AP · Class 9 · 🧮 Maths · Chapter 5
Introduction to Euclid’s Geometry
యూక్లిడ్ జ్యామితిబిందువు, రేఖ, తలంస్వీయసిద్ధ సత్యాలు (Axioms)ప్రతిపాదనలు (Postulates)జ్యామితి చరిత్ర
ఈ అధ్యాయం జ్యామితి యొక్క చరిత్రను, ముఖ్యంగా రామప్ప దేవాలయం మరియు ఈజిప్టు పిరమిడ్ల వంటి నిర్మాణాలలో దాని ఉపయోగాన్ని పరిచయం చేస్తుంది. బిందువు, రేఖ, రేఖాఖండం, కిరణం, తలం వంటి ప్రాథమిక జ్యామితీయ పదాలను వివరిస్తుంది. జ్యామితి యొక్క అర్థం మరియు మూలం, నిర్వచించిన మరియు నిర్వచించబడని పదాలు, మరియు యూక్లిడ్ వంటి ప్రసిద్ధ గణిత శాస్త్రజ్ఞుల సహకారం గురించి చర్చిస్తుంది. యూక్లిడ్ యొక్క నిర్వచనాలు, స్వీయసిద్ధ సత్యాలు మరియు ప్రతిపాదనల మధ్య తేడాలను కూడా ఈ అధ్యాయం వివరిస్తుంది.
ज्यामिति का परिचय: इतिहास और मूलभूत पद
ज्यामिति (Geometry) शब्द ग्रीक शब्द 'Geo' (पृथ्वी) और 'Metron' (मापना) से लिया गया है।
- इतिहास:
- प्राचीन सभ्यताओं (मिस्र, बेबीलोन, भारत) ने भूमि मापने, मंदिर बनाने, नहरें बनाने के लिए ज्यामिति का उपयोग किया।
- मिस्र के पिरामिड: ज्यामितीय सिद्धांतों का उत्कृष्ट उदाहरण।
- भारतीय योगदान: वैदिक काल में यज्ञ वेदियों के निर्माण में ज्यामितीय आकृतियों का उपयोग (जैसे शुल्ब सूत्र)।
- Euclid: एक ग्रीक गणितज्ञ, जिन्हें 'ज्यामिति का जनक' कहा जाता है। उन्होंने अपने प्रसिद्ध ग्रंथ 'The Elements' में ज्यामिति के ज्ञान को व्यवस्थित किया। यह पुस्तक 13 अध्यायों में विभाजित है।
- अपरिभाषित पद (Undefined Terms):
- ज्यामिति में कुछ पद ऐसे होते हैं जिन्हें परिभाषित नहीं किया जा सकता, बल्कि उन्हें सहज ज्ञान से समझा जाता है।
- बिंदु (Point):
- एक स्थिति (location) है।
- इसका कोई भाग नहीं होता (no dimension)।
- यह केवल एक सूक्ष्म चिह्न है।
- कोई लंबाई, चौड़ाई या मोटाई नहीं।
- रेखा (Line):
- चौड़ाई रहित लंबाई (breadthless length)।
- इसके सिरे नहीं होते (no ends), यह दोनों दिशाओं में अनंत तक फैली होती है।
- एक रेखा पर अनंत बिंदु होते हैं।
- तल (Plane):
- चौड़ाई और लंबाई वाली सतह (surface having length and breadth only)।
- इसकी कोई मोटाई नहीं होती।
- यह सभी दिशाओं में अनंत तक फैली होती है।
- एक तल पर अनंत रेखाएँ होती हैं।
- परिभाषित पद (Defined Terms):
- इन्हें अपरिभाषित पदों का उपयोग करके परिभाषित किया जाता है।
- रेखाखंड (Line Segment):
- एक रेखा का वह भाग जिसके दो अंत बिंदु (two end points) होते हैं।
- इसकी निश्चित लंबाई होती है।
- किरण (Ray):
- एक रेखा का वह भाग जिसका एक अंत बिंदु होता है और यह एक दिशा में अनंत तक फैली होती है।
- सतह (Surface):
- वह जिसकी केवल लंबाई और चौड़ाई होती है।
- इसकी कोई मोटाई नहीं होती।
