ch61

సంఖ్యలు గణితానికి మూలం. వివిధ రకాల సంఖ్యలను అర్థం చేసుకోవడం మరియు వాటిపై గణిత ప్రక్రియలు చేయడం ముఖ్యం.

పూర్ణాంకాలు (Integers)

• సహజ సంఖ్యలు (Natural Numbers): 1, 2, 3, ... (లెక్కించే సంఖ్యలు)
• పూర్ణ సంఖ్యలు (Whole Numbers): 0, 1, 2, 3, ... (సహజ సంఖ్యలు మరియు సున్నా)
• పూర్ణాంకాలు (Integers): ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... (ధన, ఋణ సంఖ్యలు మరియు సున్నా)

పూర్ణాంకాలపై గణిత ప్రక్రియలు

• కూడిక (Addition):
• ఒకే గుర్తు ఉన్న సంఖ్యలు: సంఖ్యలను కూడి అదే గుర్తును ఉంచండి. ఉదా: \(5 + 3 = 8\), \(-5 + (-3) = -8\)
• వేర్వేరు గుర్తులు ఉన్న సంఖ్యలు: పెద్ద సంఖ్య నుండి చిన్న సంఖ్యను తీసివేసి, పెద్ద సంఖ్య గుర్తును ఉంచండి. ఉదా: \(5 + (-3) = 2\), \(-5 + 3 = -2\)
• తీసివేత (Subtraction): తీసివేతను కూడికగా మార్చండి. తీసివేయబడే సంఖ్య గుర్తును మార్చండి. ఉదా: \(5 - 3 = 5 + (-3) = 2\), \(5 - (-3) = 5 + 3 = 8\)
• గుణకారం (Multiplication):
• ఒకే గుర్తు ఉన్న సంఖ్యలు: ఫలితం ధనాత్మకం. ఉదా: \(5 \times 3 = 15\), \(-5 \times (-3) = 15\)
• వేర్వేరు గుర్తులు ఉన్న సంఖ్యలు: ఫలితం ఋణాత్మకం. ఉదా: \(5 \times (-3) = -15\), \(-5 \times 3 = -15\)
• భాగహారం (Division): గుణకారం వలె గుర్తుల నియమాలు వర్తిస్తాయి. ఉదా: \(15 \div 3 = 5\), \(-15 \div (-3) = 5\), \(15 \div (-3) = -5\)

భిన్నాలు (Fractions)

• \(\frac{a}{b}\) రూపంలో ఉండే సంఖ్యలు, ఇక్కడ \(b \neq 0\).
• సమ భిన్నాలు (Proper Fractions): లవం < హారం. ఉదా: \(\frac{1}{2}, \frac{3}{4}\)
• అపక్రమ భిన్నాలు (Improper Fractions): లవం \(\geq\) హారం. ఉదా: \(\frac{5}{3}, \frac{7}{4}\)
• మిశ్రమ భిన్నాలు (Mixed Fractions): పూర్ణాంకం మరియు సమ భిన్నం కలయిక. ఉదా: \(1\frac{1}{2}\)

భిన్నాలపై గణిత ప్రక్రియలు

• కూడిక/తీసివేత:

1. హారాలను సమానం చేయండి (క.సా.గు. కనుగొనండి).
2. లవాలను కూడండి/తీసివేయండి.
3. ఫలితాన్ని సరళీకరించండి. ఉదా: \(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}\)

• గుణకారం: లవాలను గుణించి లవంగా, హారాలను గుణించి హారంగా రాయండి. ఉదా: \(\frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{8}{15}\)
• భాగహారం: మొదటి భిన్నాన్ని రెండవ భిన్నం యొక్క విలోమంతో గుణించండి. ఉదా: \(\frac{2}{3} \div \frac{4}{5} = \frac{2}{3} \times \frac{5}{4} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}\)

దశాంశాలు (Decimals)

• భిన్నాలను 10 యొక్క ఘాతాలుగా హారంగా రాసినప్పుడు ఏర్పడే సంఖ్యలు. ఉదా: \(0.5 = \frac{5}{10}\), \(0.25 = \frac{25}{100}\)

