Comparing Quantities

प्रतिशत का अर्थ है 'प्रति सौ' या 'सौ में से'। यह एक भिन्न है जिसका हर 100 होता है।

• संकेत: प्रतिशत को '%' चिन्ह से दर्शाया जाता है।
• उदाहरण: 25% का अर्थ है \(\frac{25}{100}\).
• उपयोग: प्रतिशत का उपयोग तुलना करने के लिए किया जाता है क्योंकि यह मात्राओं को एक सामान्य आधार (100) पर लाता है।

प्रतिशत को भिन्न में बदलना

• दिए गए प्रतिशत को 100 से भाग दें।
• उदाहरण: \(40\% = \frac{40}{100} = \frac{2}{5}\)

प्रतिशत को दशमलव में बदलना

• दिए गए प्रतिशत को 100 से भाग दें (या दशमलव बिंदु को दो स्थान बाईं ओर ले जाएं)।
• उदाहरण: \(75\% = \frac{75}{100} = 0.75\)

भिन्न को प्रतिशत में बदलना

• दिए गए भिन्न को 100 से गुणा करें और प्रतिशत का चिन्ह लगाएं।
• उदाहरण: \(\frac{3}{4} = \frac{3}{4} \times 100\% = 75\%\)

दशमलव को प्रतिशत में बदलना

• दिए गए दशमलव को 100 से गुणा करें और प्रतिशत का चिन्ह लगाएं (या दशमलव बिंदु को दो स्थान दाईं ओर ले जाएं)।
• उदाहरण: \(0.25 = 0.25 \times 100\% = 25\%\)

दी गई मात्रा का प्रतिशत ज्ञात करना

• किसी संख्या 'x' का 'y%' ज्ञात करने के लिए: \(\frac{y}{100} \times x\)
• उदाहरण: 500 का 20% = \(\frac{20}{100} \times 500 = 100\)

एक मात्रा को दूसरी मात्रा के प्रतिशत के रूप में व्यक्त करना

• यदि 'A' को 'B' के प्रतिशत के रूप में व्यक्त करना है: \(\frac{A}{B} \times 100\%\)
• उदाहरण: 50, 200 का कितना प्रतिशत है? \(\frac{50}{200} \times 100\% = 25\%\)

वास्तविक जीवन की कई स्थितियों में, हमें मात्राओं में वृद्धि या कमी को प्रतिशत के रूप में व्यक्त करने की आवश्यकता होती है।

प्रतिशत वृद्धि (Percentage Increase)

• जब किसी मात्रा का मान बढ़ता है।
• सूत्र: \( \text{प्रतिशत वृद्धि} = \frac{\text{मूल्य में वृद्धि}}{\text{मूल प्रारंभिक मूल्य}} \times 100\% \)
• मूल्य में वृद्धि = नया मूल्य - मूल प्रारंभिक मूल्य

प्रतिशत कमी (Percentage Decrease)

• जब किसी मात्रा का मान घटता है।
• सूत्र: \( \text{प्रतिशत कमी} = \frac{\text{मूल्य में कमी}}{\text{मूल प्रारंभिक मूल्य}} \times 100\% \)
• मूल्य में कमी = मूल प्रारंभिक मूल्य - नया मूल्य

नया मूल्य ज्ञात करना जब प्रतिशत वृद्धि/कमी दी गई हो

• वृद्धि के लिए: नया मूल्य = मूल मूल्य \( \times (1 + \frac{\text{प्रतिशत वृद्धि}}{100}) \)
• कमी के लिए: नया मूल्य = मूल मूल्य \( \times (1 - \frac{\text{प्रतिशत कमी}}{100}) \)

महत्वपूर्ण बिंदु:

• प्रतिशत वृद्धि या कमी की गणना हमेशा मूल प्रारंभिक मूल्य पर की जाती है।
• यदि किसी वस्तु का मूल्य पहले X% बढ़ता है और फिर X% घटता है, तो हमेशा शुद्ध कमी होती है।
• शुद्ध कमी प्रतिशत = \( \frac{X^2}{100} \% \)
• यदि किसी वस्तु का मूल्य पहले X% बढ़ता है और फिर Y% घटता है, तो शुद्ध परिवर्तन प्रतिशत = \( (X - Y - \frac{XY}{100}) \% \)
• धनात्मक मान वृद्धि दर्शाता है, ऋणात्मक मान कमी दर्शाता है।

व्यापार में, वस्तुओं को खरीदा और बेचा जाता है। इन लेनदेन में लाभ या हानि हो सकती है।