- सतह के किनारे रेखाएँ होती हैं।
- सीधी रेखा (Straight Line):
- एक रेखा जो अपने ऊपर बिंदुओं के साथ समान रूप से स्थित होती है।
- समतल सतह (Plane Surface):
- एक सतह जो अपने ऊपर सीधी रेखाओं के साथ समान रूप से स्थित होती है।
- Euclid की कुछ परिभाषाएँ (The Elements, Book 1):
- एक बिंदु वह है जिसका कोई भाग नहीं होता।
- एक रेखा चौड़ाई रहित लंबाई है।
- एक रेखा के सिरे बिंदु होते हैं।
- एक सीधी रेखा वह है जो अपने ऊपर बिंदुओं के साथ समान रूप से स्थित होती है।
- एक सतह वह है जिसकी केवल लंबाई और चौड़ाई होती है।
- एक सतह के किनारे रेखाएँ होती हैं।
- एक समतल सतह वह है जो अपने ऊपर सीधी रेखाओं के साथ समान रूप से स्थित होती है।
ముఖ్యమైనది
Euclid का 'The Elements' 13 पुस्तकों में विभाजित है और इसने 2000 से अधिक वर्षों तक ज्यामितीय शिक्षा का आधार बनाया।
గుర్తుంచుకోండి
बिंदु, रेखा और तल ज्यामिति के अपरिभाषित मूलभूत निर्माण खंड हैं। इन्हें परिभाषित नहीं किया जा सकता, केवल समझा जा सकता है।
Euclid के अभिगृहीत और अभिधारणाएँ
Euclid ने अपने ज्यामितीय सिद्धांतों को कुछ मूलभूत कथनों पर आधारित किया जिन्हें उन्होंने अभिगृहीत (Axioms) और अभिधारणाएँ (Postulates) कहा।
- अभिगृहीत (Axioms):
- ये वे कथन हैं जिन्हें बिना प्रमाण के सत्य मान लिया जाता है।
- ये पूरे गणित में लागू होते हैं, न कि केवल ज्यामिति में। इन्हें 'सामान्य धारणाएँ' (Common Notions) भी कहा जाता है।
Euclid के अभिगृहीत:
- वे वस्तुएँ जो एक ही वस्तु के बराबर हों, एक दूसरे के बराबर होती हैं।
- उदाहरण: यदि \(a=c\) और \(b=c\), तो \(a=b\)।
- यदि बराबरों में बराबर जोड़े जाएँ, तो पूर्ण भी बराबर होते हैं।
- उदाहरण: यदि \(a=b\), तो \(a+c = b+c\)।
- यदि बराबरों में से बराबर घटाए जाएँ, तो शेषफल भी बराबर होते हैं।
- उदाहरण: यदि \(a=b\), तो \(a-c = b-c\)।
- वे वस्तुएँ जो एक दूसरे पर संपाती हों, एक दूसरे के बराबर होती हैं।
- उदाहरण: यदि एक रेखाखंड दूसरे पर पूरी तरह से फिट बैठता है, तो उनकी लंबाई बराबर होती है।
- पूर्ण अपने भाग से बड़ा होता है।
- उदाहरण: यदि एक रेखाखंड AB है और उस पर एक बिंदु C है, तो \(AB > AC\) और \(AB > CB\)।
- एक ही वस्तु के दुगुने एक दूसरे के बराबर होते हैं।
- उदाहरण: यदि \(a=b\), तो \(2a = 2b\)।
- एक ही वस्तु के आधे एक दूसरे के बराबर होते हैं।
- उदाहरण: यदि \(a=b\), तो \(\frac{1}{2}a = \frac{1}{2}b\)।
- अभिधारणाएँ (Postulates):
- ये वे कथन हैं जिन्हें बिना प्रमाण के सत्य मान लिया जाता है।
- ये विशेष रूप से ज्यामिति से संबंधित होते हैं।
Euclid की अभिधारणाएँ:
- एक बिंदु से एक अन्य बिंदु तक एक सीधी रेखा खींची जा सकती है।
