Home › AP › Class 9 › Maths › POLYNOMIALS
AP · Class 9 · 🧮 Maths · Chapter 14

POLYNOMIALS

బహుపదిబహుపది డిగ్రీబహుపది గుణకాలుబహుపది శూన్యంశేష సిద్ధాంతంకారణాంక సిద్ధాంతం

బహుపదులు అధ్యాయం బీజగణితంలో ఒక కీలకమైన భాగం. ఇది బహుపదుల నిర్వచనం, వాటి డిగ్రీ, గుణకాలు, వివిధ రకాల బహుపదులు (ఏకపది, ద్విపది, త్రిపది, రేఖీయ, వర్గ, ఘన బహుపదులు) గురించి వివరిస్తుంది. బహుపదుల విలువలను కనుగొనడం, శూన్యాలను గుర్తించడం, శేష సిద్ధాంతం మరియు కారణాంక సిద్ధాంతం వంటి ముఖ్యమైన భావనలను ఈ అధ్యాయం పరిచయం చేస్తుంది. ఈ జ్ఞానం ఉన్నత తరగతులలో సంక్లిష్ట బీజగణిత సమస్యలను పరిష్కరించడానికి పునాది వేస్తుంది.

बहुपद और उनके पद

बहुपद की परिभाषा

  • एक बहुपद एक बीजीय व्यंजक है जिसमें चर की घात हमेशा एक पूर्ण संख्या (whole number) होती है।
  • चर की घात ऋणात्मक या भिन्न (fraction) नहीं हो सकती।
  • उदाहरण: \(2x^2 + 3x - 5\) एक बहुपद है।
  • उदाहरण: \(3\sqrt{x} + 1\) या \(x^{-1} + 2\) बहुपद नहीं हैं।

बहुपद के पद (Terms of a Polynomial)

  • बहुपद के विभिन्न भाग जो जोड़ या घटाव के चिन्हों से अलग होते हैं, पद कहलाते हैं।
  • उदाहरण: \(5x^3 - 2x^2 + 7x - 1\) में पद हैं: \(5x^3\), \(-2x^2\), \(7x\), \(-1\).

गुणांक (Coefficients)

  • किसी पद में चर के साथ गुणा किया गया संख्यात्मक मान उसका गुणांक कहलाता है।
  • उदाहरण: \(5x^3 - 2x^2 + 7x - 1\) में:
  • \(x^3\) का गुणांक \(5\) है।
  • \(x^2\) का गुणांक \(-2\) है।
  • \(x\) का गुणांक \(7\) है।
  • \(-1\) एक अचर पद (constant term) है।

बहुपद की घात (Degree of a Polynomial)

  • किसी बहुपद में चर की सबसे बड़ी घात को बहुपद की घात कहते हैं।
  • उदाहरण: \(5x^3 - 2x^2 + 7x - 1\) की घात \(3\) है।
  • उदाहरण: \(4y^5 + 2y - 9\) की घात \(5\) है।
  • अचर बहुपद (Constant Polynomial): एक बहुपद जिसमें केवल अचर पद होता है (जैसे \(7\) या \(-3\))। इसकी घात शून्य होती है।

बहुपद के प्रकार (Types of Polynomials)

पदों की संख्या के आधार पर:

| प्रकार | पदों की संख्या | उदाहरण | |:------------|:---------------|:-----------------------| | एकपदी | 1 | \(5x\), \(7y^2\), \(10\) | | द्विपदी | 2 | \(x+y\), \(3a^2-5\) | | त्रिपदी | 3 | \(x^2+2x+1\) |

घात के आधार पर:

| प्रकार | घात | उदाहरण | |:--------------|:---|:-----------------------| | रैखिक बहुपद | 1 | \(ax+b\) (जहाँ \(a \neq 0\)), जैसे \(2x+3\) | | द्विघात बहुपद | 2 | \(ax^2+bx+c\) (जहाँ \(a \neq 0\)), जैसे \(x^2-4x+4\) | | त्रिघात बहुपद | 3 | \(ax^3+bx^2+cx+d\) (जहाँ \(a \neq 0\)), जैसे \(x^3-2x^2+x-1\) |

एक चर वाले बहुपद (Polynomials in One Variable)