मुख्य पद (Key Terms):

• क्रय मूल्य (Cost Price - C.P.): वह मूल्य जिस पर कोई वस्तु खरीदी जाती है। इसमें अतिरिक्त खर्च (जैसे परिवहन, मरम्मत) भी शामिल हो सकते हैं जिन्हें ओवरहेड शुल्क (Overhead Charges) कहा जाता है।
• कुल C.P. = वस्तु का मूल्य + ओवरहेड शुल्क
• विक्रय मूल्य (Selling Price - S.P.): वह मूल्य जिस पर कोई वस्तु बेची जाती है।
• लाभ (Profit) या लाभ (Gain): जब S.P. > C.P. हो।
• लाभ = S.P. - C.P.
• हानि (Loss): जब C.P. > S.P. हो।
• हानि = C.P. - S.P.

लाभ प्रतिशत और हानि प्रतिशत

• लाभ या हानि प्रतिशत की गणना हमेशा क्रय मूल्य (C.P.) पर की जाती है।
• लाभ प्रतिशत: \( \text{लाभ\%} = \frac{\text{लाभ}}{\text{C.P.}} \times 100\% \)
• हानि प्रतिशत: \( \text{हानि\%} = \frac{\text{हानि}}{\text{C.P.}} \times 100\% \)

S.P. और C.P. के बीच संबंध

• जब लाभ हो:
• \( S.P. = C.P. \times (1 + \frac{\text{लाभ\%}}{100}) \)
• \( C.P. = \frac{S.P.}{(1 + \frac{\text{लाभ\%}}{100})} \)
• जब हानि हो:
• \( S.P. = C.P. \times (1 - \frac{\text{हानि\%}}{100}) \)
• \( C.P. = \frac{S.P.}{(1 - \frac{\text{हानि\%}}{100})} \)

ओवरहेड शुल्क (Overhead Charges)

• ये वे अतिरिक्त खर्च होते हैं जो किसी वस्तु को खरीदने के बाद उसे बेचने योग्य बनाने के लिए किए जाते हैं।
• उदाहरण: मरम्मत, परिवहन, स्थापना शुल्क।
• ये हमेशा क्रय मूल्य में जोड़े जाते हैं ताकि कुल क्रय मूल्य प्राप्त हो सके।

छूट वह कमी है जो किसी वस्तु के अंकित मूल्य (Marked Price) पर दी जाती है। यह ग्राहकों को आकर्षित करने या बिक्री बढ़ाने के लिए दी जाती है।

मुख्य पद (Key Terms):

• अंकित मूल्य (Marked Price - M.P.) / सूची मूल्य (List Price): वह मूल्य जो किसी वस्तु पर अंकित होता है या सूचीबद्ध होता है।
• छूट (Discount): अंकित मूल्य में कमी।
• छूट = अंकित मूल्य - विक्रय मूल्य (S.P.)
• विक्रय मूल्य (Selling Price - S.P.): छूट के बाद ग्राहक द्वारा भुगतान किया गया मूल्य।
• S.P. = अंकित मूल्य - छूट

छूट प्रतिशत (Discount Percentage)

• छूट प्रतिशत की गणना हमेशा अंकित मूल्य (M.P.) पर की जाती है।
• सूत्र: \( \text{छूट\%} = \frac{\text{छूट}}{\text{अंकित मूल्य}} \times 100\% \)

S.P. और M.P. के बीच संबंध

• \( S.P. = M.P. \times (1 - \frac{\text{छूट\%}}{100}) \)
• \( M.P. = \frac{S.P.}{(1 - \frac{\text{छूट\%}}{100})} \)

क्रमिक छूट (Successive Discounts)

• जब एक के बाद एक कई छूट दी जाती हैं।
• उदाहरण: यदि 20% और 10% की दो क्रमिक छूट दी जाती हैं, तो यह सीधे 30% की छूट के बराबर नहीं होता है।
• गणना: पहले छूट लागू करें, फिर शेष मूल्य पर दूसरी छूट लागू करें।
• अंतिम S.P. = M.P. \( \times (1 - \frac{\text{छूट1\%}}{100}) \times (1 - \frac{\text{छूट2\%}}{100}) \)
• समकक्ष एकल छूट: \( (D_1 + D_2 - \frac{D_1 D_2}{100}) \% \)
• जहाँ \(D_1\) और \(D_2\) क्रमिक छूट प्रतिशत हैं।