దశాంశాలపై గణిత ప్రక్రియలు

• కూడిక/తీసివేత: దశాంశ బిందువులను ఒకదాని కింద ఒకటి వచ్చేలా అమర్చి, సాధారణ కూడిక/తీసివేత చేయండి. ఉదా: \(2.35 + 1.2 = 3.55\)
• గుణకారం: దశాంశ బిందువులను విస్మరించి గుణించండి. ఫలితంలో, గుణించబడిన సంఖ్యలలోని మొత్తం దశాంశ స్థానాల సంఖ్యకు సమానమైన దశాంశ స్థానాలను కుడి నుండి ఎడమకు లెక్కించి దశాంశ బిందువును ఉంచండి. ఉదా: \(2.5 \times 1.2 = 3.00\)
• భాగహారం: భాజకాన్ని పూర్ణాంకంగా మార్చడానికి దశాంశ బిందువును కుడికి జరపండి. భాజ్యంలో కూడా అదే సంఖ్యలో దశాంశ స్థానాలను జరపండి. ఆపై సాధారణ భాగహారం చేయండి. ఉదా: \(4.5 \div 0.5 = 45 \div 5 = 9\)

పెద్ద సంఖ్యలను సంక్షిప్తంగా వ్యక్తపరచడానికి ఘాతాంకాలు ఉపయోగపడతాయి.

ఘాతాంక రూపం (Exponential Form)

• \(a^n\) అంటే \(a\) ను \(n\) సార్లు గుణించడం. ఇక్కడ \(a\) ను ఆధారం (base) అని, \(n\) ను ఘాతాంకం (exponent) అని అంటారు.
• ఉదా: \(2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8\)

ఘాతాంక నియమాలు (Laws of Exponents)

1. గుణకార నియమం: \(a^m \times a^n = a^{m+n}\)

• ఉదా: \(2^3 \times 2^4 = 2^{3+4} = 2^7\)

1. భాగహార నియమం: \(a^m \div a^n = a^{m-n}\) (ఇక్కడ \(a \neq 0\))

• ఉదా: \(5^6 \div 5^2 = 5^{6-2} = 5^4\)

1. ఘాతం యొక్క ఘాతం నియమం: \((a^m)^n = a^{mn}\)

• ఉదా: \((3^2)^3 = 3^{2 \times 3} = 3^6\)

1. గుణకారం యొక్క ఘాతం నియమం: \((ab)^n = a^n b^n\)

• ఉదా: \((2 \times 3)^4 = 2^4 \times 3^4\)

1. భాగహారం యొక్క ఘాతం నియమం: \((\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}\) (ఇక్కడ \(b \neq 0\))

• ఉదా: \((\frac{2}{5})^3 = \frac{2^3}{5^3}\)

1. సున్నా ఘాతాంకం: \(a^0 = 1\) (ఇక్కడ \(a \neq 0\))

• ఉదా: \(7^0 = 1\)

1. ఋణ ఘాతాంకం: \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\) (ఇక్కడ \(a \neq 0\))

• ఉదా: \(4^{-2} = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16}\)

ప్రామాణిక రూపం (Standard Form) / శాస్త్రీయ సంజ్ఞామానం (Scientific Notation)

• చాలా పెద్ద లేదా చాలా చిన్న సంఖ్యలను \(k \times 10^n\) రూపంలో వ్యక్తపరచడం, ఇక్కడ \(1 \leq k < 10\) మరియు \(n\) ఒక పూర్ణాంకం.
• ఉదాహరణలు:
• \(3,45,000 = 3.45 \times 10^5\)
• \(0.0000067 = 6.7 \times 10^{-6}\)

బీజగణితం అనేది తెలియని పరిమాణాలను (చరరాశులు) అక్షరాలతో సూచించి, వాటి మధ్య సంబంధాలను అధ్యయనం చేసే గణిత శాఖ.