  • एक बहुपद जिसमें केवल एक प्रकार का चर होता है।
  • उदाहरण: \(P(x) = x^2 + 2x + 1\) (चर \(x\) है)
  • उदाहरण: \(Q(y) = y^3 - 5y + 6\) (चर \(y\) है)
❗ముఖ్యమైనది

ध्यान दें: \(x + \frac{1}{x}\) या \(\sqrt{x} + 5\) बहुपद नहीं हैं क्योंकि चर की घात पूर्ण संख्या नहीं है।

📖నిర్వచనం

शून्य बहुपद (Zero Polynomial): \(0\) को शून्य बहुपद कहते हैं। इसकी घात अपरिभाषित (not defined) होती है।

बहुपद के शून्यक

बहुपद का मान (Value of a Polynomial)

  • यदि \(P(x)\) एक बहुपद है, तो \(x\) के स्थान पर किसी वास्तविक संख्या 'a' को रखने पर प्राप्त मान को \(P(a)\) से दर्शाते हैं। यही बहुपद का मान होता है।
  • उदाहरण: यदि \(P(x) = x^2 - 3x + 2\), तो \(x=1\) पर बहुपद का मान:

\(P(1) = (1)^2 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0\)

बहुपद के शून्यक (Zeroes of a Polynomial)

  • एक वास्तविक संख्या 'a' बहुपद \(P(x)\) का शून्यक कहलाती है, यदि \(P(a) = 0\) हो।
  • शून्यक वह मान है जिस पर बहुपद का मान शून्य हो जाता है।

शून्यक ज्ञात करने के तरीके:

  1. रैखिक बहुपद के लिए:
  • यदि \(P(x) = ax+b\) (जहाँ \(a \neq 0\)) एक रैखिक बहुपद है, तो इसका शून्यक ज्ञात करने के लिए \(P(x)=0\) रखें।
  • \(ax+b = 0 \implies ax = -b \implies x = -\frac{b}{a}\)
  • एक रैखिक बहुपद का केवल एक शून्यक होता है।
  1. द्विघात बहुपद के लिए:
  • द्विघात बहुपद के अधिकतम दो शून्यक हो सकते हैं। इन्हें गुणनखंड विधि (splitting the middle term) या द्विघात सूत्र का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है।
  • उदाहरण: \(P(x) = x^2 - 5x + 6\)
  • \(x^2 - 2x - 3x + 6 = 0\)
  • \(x(x-2) - 3(x-2) = 0\)
  • \((x-2)(x-3) = 0\)
  • \(x-2=0 \implies x=2\) या \(x-3=0 \implies x=3\)
  • शून्यक \(2\) और \(3\) हैं।
  1. त्रिघात बहुपद के लिए:
  • त्रिघात बहुपद के अधिकतम तीन शून्यक हो सकते हैं। इन्हें गुणनखंड प्रमेय और संश्लेषित विभाजन (synthetic division) जैसी विधियों से ज्ञात किया जा सकता है।

शून्यकों का ज्यामितीय अर्थ (Geometrical Meaning of Zeroes)

  • एक बहुपद \(P(x)\) के शून्यक, \(y=P(x)\) के ग्राफ के उन बिंदुओं के x-निर्देशांक होते हैं जहाँ ग्राफ x-अक्ष को प्रतिच्छेद करता है।

ग्राफ द्वारा शून्यक की संख्या:

  • रैखिक बहुपद: \(y=ax+b\) का ग्राफ एक सीधी रेखा होती है जो x-अक्ष को ठीक एक बिंदु पर काटती है। अतः इसका एक शून्यक होता है।
  • द्विघात बहुपद: \(y=ax^2+bx+c\) का ग्राफ एक परवलय (parabola) होता है।
  • यह x-अक्ष को दो भिन्न बिंदुओं पर काट सकता है (दो शून्यक)।
  • यह x-अक्ष को एक बिंदु पर स्पर्श कर सकता है (एक शून्यक या दो समान शून्यक)।
  • यह x-अक्ष को बिल्कुल भी नहीं काट सकता (कोई वास्तविक शून्यक नहीं)।
  • त्रिघात बहुपद: \(y=ax^3+bx^2+cx+d\) का ग्राफ x-अक्ष को अधिकतम तीन बिंदुओं पर काट सकता है। अतः इसके अधिकतम तीन शून्यक होते हैं।
💡సూచన

