POLYNOMIALS

एक बहुपद एक बीजगणितीय व्यंजक होता है जिसमें चर (variables) और गुणांक (coefficients) होते हैं, और जिसमें केवल जोड़, घटाव, गुणा, और गैर-ऋणात्मक पूर्णांक घातांक (non-negative integer exponents) होते हैं।

• चर (Variable): अक्षर जो विभिन्न मानों को दर्शाते हैं, जैसे \(x, y, z\)।
• गुणांक (Coefficient): चर के साथ गुणा होने वाली संख्यात्मक मान, जैसे \(5x^2\) में 5।
• घात (Exponent/Degree): चर की उच्चतम घात।

बहुपद के प्रकार

1. पदों की संख्या के आधार पर (Based on Number of Terms):

• एकपदी (Monomial): केवल एक पद, जैसे \(5x\), \(7y^2\), \(10\)।
• द्विपदी (Binomial): दो पद, जैसे \(x + 2\), \(3y^2 - 5\)।
• त्रिपदी (Trinomial): तीन पद, जैसे \(x^2 + 2x + 1\), \(a^3 - 2a + 7\)।

2. घात के आधार पर (Based on Degree):

• अचर बहुपद (Constant Polynomial): घात 0 होती है, जैसे \(5, -3\)। (शून्य बहुपद की घात अपरिभाषित होती है)।
• रैखिक बहुपद (Linear Polynomial): घात 1 होती है, जैसे \(ax + b\) जहाँ \(a \neq 0\)।
• द्विघात बहुपद (Quadratic Polynomial): घात 2 होती है, जैसे \(ax^2 + bx + c\) जहाँ \(a \neq 0\)।
• त्रिघात बहुपद (Cubic Polynomial): घात 3 होती है, जैसे \(ax^3 + bx^2 + cx + d\) जहाँ \(a \neq 0\)।

मानक रूप (Standard Form)

एक बहुपद को उसके चरों की घातों के घटते क्रम में लिखना उसका मानक रूप कहलाता है। उदाहरण: \(4x^3 - 2x^2 + 7x - 1\)

बहुपद नहीं होने की शर्तें

• चर की घात ऋणात्मक या भिन्न (fractional) नहीं होनी चाहिए। (जैसे \(x^{-1}\) या \(x^{1/2}\) वाले व्यंजक बहुपद नहीं हैं)
• चर वर्गमूल के अंदर नहीं होना चाहिए। (जैसे \(\sqrt{x}\))
• चर हर (denominator) में नहीं होना चाहिए। (जैसे \(1/x\))

एक वास्तविक संख्या \(\alpha\) बहुपद \(f(x)\) का शून्यक या मूल (root) कहलाती है, यदि \(f(\alpha) = 0\) हो।

• बहुपद का मान (Value of a Polynomial): \(f(x)\) में \(x = \alpha\) रखने पर जो मान प्राप्त होता है, उसे \(f(\alpha)\) से दर्शाते हैं।
• उदाहरण: यदि \(f(x) = 2x^3 - 13x^2 + 17x + 12\), तो \(x=1\) पर मान:

\(f(1) = 2(1)^3 - 13(1)^2 + 17(1) + 12 = 2 - 13 + 17 + 12 = 18\).

• शून्यक का अर्थ: वह \(x\) का मान जिस पर बहुपद का मान शून्य हो जाए।
• उदाहरण: \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6\) के लिए, \(x=3\) एक शून्यक है क्योंकि \(f(3) = 3^3 - 6(3)^2 + 11(3) - 6 = 27 - 54 + 33 - 6 = 0\).

रैखिक बहुपद का शून्यक

एक रैखिक बहुपद \(f(x) = ax + b\) का केवल एक शून्यक होता है, जो \(x = -b/a\) होता है।

• कारण: \(ax + b = 0 \implies ax = -b \implies x = -b/a\).