బీజగణిత వ్యక్తీకరణలు (Algebraic Expressions)

• స్థిరాంకాలు (constants), చరరాశులు (variables) మరియు గణిత ప్రక్రియల (కూడిక, తీసివేత, గుణకారం, భాగహారం) కలయిక. ఉదా: \(2x + 5\), \(3y^2 - 7z\)
• పదాలు (Terms): వ్యక్తీకరణలోని భాగాలు, కూడిక లేదా తీసివేత గుర్తుల ద్వారా వేరు చేయబడతాయి. ఉదా: \(2x + 5\) లో \(2x\) మరియు \(5\) పదాలు.
• గుణకం (Coefficient): ఒక పదంలో చరరాశిని గుణించే సంఖ్యా విలువ. ఉదా: \(2x\) లో \(2\) గుణకం.
• సరూప పదాలు (Like Terms): ఒకే చరరాశులు మరియు ఒకే ఘాతాంకాలు కలిగిన పదాలు. ఉదా: \(3x\) మరియు \(5x\) సరూప పదాలు; \(2x^2\) మరియు \(7x^2\) సరూప పదాలు.

బీజగణిత వ్యక్తీకరణలపై గణిత ప్రక్రియలు

• కూడిక/తీసివేత: సరూప పదాలను మాత్రమే కూడవచ్చు లేదా తీసివేయవచ్చు.
• ఉదా: \((3x + 5) + (2x - 3) = (3x + 2x) + (5 - 3) = 5x + 2\)
• ఉదా: \((4y^2 + 2y) - (y^2 - 3y) = 4y^2 + 2y - y^2 + 3y = (4y^2 - y^2) + (2y + 3y) = 3y^2 + 5y\)
• గుణకారం:
• ఏకపదిని ఏకపదితో: గుణకాలను గుణించి, చరరాశుల ఘాతాంకాలను కూడండి. ఉదా: \((2x) \times (3x^2) = 6x^3\)
• ఏకపదిని బహుపదితో: ఏకపదిని బహుపదిలోని ప్రతి పదంతో గుణించండి (విభాగ న్యాయం). ఉదా: \(2x(x + 3) = 2x^2 + 6x\)
• బహుపదిని బహుపదితో: ఒక బహుపదిలోని ప్రతి పదాన్ని రెండవ బహుపదిలోని ప్రతి పదంతో గుణించి, సరూప పదాలను కలపండి. ఉదా: \((x+2)(x+3) = x(x+3) + 2(x+3) = x^2 + 3x + 2x + 6 = x^2 + 5x + 6\)

బీజగణిత సర్వసమీకరణాలు (Algebraic Identities)

• చరరాశి యొక్క ఏ విలువకైనా నిజమయ్యే సమీకరణాలు.

1. \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)
2. \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)
3. \((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\)
4. \((x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab\)

సమీకరణాలు (Equations)

• రెండు బీజగణిత వ్యక్తీకరణలు సమానం అని చూపించే గణిత వాక్యం, '=' గుర్తుతో వేరు చేయబడతాయి. ఉదా: \(2x + 5 = 11\)
• రేఖీయ సమీకరణాలు (Linear Equations): చరరాశి యొక్క అత్యధిక ఘాతాంకం 1 ఉండే సమీకరణాలు. ఉదా: \(3x - 7 = 8\)

సమీకరణాలను పరిష్కరించడం (Solving Equations)

• సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా ఒకే గణిత ప్రక్రియను చేయడం ద్వారా చరరాశి విలువను కనుగొనడం.
• పద్ధతులు:

1. సమతుల్య పద్ధతి (Balancing Method): సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా ఒకే సంఖ్యను కూడటం, తీసివేయడం, గుణించడం లేదా భాగించడం.
2. స్థానాంతర పద్ధతి (Transposition Method): ఒక పదాన్ని సమీకరణం యొక్క ఒక వైపు నుండి మరొక వైపుకు తరలించినప్పుడు దాని గుర్తు మారుతుంది (కూడిక \(\leftrightarrow\) తీసివేత, గుణకారం \(\leftrightarrow\) భాగహారం).