किसी बहुपद की घात उसके अधिकतम शून्यकों की संख्या के बराबर होती है।

🚧తప్పుడు అభిప్రాయం

अक्सर छात्र 'शून्य' और 'शून्यक' में भ्रमित होते हैं। 'शून्य' एक संख्या है, जबकि 'शून्यक' बहुपद का वह मान है जिस पर बहुपद शून्य हो जाता है।

शेषफल प्रमेय

शेषफल प्रमेय (Remainder Theorem)

  • कथन: यदि \(P(x)\) घात \(n \ge 1\) का एक बहुपद है और इसे एक रैखिक बहुपद \((x-a)\) से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल \(P(a)\) होता है।
  • सरल शब्दों में: जब आप एक बहुपद को \((x-a)\) से भाग देते हैं, तो शेषफल ज्ञात करने के लिए बस \(x\) के स्थान पर \(a\) रख दें।

शेषफल प्रमेय का उपयोग:

  • यह लंबी भाग विधि (long division method) किए बिना शेषफल ज्ञात करने का एक त्वरित तरीका है।
  • यह विशेष रूप से तब उपयोगी होता है जब आपको यह जांचना हो कि \((x-a)\) बहुपद का गुणनखंड है या नहीं (यदि शेषफल शून्य है)।

शेषफल प्रमेय की प्रक्रिया:

  1. बहुपद \(P(x)\) को पहचानें।
  2. भाजक (divisor) \((x-a)\) से \(a\) का मान ज्ञात करें (भाजक को शून्य के बराबर रखें: \(x-a=0 \implies x=a\)).
  3. \(P(x)\) में \(x\) के स्थान पर \(a\) रखें और \(P(a)\) का मान ज्ञात करें।
  4. \(P(a)\) ही शेषफल होगा।

उदाहरण:

  • \(P(x) = x^3 + 1\) को \((x+1)\) से विभाजित करने पर शेषफल ज्ञात करें।
  • भाजक \(x+1\) है। \(x+1=0 \implies x=-1\).
  • \(P(-1) = (-1)^3 + 1 = -1 + 1 = 0\).
  • शेषफल \(0\) है।
🧮సూత్రం

विभाजन एल्गोरिथम (Division Algorithm): \(P(x) = G(x) \cdot Q(x) + R(x)\) जहाँ \(P(x)\) = भाज्य (dividend), \(G(x)\) = भाजक (divisor), \(Q(x)\) = भागफल (quotient), \(R(x)\) = शेषफल (remainder). और \(R(x)=0\) या \(R(x)\) की घात < \(G(x)\) की घात।

⭐గుర్తుంచుకోండి

यदि भाजक \((ax-b)\) के रूप में है, तो \(x = \frac{b}{a}\) रखने पर शेषफल \(P(\frac{b}{a})\) होगा।

गुणनखंड प्रमेय

गुणनखंड प्रमेय (Factor Theorem)

  • कथन:
  1. यदि \(P(a) = 0\) है, तो \((x-a)\) बहुपद \(P(x)\) का एक गुणनखंड होता है।
  2. यदि \((x-a)\) बहुपद \(P(x)\) का एक गुणनखंड है, तो \(P(a) = 0\) होता है।
  • सरल शब्दों में: शेषफल प्रमेय का एक विशेष मामला। यदि शेषफल शून्य है, तो भाजक एक गुणनखंड है।

गुणनखंड प्रमेय का उपयोग:

  • किसी बहुपद के रैखिक गुणनखंड ज्ञात करने के लिए।
  • बहुपद के शून्यक ज्ञात करने के लिए (क्योंकि यदि \((x-a)\) एक गुणनखंड है, तो \(a\) एक शून्यक है)।

गुणनखंड प्रमेय की प्रक्रिया (गुणनखंड ज्ञात करने के लिए):

  1. बहुपद \(P(x)\) के अचर पद के सभी संभावित गुणनखंडों (factors) को ज्ञात करें (ये संभावित शून्यक हो सकते हैं)।
  2. इनमें से प्रत्येक मान को \(P(x)\) में \(x\) के स्थान पर रखकर \(P(a)\) ज्ञात करें।
  3. जिस मान 'a' के लिए \(P(a) = 0\) हो, वह \(P(x)\) का एक शून्यक है, और \((x-a)\) एक गुणनखंड है।
  4. यदि एक गुणनखंड मिल जाता है, तो बहुपद को उस गुणनखंड से भाग देकर (लंबी भाग विधि या संश्लेषित विभाजन) शेष गुणनखंड ज्ञात करें।

