Factorisation

बीजगणितीय व्यंजकों का गुणनखंडन संख्याओं के गुणनखंडन के समान है।

• संख्याओं के गुणनखंड: एक संख्या को उसके अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त करना।
• उदाहरण: \(30 = 2 \times 3 \times 5\)
• यहाँ 2, 3, 5 अभाज्य गुणनखंड हैं।

• बीजगणितीय व्यंजकों के गुणनखंड: एक बीजगणितीय व्यंजक को उसके अखंडनीय गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त करना।
• अखंडनीय गुणनखंड: ऐसे गुणनखंड जिन्हें आगे और गुणनखंडित नहीं किया जा सकता। इन्हें संख्याओं के लिए 'अभाज्य गुणनखंड' के समान माना जा सकता है।
• उदाहरण: \(5xy = 5 \times x \times y\)
• यहाँ 5, x, y अखंडनीय गुणनखंड हैं।
• उदाहरण: \(3x(x+2) = 3 \times x \times (x+2)\)
• यहाँ 3, x, \((x+2)\)​ अखंडनीय गुणनखंड हैं।
• उदाहरण: \(10x(x+2)(y+3) = 2 \times 5 \times x \times (x+2) \times (y+3)\)
• यहाँ 2, 5, x, \((x+2)\)​, \((y+3)\)​ अखंडनीय गुणनखंड हैं।

• मुख्य अंतर: संख्याओं में हम 'अभाज्य' कहते हैं, जबकि बीजगणितीय व्यंजकों में हम 'अखंडनीय' कहते हैं क्योंकि चर (variables) अभाज्य नहीं होते।

• गुणनखंडन का महत्व: जटिल व्यंजकों को सरल बनाने, समीकरणों को हल करने और भिन्नों को सरल बनाने में सहायक।

यह गुणनखंडन की सबसे सीधी विधि है। इसमें व्यंजक के सभी पदों में से उभयनिष्ठ गुणनखंडों को बाहर निकालना शामिल है।

• चरण-दर-चरण विधि:

1. व्यंजक के प्रत्येक पद के सभी अखंडनीय गुणनखंड लिखें।
2. सभी पदों में उभयनिष्ठ गुणनखंडों को पहचानें।
3. उभयनिष्ठ गुणनखंडों को बाहर निकालें और शेष पदों को कोष्ठक के अंदर लिखें।

• उदाहरण 1: \(2x + 4\)
• \(2x = 2 \times x\)
• \(4 = 2 \times 2\)
• उभयनिष्ठ गुणनखंड: 2
• गुणनखंडित रूप: \(2(x + 2)\)

• उदाहरण 2: \(3x + 3y\)
• \(3x = 3 \times x\)
• \(3y = 3 \times y\)
• उभयनिष्ठ गुणनखंड: 3
• गुणनखंडित रूप: \(3(x + y)\)

• उदाहरण 3: \(5xy + 10x\)
• \(5xy = 5 \times x \times y\)
• \(10x = 2 \times 5 \times x\)
• उभयनिष्ठ गुणनखंड: \(5 \times x = 5x\)
• गुणनखंडित रूप: \(5x(y + 2)\)

• जाँच: गुणनखंडित व्यंजक को वापस गुणा करके मूल व्यंजक प्राप्त किया जा सकता है।
• \(5x(y + 2) = 5x \times y + 5x \times 2 = 5xy + 10x\)

• महत्वपूर्ण: यह विधि तब उपयोगी होती है जब सभी पदों में एक या अधिक उभयनिष्ठ गुणनखंड हों।

यह विधि तब उपयोगी होती है जब व्यंजक के सभी पदों में कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड न हो, लेकिन कुछ पदों के समूहों में उभयनिष्ठ गुणनखंड हों।

• चरण-दर-चरण विधि:

1. व्यंजक के पदों को इस प्रकार पुनर्समूह करें कि प्रत्येक समूह में एक उभयनिष्ठ गुणनखंड हो।
2. प्रत्येक समूह से उभयनिष्ठ गुणनखंड बाहर निकालें।
3. अब, आपको एक नया उभयनिष्ठ गुणनखंड (जो एक द्विपद व्यंजक होगा) मिलेगा। इसे फिर से बाहर निकालें।

• उदाहरण 1: \(2xy + 2y + 3x + 3\)
• चरण 1: पुनर्समूहन
• \((2xy + 2y) + (3x + 3)\)
• चरण 2: प्रत्येक समूह से उभयनिष्ठ गुणनखंड बाहर निकालें
• \(2y(x + 1) + 3(x + 1)\)
• चरण 3: नया उभयनिष्ठ गुणनखंड बाहर निकालें
• \((x + 1)(2y + 3)\)