• ఉదాహరణ: \(2x + 5 = 11\)
• స్థానాంతర పద్ధతి:

1. \(2x = 11 - 5\) (5 ను కుడి వైపుకు తరలించగా, అది -5 అవుతుంది)
2. \(2x = 6\)
3. \(x = \frac{6}{2}\) (2 ను కుడి వైపుకు తరలించగా, అది భాగహారం అవుతుంది)
4. \(x = 3\)

నిష్పత్తి మరియు అనుపాతం రెండు పరిమాణాలను పోల్చడానికి ఉపయోగపడతాయి.

నిష్పత్తి (Ratio)

• రెండు ఒకే రకమైన పరిమాణాలను పోల్చడం. దీనిని \(a:b\) లేదా \(\frac{a}{b}\) గా సూచిస్తారు.
• నిష్పత్తికి యూనిట్లు ఉండవు.
• నిష్పత్తిని ఎల్లప్పుడూ సరళమైన రూపంలో వ్యక్తపరచాలి. ఉదా: 10 పెన్సిళ్లు మరియు 15 పెన్నుల నిష్పత్తి \(10:15 = 2:3\).

అనుపాతం (Proportion)

• రెండు నిష్పత్తులు సమానం అయితే, అవి అనుపాతంలో ఉన్నాయని అంటారు. దీనిని \(a:b :: c:d\) లేదా \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) గా సూచిస్తారు.
• ఇక్కడ \(a, b, c, d\) లను అనుపాత పదాలు అంటారు.
• \(a\) మరియు \(d\) లను అంత్య పదాలు (extremes) అని, \(b\) మరియు \(c\) లను మధ్య పదాలు (means) అని అంటారు.
• అనుపాత నియమం: అంత్య పదాల లబ్ధం = మధ్య పదాల లబ్ధం (\(ad = bc\)).

ఏకైక పద్ధతి (Unitary Method)

• అనేక వస్తువుల విలువ ఇవ్వబడినప్పుడు, ఒక వస్తువు విలువను కనుగొని, ఆపై కావలసిన సంఖ్యలో వస్తువుల విలువను కనుగొనే పద్ధతి.
• ఉదాహరణ: 5 పెన్నుల ధర ₹50 అయితే, 7 పెన్నుల ధర ఎంత?

1. 1 పెన్ను ధర = \(\frac{50}{5} = ₹10\)
2. 7 పెన్నుల ధర = \(7 \times 10 = ₹70\)

శాతాలు అనేవి 100 కు సంబంధించి ఒక పరిమాణాన్ని వ్యక్తపరచడానికి ఉపయోగపడతాయి.

శాతం (Percentage)

• 'శాతం' అంటే 'వందకు' అని అర్థం. దీనిని '%' గుర్తుతో సూచిస్తారు.
• \(x\% = \frac{x}{100}\)

శాతం మార్పిడులు

• భిన్నాన్ని శాతంగా మార్చడం: భిన్నాన్ని 100 తో గుణించండి. ఉదా: \(\frac{1}{4} = \frac{1}{4} \times 100\% = 25\%\)
• దశాంశాన్ని శాతంగా మార్చడం: దశాంశాన్ని 100 తో గుణించండి. ఉదా: \(0.75 = 0.75 \times 100\% = 75\%\)
• శాతాన్ని భిన్నంగా మార్చడం: శాతాన్ని 100 తో భాగించండి. ఉదా: \(20\% = \frac{20}{100} = \frac{1}{5}\)
• శాతాన్ని దశాంశంగా మార్చడం: శాతాన్ని 100 తో భాగించండి. ఉదా: \(45\% = \frac{45}{100} = 0.45\)

శాతాల అనువర్తనాలు

లాభం మరియు నష్టం (Profit and Loss)

• కొన్న ధర (Cost Price - CP): వస్తువును కొన్న ధర.
• అమ్మిన ధర (Selling Price - SP): వస్తువును అమ్మిన ధర.
• లాభం (Profit): \(SP > CP\) అయినప్పుడు. లాభం \(= SP - CP\)
• నష్టం (Loss): \(CP > SP\) అయినప్పుడు. నష్టం \(= CP - SP\)
• లాభ శాతం: \(\frac{\text{లాభం}}{CP} \times 100\%\)
• నష్ట శాతం: \(\frac{\text{నష్టం}}{CP} \times 100\%\)

సాధారణ వడ్డీ (Simple Interest - SI)