सरकार द्वारा वस्तुओं और सेवाओं की बिक्री पर लगाए गए कर। ये कर ग्राहक द्वारा भुगतान किए जाते हैं और दुकानदार द्वारा सरकार को जमा किए जाते हैं।

बिक्री कर (Sales Tax)

• यह वस्तु के विक्रय मूल्य पर लगाया जाता है।
• ग्राहक द्वारा भुगतान की गई कुल राशि = विक्रय मूल्य + बिक्री कर
• बिक्री कर की राशि = विक्रय मूल्य का बिक्री कर प्रतिशत
• उदाहरण: यदि एक वस्तु का S.P. ₹100 है और बिक्री कर 5% है, तो बिक्री कर = \( 5\% \text{ of } 100 = \text{₹}5 \)। कुल भुगतान = \( \text{₹}100 + \text{₹}5 = \text{₹}105 \)।

मूल्य वर्धित कर (Value Added Tax - VAT)

• यह उत्पादन के प्रत्येक चरण में मूल्य वृद्धि पर लगाया जाता है।
• भारत में, VAT को अब वस्तु एवं सेवा कर (Goods and Services Tax - GST) द्वारा प्रतिस्थापित कर दिया गया है।

वस्तु एवं सेवा कर (Goods and Services Tax - GST)

• यह भारत में वस्तुओं और सेवाओं की आपूर्ति पर लगाया जाने वाला एक अप्रत्यक्ष कर है।
• यह VAT और अन्य अप्रत्यक्ष करों को प्रतिस्थापित करता है।
• कुल भुगतान की गई राशि = वस्तु का मूल्य + GST
• GST की राशि = वस्तु के मूल्य का GST प्रतिशत

महत्वपूर्ण बिंदु:

• कर (Tax) हमेशा वस्तु के मूल्य में जोड़ा जाता है, जबकि छूट (Discount) घटाई जाती है।
• यदि छूट और कर दोनों लागू होते हैं, तो छूट पहले लागू होती है (अंकित मूल्य पर), और फिर कर छूट के बाद के मूल्य पर लागू होता है।
• अंतिम मूल्य = (अंकित मूल्य - छूट) + कर
• गुणन का क्रमविनिमेय गुण (Commutative Property of Multiplication): यदि किसी वस्तु पर छूट और कर दोनों लागू होते हैं, तो अंतिम मूल्य समान रहेगा चाहे छूट पहले लागू की जाए या कर।
• उदाहरण: यदि M.P. = ₹100, छूट = 10%, कर = 5%
• छूट पहले: S.P. = \( 100 - 10 = 90 \)। कर = \( 5\% \text{ of } 90 = 4.5 \)। अंतिम मूल्य = \( 90 + 4.5 = 94.5 \)।
• कर पहले: मूल्य + कर = \( 100 + 5 = 105 \)। छूट = \( 10\% \text{ of } 105 = 10.5 \)। अंतिम मूल्य = \( 105 - 10.5 = 94.5 \)।
• यह केवल तभी सत्य है जब कर मूल मूल्य पर नहीं, बल्कि छूट के बाद के मूल्य पर लगाया जाता है। आमतौर पर, कर छूट के बाद के विक्रय मूल्य पर लगाया जाता है।

जब आप बैंक में पैसा जमा करते हैं या किसी से उधार लेते हैं, तो आपको या तो ब्याज मिलता है या ब्याज देना पड़ता है। साधारण ब्याज की गणना केवल मूल राशि (Principal) पर की जाती है।

मुख्य पद (Key Terms):

• मूलधन (Principal - P): वह राशि जो उधार ली जाती है या जमा की जाती है।
• ब्याज दर (Rate - R): वह दर जिस पर ब्याज की गणना की जाती है, आमतौर पर प्रति वर्ष प्रतिशत में (p.a. - per annum)।
• समय (Time - T): वह अवधि जिसके लिए पैसा उधार लिया जाता है या जमा किया जाता है, आमतौर पर वर्षों में।
• ब्याज (Interest - I): मूलधन के उपयोग के लिए भुगतान की गई या प्राप्त की गई अतिरिक्त राशि।
• मिश्रधन (Amount - A): मूलधन और ब्याज का योग।

साधारण ब्याज की गणना

• साधारण ब्याज की गणना हमेशा मूलधन (P) पर की जाती है, चाहे समय अवधि कितनी भी हो।
• सूत्र: \( S.I. = \frac{P \times R \times T}{100} \)
• जहाँ R प्रतिशत में है। यदि R को दशमलव में लिया जाता है, तो सूत्र \( S.I. = P \times R \times T \) होगा।
• मिश्रधन (Amount): \( A = P + S.I. \)