• उदाहरण 2: \(6xy - 4y + 6 - 9x\)
• चरण 1: पुनर्समूहन (क्रम बदलना पड़ सकता है)
• \((6xy - 9x) + (-4y + 6)\)
• चरण 2: प्रत्येक समूह से उभयनिष्ठ गुणनखंड बाहर निकालें
• \(3x(2y - 3) - 2(2y - 3)\)
• चरण 3: नया उभयनिष्ठ गुणनखंड बाहर निकालें
• \((2y - 3)(3x - 2)\)

• महत्वपूर्ण बिंदु:
• सही पुनर्समूहन खोजना महत्वपूर्ण है। यदि एक पुनर्समूहन काम नहीं करता है, तो दूसरे क्रम का प्रयास करें।
• कभी-कभी, ऋण चिह्न को भी उभयनिष्ठ गुणनखंड के रूप में बाहर निकालना पड़ता है ताकि कोष्ठक के अंदर के पद समान हो जाएँ।

• जाँच: गुणनखंडित व्यंजक को गुणा करके मूल व्यंजक प्राप्त किया जा सकता है।

कुछ बीजगणितीय व्यंजक मानक सर्वसमिकाओं के रूप में होते हैं, जिनका उपयोग करके उन्हें आसानी से गुणनखंडित किया जा सकता है।

• मुख्य सर्वसमिकाएँ (याद रखें!):

1. \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)
2. \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)
3. \((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\)

• उपयोग कैसे करें:
• दिए गए व्यंजक को इन सर्वसमिकाओं में से किसी एक के रूप में पहचानें।
• 'a' और 'b' के मानों को पहचानें।
• फिर व्यंजक को सीधे गुणनखंडित रूप में लिखें।

• उदाहरण 1: \(x^2 + 8x + 16\)
• यह \(a^2 + 2ab + b^2\)​ के रूप में है।
• \(a^2 = x^2 \Rightarrow a = x\)
• \(b^2 = 16 \Rightarrow b = 4\)
• जाँच करें: \(2ab = 2(x)(4) = 8x\)​। यह मेल खाता है।
• गुणनखंडित रूप: \((x + 4)^2\)

• उदाहरण 2: \(4y^2 - 12y + 9\)
• यह \(a^2 - 2ab + b^2\)​ के रूप में है।
• \(a^2 = 4y^2 \Rightarrow a = 2y\)
• \(b^2 = 9 \Rightarrow b = 3\)
• जाँच करें: \(2ab = 2(2y)(3) = 12y\)​। यह मेल खाता है।
• गुणनखंडित रूप: \((2y - 3)^2\)

• उदाहरण 3: \(49p^2 - 36q^2\)
• यह \(a^2 - b^2\)​ के रूप में है।
• \(a^2 = 49p^2 \Rightarrow a = 7p\)
• \(b^2 = 36q^2 \Rightarrow b = 6q\)
• गुणनखंडित रूप: \((7p + 6q)(7p - 6q)\)

• जटिल उदाहरण: \(a^2 - 2ab + b^2 - c^2\)
• पहले तीन पद एक सर्वसमिका हैं: \((a - b)^2\)
• तो, व्यंजक बन जाता है: \((a - b)^2 - c^2\)
• यह फिर से \(A^2 - B^2\)​ के रूप में है, जहाँ \(A = (a-b)\)​ और \(B = c\)​।
• गुणनखंडित रूप: \(( (a - b) + c )( (a - b) - c ) = (a - b + c)(a - b - c)\)

• टिप: हमेशा पहले उभयनिष्ठ गुणनखंडों की जाँच करें, फिर सर्वसमिकाओं का उपयोग करें।

यह विधि उन द्विघात व्यंजकों के लिए है जो \(x^2 + (a+b)x + ab\)​ के रूप में होते हैं, और जिन्हें \((x+a)(x+b)\)​ के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है।

• सर्वसमिका: \((x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab\)

• उद्देश्य: दिए गए द्विघात व्यंजक \(x^2 + Px + Q\)​ में, हमें दो संख्याएँ 'a' और 'b' ढूँढनी हैं जैसे कि:
• उनका योग \(P\)​ के बराबर हो (यानी, \(a+b = P\)​)
• उनका गुणनफल \(Q\)​ के बराबर हो (यानी, \(ab = Q\)​)

• चरण-दर-चरण विधि:

1. व्यंजक \(x^2 + Px + Q\)​ में \(P\)​ और \(Q\)​ को पहचानें।
2. \(Q\)​ के सभी गुणनखंड युग्मों को सूचीबद्ध करें।
3. उन गुणनखंड युग्मों में से, वह युग्म चुनें जिसका योग \(P\)​ के बराबर हो। ये आपकी 'a' और 'b' संख्याएँ होंगी।
4. व्यंजक को \((x+a)(x+b)\)​ के रूप में लिखें।