यदि \(p(x)\) एक बहुपद है जिसकी घात एक या एक से अधिक है, और \(a\) कोई वास्तविक संख्या है, तो जब \(p(x)\) को \((x - a)\) से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल \(p(a)\) होता है।

प्रमेय का सत्यापन (Proof of Theorem)

जब \(p(x)\) को \((x - a)\) से विभाजित किया जाता है, तो हमें एक भागफल \(q(x)\) और एक शेषफल \(r(x)\) मिलता है। हम जानते हैं: भाज्य = भाजक \(\times\) भागफल + शेषफल \(p(x) = (x - a)q(x) + r(x)\)

चूंकि \((x - a)\) की घात 1 है, शेषफल \(r(x)\) की घात 1 से कम होनी चाहिए। इसलिए, \(r(x)\) एक अचर (constant) होगा, जिसे हम \(r\) मान सकते हैं। \(p(x) = (x - a)q(x) + r\)

अब, \(x = a\) रखने पर: \(p(a) = (a - a)q(a) + r\) \(p(a) = 0 \cdot q(a) + r\) \(p(a) = r\)

अतः, शेषफल \(p(a)\) है।

महत्वपूर्ण बिंदु

• यदि \(p(x)\) को \((x + a)\) से विभाजित किया जाए, तो शेषफल \(p(-a)\) होगा।
• यदि \(p(x)\) को \((ax - b)\) से विभाजित किया जाए, तो शेषफल \(p(b/a)\) होगा।
• यदि \(p(x)\) को \((ax + b)\) से विभाजित किया जाए, तो शेषफल \(p(-b/a)\) होगा।

यदि \(p(x)\) एक बहुपद है जिसकी घात एक या एक से अधिक है, और \(a\) कोई वास्तविक संख्या है, तो:

1. यदि \(p(a) = 0\) है, तो \((x - a)\) बहुपद \(p(x)\) का एक गुणनखंड होता है।
2. यदि \((x - a)\) बहुपद \(p(x)\) का एक गुणनखंड है, तो \(p(a) = 0\) होता है।

प्रमेय का सत्यापन (Proof of Theorem)

भाग 1: यदि \(p(a) = 0\), तो \((x - a)\) बहुपद \(p(x)\) का एक गुणनखंड है। शेषफल प्रमेय के अनुसार, जब \(p(x)\) को \((x - a)\) से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल \(p(a)\) होता है। यदि \(p(a) = 0\) है, तो शेषफल शून्य है। इसका अर्थ है कि \((x - a)\) बहुपद \(p(x)\) को पूरी तरह से विभाजित करता है, अर्थात \((x - a)\) बहुपद \(p(x)\) का एक गुणनखंड है।

भाग 2: यदि \((x - a)\) बहुपद \(p(x)\) का एक गुणनखंड है, तो \(p(a) = 0\) होता है। यदि \((x - a)\) बहुपद \(p(x)\) का एक गुणनखंड है, तो हम \(p(x)\) को \(p(x) = (x - a)q(x)\) के रूप में लिख सकते हैं, जहाँ \(q(x)\) कोई बहुपद है। \(x = a\) रखने पर: \(p(a) = (a - a)q(a)\) \(p(a) = 0 \cdot q(a)\) \(p(a) = 0\)

अतः, यदि \((x - a)\) एक गुणनखंड है, तो \(p(a) = 0\) होता है।

गुणनखंड ज्ञात करने के लिए उपयोग

गुणनखंड प्रमेय का उपयोग करके हम किसी बहुपद के गुणनखंड ज्ञात कर सकते हैं, खासकर त्रिघात बहुपदों के लिए।

1. बहुपद के अचर पद (constant term) के गुणनखंडों में से \(x\) के संभावित मानों को परीक्षण करें।
2. यदि किसी मान \(a\) के लिए \(p(a) = 0\) आता है, तो \((x - a)\) एक गुणनखंड है।
3. फिर, बहुपद को \((x - a)\) से विभाजित करके अन्य गुणनखंड ज्ञात करें।