उदाहरण:

  • जाँचें कि \((x+2)\) बहुपद \(P(x) = x^3 + 3x^2 + 5x + 6\) का एक गुणनखंड है या नहीं।
  • \(x+2=0 \implies x=-2\).
  • \(P(-2) = (-2)^3 + 3(-2)^2 + 5(-2) + 6\)
  • \(P(-2) = -8 + 3(4) - 10 + 6\)
  • \(P(-2) = -8 + 12 - 10 + 6 = 0\)
  • चूंकि \(P(-2) = 0\), अतः गुणनखंड प्रमेय के अनुसार, \((x+2)\) बहुपद \(P(x)\) का एक गुणनखंड है।
💡సూచన

गुणनखंड प्रमेय का उपयोग करके त्रिघात बहुपदों के गुणनखंड करना बोर्ड परीक्षाओं में एक महत्वपूर्ण प्रश्न है। पहले एक गुणनखंड 'हिट एंड ट्रायल' विधि से ज्ञात करें, फिर लंबी भाग विधि का उपयोग करें।

❗ముఖ్యమైనది

यदि \((ax-b)\) बहुपद \(P(x)\) का एक गुणनखंड है, तो \(P(\frac{b}{a}) = 0\) होगा।

बीजीय सर्वसमिकाएँ

बीजीय सर्वसमिकाएँ (Algebraic Identities)

  • एक सर्वसमिका एक समीकरण है जो चर के सभी मानों के लिए सत्य होती है।
  • इनका उपयोग बीजीय व्यंजकों के गुणनखंड करने और उनका विस्तार करने के लिए किया जाता है।

महत्वपूर्ण सर्वसमिकाएँ (Important Identities):

  1. \((x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\)
  2. \((x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2\)
  3. \(x^2 - y^2 = (x+y)(x-y)\)
  4. \((x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab\)

अतिरिक्त सर्वसमिकाएँ (Higher Order Identities):

  1. \((x+y+z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2zx\)
  2. \((x+y)^3 = x^3 + y^3 + 3xy(x+y) = x^3 + y^3 + 3x^2y + 3xy^2\)
  3. \((x-y)^3 = x^3 - y^3 - 3xy(x-y) = x^3 - y^3 - 3x^2y + 3xy^2\)
  4. \(x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)\)
  5. \(x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2)\)
  6. \(x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x+y+z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx)\)

सर्वसमिकाओं का अनुप्रयोग (Applications of Identities):

  • गुणनखंड करना: व्यंजकों को उनके गुणनखंडों में तोड़ना।
  • उदाहरण: \(4x^2 + 12xy + 9y^2 = (2x)^2 + 2(2x)(3y) + (3y)^2 = (2x+3y)^2\)
  • विस्तार करना: व्यंजकों को विस्तारित रूप में लिखना।
  • उदाहरण: \((2x+3)^3 = (2x)^3 + (3)^3 + 3(2x)(3)(2x+3) = 8x^3 + 27 + 18x(2x+3) = 8x^3 + 27 + 36x^2 + 54x\)
  • मान ज्ञात करना: संख्याओं के गुणनफल या वर्गों को आसान बनाना।
  • उदाहरण: \(103^2 = (100+3)^2 = 100^2 + 2(100)(3) + 3^2 = 10000 + 600 + 9 = 10609\)
  • उदाहरण: \(99^2 = (100-1)^2 = 100^2 - 2(100)(1) + 1^2 = 10000 - 200 + 1 = 9801\)
⭐గుర్తుంచుకోండి

सर्वसमिका \(x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x+y+z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx)\) का एक विशेष मामला है: यदि \(x+y+z=0\) हो, तो \(x^3+y^3+z^3 = 3xyz\) होता है। यह अक्सर HOTS प्रश्नों में पूछा जाता है।

💡సూచన

सर्वसमिकाओं को याद रखना और उन्हें सही ढंग से पहचानना बहुत महत्वपूर्ण है। अभ्यास से ही आप इन्हें तेजी से पहचान पाएंगे।

Ask SAAVI — Free