S.I. से संबंधित अन्य सूत्र

• \( P = \frac{S.I. \times 100}{R \times T} \)
• \( R = \frac{S.I. \times 100}{P \times T} \)
• \( T = \frac{S.I. \times 100}{P \times R} \)

महत्वपूर्ण बिंदु:

• समय (T) हमेशा वर्षों में होना चाहिए। यदि महीनों में दिया गया है, तो उसे 12 से भाग देकर वर्षों में बदलें। यदि दिनों में दिया गया है, तो उसे 365 से भाग देकर वर्षों में बदलें।
• साधारण ब्याज में, ब्याज की राशि हर साल समान रहती है।

चक्रवृद्धि ब्याज वह ब्याज है जो न केवल मूलधन पर अर्जित होता है, बल्कि पिछले अवधियों के संचित ब्याज पर भी अर्जित होता है। इसे 'ब्याज पर ब्याज' भी कहा जाता है।

चक्रवृद्धि ब्याज की गणना

• चक्रवृद्धि ब्याज में, ब्याज की गणना प्रत्येक 'रूपांतरण अवधि' (Conversion Period) के अंत में की जाती है और इसे मूलधन में जोड़ दिया जाता है। अगली अवधि के लिए ब्याज इस नए, बढ़े हुए मूलधन पर गणना की जाती है।
• रूपांतरण अवधि: वह समय अवधि जिसके बाद ब्याज को मूलधन में जोड़ा जाता है। यह वार्षिक, अर्ध-वार्षिक या त्रैमासिक हो सकती है।

चक्रवृद्धि ब्याज के लिए सूत्र

• मिश्रधन (Amount - A): \( A = P (1 + \frac{R}{100})^n \)
• जहाँ:
• P = मूलधन
• R = प्रति वर्ष ब्याज दर (प्रतिशत में)
• n = समय अवधि (वर्षों में)
• चक्रवृद्धि ब्याज (C.I.): \( C.I. = A - P \)
• या \( C.I. = P [ (1 + \frac{R}{100})^n - 1 ] \)

विभिन्न रूपांतरण अवधियों के लिए

• वार्षिक रूप से संयोजित (Compounded Annually):
• \( A = P (1 + \frac{R}{100})^n \)
• जहाँ n = वर्षों की संख्या।
• अर्ध-वार्षिक रूप से संयोजित (Compounded Half-Yearly / Semi-Annually):
• ब्याज दर आधी हो जाती है (\(\frac{R}{2}\)), और समय अवधि दोगुनी हो जाती है (\(2n\))।
• \( A = P (1 + \frac{R/2}{100})^{2n} \)
• त्रैमासिक रूप से संयोजित (Compounded Quarterly):
• ब्याज दर एक-चौथाई हो जाती है (\(\frac{R}{4}\)), और समय अवधि चौगुनी हो जाती है (\(4n\))।
• \( A = P (1 + \frac{R/4}{100})^{4n} \)

साधारण ब्याज और चक्रवृद्धि ब्याज में अंतर

| विशेषता | साधारण ब्याज (S.I.) | चक्रवृद्धि ब्याज (C.I.) | | :------------- | :---------------------------------------------------- | :----------------------------------------------------------------------------------- | | गणना का आधार | केवल मूलधन पर | मूलधन और संचित ब्याज दोनों पर | | ब्याज की राशि | प्रत्येक अवधि के लिए समान रहती है | प्रत्येक अवधि के बाद बढ़ती जाती है (जब तक ब्याज दर स्थिर रहती है) | | वृद्धि | रैखिक (Linear) | घातीय (Exponential) | | वास्तविक जीवन | कम उपयोग (छोटे ऋण, कुछ सरकारी योजनाएँ) | अधिकांश बैंक जमा, ऋण, निवेश | | लाभ | उधारकर्ता के लिए कम महंगा | निवेशक के लिए अधिक लाभदायक |

महत्वपूर्ण बिंदु:

• पहले वर्ष के लिए, साधारण ब्याज और चक्रवृद्धि ब्याज हमेशा समान होते हैं।
• दो या अधिक वर्षों के लिए, चक्रवृद्धि ब्याज हमेशा साधारण ब्याज से अधिक होता है (यदि ब्याज दर शून्य न हो)।