एक द्विघात बहुपद \(ax^2 + bx + c\) (जहाँ \(a \neq 0\)) का गुणनखंड करने के मुख्य दो तरीके हैं:

1. मध्य पद को विभाजित करके (By Splitting the Middle Term)

यह विधि \(x^2 + bx + c\) या \(ax^2 + bx + c\) प्रकार के बहुपदों के लिए उपयुक्त है।

चरण:

1. \(a\) और \(c\) का गुणनफल \(ac\) ज्ञात करें।
2. दो संख्याएँ \(p\) और \(q\) ज्ञात करें जिनका योग \(b\) के बराबर हो (यानी \(p + q = b\)) और गुणनफल \(ac\) के बराबर हो (यानी \(pq = ac\))।
3. मध्य पद \(bx\) को \(px + qx\) के रूप में लिखें।
4. पहले दो पदों और अंतिम दो पदों में से सामान्य गुणनखंड (common factors) निकालें।
5. अब, पूरे व्यंजक में से सामान्य गुणनखंड निकालें।

उदाहरण: \(2x^2 + 7x + 6\) का गुणनखंड करें।

1. \(ac = 2 \times 6 = 12\).
2. \(b = 7\). हमें ऐसी दो संख्याएँ चाहिए जिनका योग 7 हो और गुणनफल 12 हो। ये संख्याएँ 3 और 4 हैं।
3. \(2x^2 + 3x + 4x + 6\)
4. \(x(2x + 3) + 2(2x + 3)\)
5. \((2x + 3)(x + 2)\)

2. वर्ग पूरा करके (By Completing the Square)

यह विधि किसी भी द्विघात बहुपद के लिए काम करती है, लेकिन अक्सर मध्य पद को विभाजित करने से अधिक जटिल होती है।

चरण:

1. यदि \(a \neq 1\) है, तो पूरे व्यंजक में से \(a\) को सामान्य गुणनखंड के रूप में बाहर निकालें: \(a[x^2 + (b/a)x + c/a]\)
2. \(x^2 + (b/a)x\) को एक पूर्ण वर्ग बनाने के लिए \((b/2a)^2\) जोड़ें और घटाएँ।

\(x^2 + (b/a)x + (b/2a)^2 - (b/2a)^2 + c/a\)

1. पहले तीन पदों को \((x + b/2a)^2\) के रूप में लिखें।
2. शेष पदों को सरल करें और \(A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)\) सर्वसमिका का उपयोग करें।

उदाहरण: \(x^2 - 31x + 220\) का गुणनखंड करें।

1. \(x^2 - 2 \cdot (31/2)x + (31/2)^2 - (31/2)^2 + 220\)
2. \((x - 31/2)^2 - 961/4 + 880/4\)
3. \((x - 31/2)^2 - 81/4\)
4. \((x - 31/2)^2 - (9/2)^2\)
5. \((x - 31/2 - 9/2)(x - 31/2 + 9/2)\)
6. \((x - 40/2)(x - 22/2)\)
7. \((x - 20)(x - 11)\)

त्रिघात बहुपद \(ax^3 + bx^2 + cx + d\) का गुणनखंड करने के लिए गुणनखंड प्रमेय का उपयोग किया जाता है।

चरण:

1. संभावित शून्यक ज्ञात करें (Hit and Trial Method): अचर पद \(d\) के सभी गुणनखंडों (धनात्मक और ऋणात्मक) की सूची बनाएँ। ये संभावित पूर्णांक शून्यक हो सकते हैं।
2. इनमें से किसी एक मान \(a\) के लिए \(p(a) = 0\) का परीक्षण करें। यदि \(p(a) = 0\) है, तो \((x - a)\) बहुपद का एक गुणनखंड है।
3. भागफल ज्ञात करें: बहुपद \(p(x)\) को \((x - a)\) से लंबी विभाजन विधि (long division method) द्वारा विभाजित करें। भागफल एक द्विघात बहुपद होगा।
4. द्विघात भागफल का गुणनखंड करें: प्राप्त द्विघात बहुपद का मध्य पद को विभाजित करके या वर्ग पूरा करके गुणनखंड करें।