- यह बताता है कि दो अलग-अलग बिंदुओं से होकर केवल एक और केवल एक ही सीधी रेखा गुजरती है।
- एक शांत रेखा (रेखाखंड) को अनिश्चित रूप से बढ़ाया जा सकता है।
- इसका अर्थ है कि एक रेखाखंड को दोनों दिशाओं में अनंत तक बढ़ाया जा सकता है ताकि एक रेखा बन सके।
- किसी भी केंद्र और किसी भी त्रिज्या से एक वृत्त खींचा जा सकता है।
- यह बताता है कि एक वृत्त को परिभाषित करने के लिए केवल एक केंद्र बिंदु और एक त्रिज्या की आवश्यकता होती है।
- सभी समकोण एक दूसरे के बराबर होते हैं।
- चाहे उनका आकार या अभिविन्यास कुछ भी हो, सभी 90° कोण समान होते हैं।
- यदि एक सीधी रेखा दो सीधी रेखाओं पर गिरकर एक ही ओर अंतःकोण इस प्रकार बनाए कि उन दोनों कोणों का योग मिलकर दो समकोणों से कम हो, तो वे दोनों सीधी रेखाएँ अनिश्चित रूप से बढ़ाए जाने पर उसी ओर मिलती हैं जिस ओर योग दो समकोणों से कम होता है।
- यह Euclid की सबसे प्रसिद्ध और विवादास्पद अभिधारणा है, जिसे 'समांतर अभिधारणा' (Parallel Postulate) के नाम से जाना जाता है।
- इसका एक समतुल्य कथन है: 'एक दिए गए बिंदु से, जो एक दी गई रेखा पर स्थित नहीं है, केवल एक ही रेखा खींची जा सकती है जो दी गई रेखा के समानांतर हो।' (Playfair's Axiom)
- अभिगृहीत और अभिधारणा में अंतर:
- अभिगृहीत: पूरे गणित में सत्य, सामान्य कथन।
- अभिधारणा: विशेष रूप से ज्यामिति से संबंधित, विशिष्ट कथन।
- दोनों को बिना प्रमाण के सत्य माना जाता है।
నిర్వచనం
अभिगृहीत (Axiom): एक कथन जिसे बिना प्रमाण के सत्य मान लिया जाता है और जो पूरे गणित में लागू होता है।
నిర్వచనం
अभिधारणा (Postulate): एक कथन जिसे बिना प्रमाण के सत्य मान लिया जाता है और जो विशेष रूप से ज्यामिति से संबंधित होता है।
ముఖ్యమైనది
Euclid की पाँचवीं अभिधारणा (समांतर अभिधारणा) ने गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति के विकास का मार्ग प्रशस्त किया।
अभिगृहीत और अभिधारणाओं का अनुप्रयोग
Euclid के अभिगृहीत और अभिधारणाएँ ज्यामितीय कथनों को सिद्ध करने के लिए आधार प्रदान करते हैं।
- प्रमेय (Theorem): वे कथन जिन्हें अभिगृहीतों, अभिधारणाओं और पहले से सिद्ध किए गए प्रमेयों का उपयोग करके प्रमाणित किया जा सकता है।
- Euclid के अभिगृहीतों का अनुप्रयोग:
- अभिगृहीत 1: यदि \(x = 5\) और \(y = 5\), तो \(x = y\)। (दो अलग-अलग चर एक ही संख्या के बराबर हैं, इसलिए वे एक दूसरे के बराबर हैं।)
- अभिगृहीत 2: यदि \(AB = CD\) है, तो \(AB + EF = CD + EF\)। (बराबर रेखाखंडों में बराबर लंबाई जोड़ने पर परिणामी लंबाई बराबर होती है।)
- अभिगृहीत 3: यदि \(\angle A = \angle B\) है, तो \(\angle A - \angle C = \angle B - \angle C\)। (बराबर कोणों में से बराबर कोण घटाने पर शेष कोण बराबर होते हैं।)