• అసలు (Principal - P) పై మాత్రమే లెక్కించబడే వడ్డీ.
• సూత్రం: \(SI = \frac{P \times T \times R}{100}\)
• \(P\) = అసలు (Principal)
• \(T\) = కాలం (Time in years)
• \(R\) = వడ్డీ రేటు (Rate of Interest per annum)
• మొత్తం (Amount - A): \(A = P + SI\)

చక్రవడ్డీ (Compound Interest - CI)

• అసలు మరియు అంతకుముందు సంపాదించిన వడ్డీ రెండింటిపై లెక్కించబడే వడ్డీ.
• మొత్తం (Amount): \(A = P(1 + \frac{R}{100})^n\)
• \(P\) = అసలు
• \(R\) = వడ్డీ రేటు (సంవత్సరానికి)
• \(n\) = కాలం (సంవత్సరాలలో)
• చక్రవడ్డీ: \(CI = A - P\)

తగ్గింపు (Discount)

• వస్తువు యొక్క గుర్తించిన ధర (Marked Price - MP) పై ఇవ్వబడే తగ్గింపు.
• తగ్గింపు = MP - SP
• తగ్గింపు శాతం: \(\frac{\text{తగ్గింపు}}{MP} \times 100\%\)

పన్నులు (Taxes)

• అమ్మకపు పన్ను (Sales Tax) / వస్తు సేవల పన్ను (GST): వస్తువుల అమ్మకంపై విధించే పన్ను. ఇది అమ్మిన ధర (SP) పై లెక్కించబడుతుంది మరియు SP కి కలుపబడుతుంది.
• చెల్లించాల్సిన మొత్తం = SP + పన్ను

జ్యామితి అనేది ఆకారాలు, పరిమాణాలు, స్థానాలు మరియు ప్రదేశాల లక్షణాలను అధ్యయనం చేస్తుంది.

ద్విమితీయ ఆకారాలు (2D Shapes)

• త్రిభుజం (Triangle): 3 భుజాలు, 3 శీర్షాలు, 3 కోణాలు.
• వైశాల్యం: \(\frac{1}{2} \times \text{ఆధారం} \times \text{ఎత్తు}\)
• చుట్టుకొలత: 3 భుజాల మొత్తం.
• చతుర్భుజం (Quadrilateral): 4 భుజాలు, 4 శీర్షాలు, 4 కోణాలు.
• దీర్ఘచతురస్రం (Rectangle): ఎదుటి భుజాలు సమానం, ప్రతి కోణం 90°. వైశాల్యం = \(పొడవు \times వెడల్పు\), చుట్టుకొలత = \(2(పొడవు + వెడల్పు)\).
• చతురస్రం (Square): అన్ని భుజాలు సమానం, ప్రతి కోణం 90°. వైశాల్యం = \(భుజం^2\), చుట్టుకొలత = \(4 \times భుజం\).
• సమాంతర చతుర్భుజం (Parallelogram): ఎదుటి భుజాలు సమాంతరం మరియు సమానం. వైశాల్యం = \(ఆధారం \times ఎత్తు\).
• ట్రెపీజియం (Trapezium): ఒక జత ఎదుటి భుజాలు సమాంతరం. వైశాల్యం = \(\frac{1}{2} \times (సమాంతర భుజాల మొత్తం) \times ఎత్తు\).
• వృత్తం (Circle): ఒక స్థిర బిందువు (కేంద్రం) నుండి సమాన దూరంలో ఉండే బిందువుల సమితి.
• చుట్టుకొలత (పరిధి): \(2\pi r\) లేదా \(\pi d\) (ఇక్కడ \(r\) వ్యాసార్థం, \(d\) వ్యాసం).
• వైశాల్యం: \(\pi r^2\).