उदाहरण: \(x^3 - 2x^2 - x + 2\) का गुणनखंड करें।

1. अचर पद 2 के गुणनखंड: \(\pm 1, \pm 2\).
2. \(x = 1\) पर परीक्षण करें:

\(p(1) = (1)^3 - 2(1)^2 - (1) + 2 = 1 - 2 - 1 + 2 = 0\) चूंकि \(p(1) = 0\), इसलिए \((x - 1)\) एक गुणनखंड है।

1. \(x^3 - 2x^2 - x + 2\) को \((x - 1)\) से विभाजित करें।

` (x^2 - x - 2) x - 1 | x^3 - 2x^2 - x + 2 -(x^3 - x^2) ----------------- -x^2 - x -(-x^2 + x) ----------------- -2x + 2 -(-2x + 2) ----------------- 0 ` भागफल \(x^2 - x - 2\) है।

1. द्विघात बहुपद \(x^2 - x - 2\) का गुणनखंड करें:

\(x^2 - 2x + x - 2\) \(x(x - 2) + 1(x - 2)\) \((x - 2)(x + 1)\)

अतः, \(x^3 - 2x^2 - x + 2 = (x - 1)(x - 2)(x + 1)\).

अखंड मूल प्रमेय (Integral Root Theorem)

यदि \(f(x)\) एक बहुपद है जिसके गुणांक पूर्णांक हैं और प्रमुख गुणांक (leading coefficient) 1 है, तो \(f(x)\) का कोई भी पूर्णांक मूल अचर पद का एक गुणनखंड होगा।

परिमेय मूल प्रमेय (Rational Root Theorem)

यदि \(b/c\) एक परिमेय भिन्न है जो न्यूनतम पदों में है, और \(b/c\) बहुपद \(f(x) = a_n x^n + ... + a_0\) का एक मूल है (जहाँ \(a_n \neq 0\) और गुणांक पूर्णांक हैं), तो \(b\) अचर पद \(a_0\) का एक गुणनखंड है और \(c\) प्रमुख गुणांक \(a_n\) का एक गुणनखंड है।

बीजगणितीय सर्वसमिकाएँ वे समानताएँ हैं जो चर के सभी मानों के लिए सत्य होती हैं। इनका उपयोग बहुपदों के गुणनखंड करने, व्यंजकों को सरल बनाने और गणनाओं को आसान बनाने के लिए किया जाता है।

महत्वपूर्ण सर्वसमिकाएँ

1. \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)
2. \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)
3. \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\)
4. \((x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab\)
5. \((a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca\)
6. \((a + b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a + b) = a^3 + b^3 + 3a^2b + 3ab^2\)
7. \((a - b)^3 = a^3 - b^3 - 3ab(a - b) = a^3 - b^3 - 3a^2b + 3ab^2\)
8. \(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\)
9. \(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\)
10. \(a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)\)

विशेष स्थिति (Special Case)

यदि \(a + b + c = 0\) है, तो सर्वसमिका 10 से: \(a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (0)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)\) \(a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 0\) \(a^3 + b^3 + c^3 = 3abc\)

यह एक बहुत ही महत्वपूर्ण परिणाम है जिसका उपयोग कई समस्याओं को हल करने के लिए किया जाता है।

सर्वसमिकाओं का अनुप्रयोग

• गुणनखंडन: सीधे गुणनखंड करने के बजाय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके व्यंजकों का गुणनखंड करना।
• उदाहरण: \(4x^2 - 9y^2 = (2x)^2 - (3y)^2 = (2x - 3y)(2x + 3y)\)
• मान ज्ञात करना: बिना सीधे गुणा किए बड़े संख्याओं के गुणनफल या वर्गों का मान ज्ञात करना।
• उदाहरण: \((103)^2 = (100 + 3)^2 = 100^2 + 2(100)(3) + 3^2 = 10000 + 600 + 9 = 10609\)