- अभिगृहीत 5: एक त्रिभुज का क्षेत्रफल हमेशा उसके किसी भी भाग (जैसे एक छोटा त्रिभुज या चतुर्भुज) के क्षेत्रफल से बड़ा होता है। पूर्ण हमेशा अपने भाग से बड़ा होता है।
- Euclid की अभिधारणाओं का अनुप्रयोग:
- अभिधारणा 1: दो अलग-अलग बिंदु P और Q दिए गए हैं। हम जानते हैं कि इन दोनों बिंदुओं से होकर ठीक एक सीधी रेखा PQ गुजरती है।
- अभिधारणा 2: एक रेखाखंड AB दिया गया है। हम इसे दोनों दिशाओं में अनंत तक बढ़ा सकते हैं ताकि एक रेखा बन सके।
- अभिधारणा 3: एक बिंदु O और एक त्रिज्या r दी गई है। हम बिंदु O को केंद्र मानकर और r को त्रिज्या मानकर एक अद्वितीय वृत्त खींच सकते हैं।
- अभिधारणा 4: आपके पास एक 90° का कोण है और एक और 90° का कोण है। Euclid की अभिधारणा 4 के अनुसार, ये दोनों कोण हमेशा बराबर होंगे।
- अभिधारणा 5 (समांतर अभिधारणा): यदि एक तिर्यक रेखा दो रेखाओं को काटती है और एक ही तरफ के अंतःकोणों का योग \(< 180^\circ\) है, तो वे रेखाएँ उसी तरफ मिलेंगी। इसका मतलब है कि वे रेखाएँ समानांतर नहीं हैं। यदि योग \(= 180^\circ\) होता, तो वे समानांतर होतीं।
- कुछ महत्वपूर्ण प्रमेय (Theorems):
- प्रमेय 1: दो अलग-अलग रेखाओं में एक से अधिक उभयनिष्ठ बिंदु नहीं हो सकते।
- प्रमाण:
- मान लीजिए दो अलग-अलग रेखाएँ \(l\) और \(m\) हैं।
- मान लीजिए कि वे दो अलग-अलग बिंदुओं P और Q पर प्रतिच्छेद करती हैं।
- लेकिन Euclid की अभिधारणा 1 कहती है कि दो अलग-अलग बिंदुओं से होकर केवल एक ही सीधी रेखा गुजर सकती है।
- यह हमारी धारणा का खंडन करता है कि \(l\) और \(m\) दो अलग-अलग रेखाएँ हैं जो P और Q से गुजरती हैं।
- अतः, हमारी धारणा गलत है। दो अलग-अलग रेखाओं में एक से अधिक उभयनिष्ठ बिंदु नहीं हो सकते।
- प्रमेय 2: यदि A, B, C एक रेखा पर तीन बिंदु हैं, और B, A और C के बीच स्थित है, तो \(AB + BC = AC\) होता है।
- प्रमाण:
- रेखाखंड AC पर बिंदु B स्थित है।
- Euclid के अभिगृहीत 4 के अनुसार, यदि वस्तुएँ एक दूसरे पर संपाती हों, तो वे बराबर होती हैं।
- यदि हम AB और BC को जोड़ते हैं, तो यह रेखाखंड AC पर संपाती होता है।
- Euclid के अभिगृहीत 5 के अनुसार, पूर्ण अपने भाग से बड़ा होता है। यहाँ AC पूर्ण है, और AB, BC इसके भाग हैं।
- अतः, \(AB + BC\) पूर्ण AC के बराबर होगा।
సూచన
Euclid के अभिगृहीत और अभिधारणाओं को क्रम संख्या के साथ याद रखना महत्वपूर्ण है। बोर्ड परीक्षाओं में अक्सर सीधे प्रश्न पूछे जाते हैं।
తప్పుడు అభిప్రాయం
अभिगृहीत और अभिधारणा के बीच के अंतर को लेकर भ्रमित न हों। अभिगृहीत सामान्य गणितीय सत्य हैं, जबकि अभिधारणाएँ ज्यामिति-विशिष्ट सत्य हैं।
