ जिनका योग 5 और गुणनफल -24 हो: 8 और -3।
• \(4\sqrt{3}x^2+8x-3x-2\sqrt{3}\)
• \(4x(\sqrt{3}x+2) - \sqrt{3}(\sqrt{3}x+2) = (\sqrt{3}x+2)(4x-\sqrt{3})\)

किसी बहुपद का मान \(x\) के एक विशिष्ट मान पर उस बहुपद में \(x\) का मान रखने पर प्राप्त होता है।

• बहुपद का मान:
• यदि \(p(x) = x^2-6x+9\) है, तो \(x=1\) पर \(p(1) = (1)^2-6(1)+9 = 1-6+9 = 4\) होगा।
• यह \(x=1\) के लिए बहुपद का मान है।

• बहुपद का शून्यक:
• \(x\) का वह मान जिसके लिए बहुपद का मान शून्य हो जाए, बहुपद का शून्यक कहलाता है।
• यदि \(p(x) = x^2-6x+9\) में \(x=3\) रखें, तो \(p(3) = (3)^2-6(3)+9 = 9-18+9 = 0\) होगा।
• अतः, 3 इस बहुपद का एक शून्यक है।

• शून्यक ज्ञात करने की विधि (गुणनखण्डन द्वारा):

1. बहुपद को गुणनखण्डित करें।
2. प्रत्येक गुणनखण्ड को शून्य के बराबर रखें।
3. \(x\) के मानों को हल करें। ये मान बहुपद के शून्यक होंगे।

• उदाहरण: \(x^2-3x-4\) का शून्यक ज्ञात करें।

1. गुणनखण्डन: \(x^2-3x-4 = (x-4)(x+1)\)
2. गुणनखण्डों को शून्य के बराबर रखें: \((x-4)=0\) या \((x+1)=0\)
3. \(x=4\) या \(x=-1\)

• अतः, 4 और -1 इस बहुपद के शून्यक हैं।

• महत्वपूर्ण संबंध:
• यदि \(k\) बहुपद \(p(x)\) का एक शून्यक है, तो \((x-k)\) बहुपद \(p(x)\) का एक गुणनखण्ड होता है (गुणनखण्ड प्रमेय)।
• एक द्विघातीय बहुपद के अधिकतम दो शून्यक हो सकते हैं।

एक द्विघातीय बहुपद \(ax^2+bx+c\) (जहाँ \(a \neq 0\)) के शून्यकों और उसके गुणांकों के बीच एक निश्चित संबंध होता है।

• शून्यक और गुणनखण्ड:
• यदि \(\alpha\) और \(\beta\) द्विघातीय बहुपद \(ax^2+bx+c\) के शून्यक हैं, तो \((x-\alpha)\) और \((x-\beta)\) इसके गुणनखण्ड होंगे।
• अतः, हम लिख सकते हैं: \(ax^2+bx+c = k(x-\alpha)(x-\beta)\), जहाँ \(k\) एक अचर है।
• \(ax^2+bx+c = k(x^2 - (\alpha+\beta)x + \alpha\beta)\)
• \(ax^2+bx+c = kx^2 - k(\alpha+\beta)x + k\alpha\beta\)

• गुणांकों की तुलना:
• दोनों पक्षों के गुणांकों की तुलना करने पर:
• \(a = k\)
• \(b = -k(\alpha+\beta)\)
• \(c = k\alpha\beta\)

• संबंध स्थापित करना:

1. शून्यकों का योगफल (Sum of Zeroes):

• \(b = -k(\alpha+\beta)\)
• \(\alpha+\beta = -\frac{b}{k}\)
• चूँकि \(k=a\), अतः \(\alpha+\beta = -\frac{b}{a}\)
• शून्यकों का योगफल = \(-\frac{\text{x का गुणांक}}{\text{x}^2 \text{ का गुणांक}}\)

1. शून्यकों का गुणनफल (Product of Zeroes):

• \(c = k\alpha\beta\)
• \(\alpha\beta = \frac{c}{k}\)
• चूँकि \(k=a\), अतः \(\alpha\beta = \frac{c}{a}\)
• शून्यकों का गुणनफल = \(\frac{\text{अचर पद}}{\text{x}^2 \text{ का गुणांक}}\)

• उपयोग:
• बिना शून्यक ज्ञात किए उनके योगफल और गुणनफल को ज्ञात करना।
• शून्यक ज्ञात होने पर द्विघातीय बहुपद का निर्माण करना।

• उदाहरण: बहुपद \(6x^2+13x+7\) के शून्यकों का योगफल और गुणनफल ज्ञात करें।
• यहाँ \(a=6, b=13, c=7\)
• शून्यकों का योगफल = \(-\frac{b}{a} = -\frac{13}{6}\)
• शून्यकों का गुणनफल = \(\frac{c}{a} = \frac{7}{6}\)

• शून्यक ज्ञात होने पर बहुपद बनाना:
• यदि शून्यक \(\alpha\) और \(\beta\) ज्ञात हों, तो बहुपद \(p(x) = k[x^2 - (\alpha+\beta)x + \alpha\beta]\) होता है।
• सरलतम रूप में, \(x^2 - (\text{शून्यकों का योगफल})x + (\text{शून्यकों का गुणनफल})\)