త్రిమితీయ ఆకారాలు (3D Shapes)

• ఘనపరిమాణం (Volume): ఒక వస్తువు ఆక్రమించిన స్థలం.
• ఉపరితల వైశాల్యం (Surface Area): వస్తువు యొక్క అన్ని ఉపరితలాల మొత్తం వైశాల్యం.
• క్యూబాయిడ్ (Cuboid): 6 దీర్ఘచతురస్రాకార ముఖాలు.
• ఘనపరిమాణం: \(పొడవు \times వెడల్పు \times ఎత్తు\)
• మొత్తం ఉపరితల వైశాల్యం (TSA): \(2(lb + bh + hl)\)
• క్యూబ్ (Cube): 6 చతురస్రాకార ముఖాలు (అన్ని భుజాలు సమానం).
• ఘనపరిమాణం: \(భుజం^3\)
• మొత్తం ఉపరితల వైశాల్యం (TSA): \(6 \times భుజం^2\)
• స్థూపం (Cylinder): రెండు వృత్తాకార ఆధారాలు మరియు ఒక వక్ర ఉపరితలం.
• ఘనపరిమాణం: \(\pi r^2 h\)
• వక్ర ఉపరితల వైశాల్యం (CSA): \(2\pi rh\)
• మొత్తం ఉపరితల వైశాల్యం (TSA): \(2\pi r(r+h)\)

కొలతల మార్పిడి (Unit Conversion)

• పొడవు: 1 km = 1000 m, 1 m = 100 cm, 1 cm = 10 mm
• వైశాల్యం: 1 m² = 10000 cm², 1 హెక్టార్ = 10000 m²
• ఘనపరిమాణం: 1 m³ = 1000 లీటర్లు, 1 లీటర్ = 1000 cm³

దత్తాంశ నిర్వహణ అనేది సమాచారాన్ని సేకరించడం, నిర్వహించడం, విశ్లేషించడం మరియు వివరించడం.

దత్తాంశం (Data)

• నిర్దిష్ట ప్రయోజనం కోసం సేకరించబడిన వాస్తవాలు లేదా సంఖ్యా సమాచారం.

దత్తాంశాన్ని నిర్వహించడం (Organizing Data)

• పౌనఃపున్య పంపిణీ పట్టిక (Frequency Distribution Table): దత్తాంశంలోని ప్రతి అంశం ఎన్నిసార్లు పునరావృతమైందో చూపే పట్టిక.
• టాలీ గుర్తులు (Tally Marks): దత్తాంశాన్ని లెక్కించడానికి ఉపయోగించే గుర్తులు (||||).

దత్తాంశాన్ని ప్రాతినిధ్యం వహించడం (Representing Data)

• పిక్టోగ్రాఫ్ (Pictograph): చిత్రాలను ఉపయోగించి దత్తాంశాన్ని సూచించడం.
• బార్ గ్రాఫ్ (Bar Graph): బార్‌లను ఉపయోగించి దత్తాంశాన్ని సూచించడం. బార్‌ల ఎత్తు విలువను సూచిస్తుంది.
• ద్వి బార్ గ్రాఫ్ (Double Bar Graph): రెండు వేర్వేరు దత్తాంశ సమితులను ఒకే గ్రాఫ్‌లో పోల్చడానికి ఉపయోగపడుతుంది.
• వృత్తాకార రేఖాచిత్రం (Circle Graph) / పై చార్ట్ (Pie Chart): మొత్తం యొక్క భాగాలను చూపించడానికి వృత్తాన్ని ఉపయోగించడం. ప్రతి భాగం మొత్తం యొక్క శాతాన్ని సూచిస్తుంది.
• కేంద్ర కోణం = \(\frac{\text{భాగం విలువ}}{\text{మొత్తం విలువ}} \times 360^{\circ}\)

సంభావ్యత (Probability)

• ఒక సంఘటన జరిగే అవకాశం యొక్క కొలత.
• సూత్రం: \(P(\text{సంఘటన}) = \frac{\text{అనుకూల ఫలితాల సంఖ్య}}{\text{మొత్తం ఫలితాల సంఖ్య}}\)
• సంభావ్యత విలువ ఎల్లప్పుడూ 0 మరియు 1 మధ్య ఉంటుంది (0 \(\leq P(E) \leq\) 1).
• 0 సంభావ్యత అంటే అసాధ్యమైన సంఘటన.
• 1 సంభావ్యత అంటే ఖచ్చితమైన సంఘటన.