• उदाहरण 1: \(y^2 - 7y + 12\)
• यहाँ \(P = -7\)​ और \(Q = 12\)​।
• \(Q = 12\)​ के गुणनखंड युग्म:
• (1, 12) -> योग 13
• (2, 6) -> योग 8
• (3, 4) -> योग 7
• (-1, -12) -> योग -13
• (-2, -6) -> योग -8
• (-3, -4) -> योग -7 (यह हमारे \(P\)​ से मेल खाता है)
• तो, \(a = -3\)​ और \(b = -4\)​।
• गुणनखंडित रूप: \((y - 3)(y - 4)\)

• वैकल्पिक विधि (मध्य पद को तोड़ना):
• \(y^2 - 7y + 12\)
• \(y^2 - 3y - 4y + 12\) (मध्य पद \(-7y\)​ को \(-3y - 4y\)​ में तोड़ना)
• \(y(y - 3) - 4(y - 3)\) (पुनर्समूहन द्वारा)
• \((y - 3)(y - 4)\)

• उदाहरण 2: \(x^2 + 5x + 6\)
• \(P = 5, Q = 6\)
• \(Q = 6\)​ के गुणनखंड युग्म: (1,6), (2,3)
• योग 5 वाला युग्म: (2,3)
• गुणनखंडित रूप: \((x+2)(x+3)\)

• उदाहरण 3: \(x^2 - x - 6\)
• \(P = -1, Q = -6\)
• \(Q = -6\)​ के गुणनखंड युग्म: (1,-6), (-1,6), (2,-3), (-2,3)
• योग -1 वाला युग्म: (2,-3)
• गुणनखंडित रूप: \((x+2)(x-3)\)

• टिप: जब \(Q\)​ धनात्मक हो, तो 'a' और 'b' के चिह्न \(P\)​ के चिह्न के समान होंगे। जब \(Q\)​ ऋणात्मक हो, तो 'a' और 'b' के चिह्न विपरीत होंगे।

बीजगणितीय व्यंजकों का भाग गुणनखंडन के विपरीत है।

• नियम: संख्याओं के भाग के समान, हम गुणांकों को विभाजित करते हैं और चर के लिए घातांक के नियमों का उपयोग करते हैं।
• \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\)

• चरण-दर-चरण विधि:

1. संख्यात्मक गुणांकों को विभाजित करें।
2. समान आधार वाले चरों के लिए घातांक के नियमों का उपयोग करें।
3. यदि कोई चर केवल अंश या हर में है, तो उसे वैसे ही रखें।

• उदाहरण 1: \(24xy^2z^3 \div 6yz^2\)
• \(\frac{24xy^2z^3}{6yz^2}\)
• गुणांक: \(\frac{24}{6} = 4\)
• चर \(x\): \(x\)​ (हर में नहीं है)
• चर \(y\): \(\frac{y^2}{y} = y^{2-1} = y\)
• चर \(z\): \(\frac{z^3}{z^2} = z^{3-2} = z\)
• परिणाम: \(4xyz\)

• उदाहरण 2: \((-76a^2b^3c) \div (-19abc)\)
• \(\frac{-76a^2b^3c}{-19abc}\)
• गुणांक: \(\frac{-76}{-19} = 4\)
• चर \(a\): \(\frac{a^2}{a} = a\)
• चर \(b\): \(\frac{b^3}{b} = b^2\)
• चर \(c\): \(\frac{c}{c} = c^0 = 1\)
• परिणाम: \(4ab^2\)

• उदाहरण 3: \((-35m^6) \div 7m^3\)
• \(\frac{-35m^6}{7m^3}\)
• गुणांक: \(\frac{-35}{7} = -5\)
• चर \(m\): \(\frac{m^6}{m^3} = m^{6-3} = m^3\)
• परिणाम: \(-5m^3\)

• उदाहरण 4: \((15a^5b^7c^4) \div (5a^2b^2c^2)\)
• \(\frac{15a^5b^7c^4}{5a^2b^2c^2}\)
• गुणांक: \(\frac{15}{5} = 3\)
• चर \(a\): \(\frac{a^5}{a^2} = a^3\)
• चर \(b\): \(\frac{b^7}{b^2} = b^5\)
• चर \(c\): \(\frac{c^4}{c^2} = c^2\)
• परिणाम: \(3a^3b^5c^2\)

• महत्वपूर्ण: भाग करते समय, सुनिश्चित करें कि हर शून्य न हो।

एक बहुपद को एक एकपदी से विभाजित करने के दो मुख्य तरीके हैं:

• विधि 1: प्रत्येक पद को अलग-अलग विभाजित करना
• बहुपद के प्रत्येक पद को हर में दिए गए एकपदी से विभाजित करें।
• फिर परिणामों को जोड़ें या घटाएँ।

• उदाहरण 1: \((4a^3 + 20a^2 + 16a) \div 4a\)
• \(\frac{4a^3 + 20a^2 + 16a}{4a}\)
• \(\frac{4a^3}{4a} + rac{20a^2}{4a} + rac{16a}{4a}\)
• \(a^2 + 5a + 4\)

• उदाहरण 2: \((21a^3b^3 + 35a^4b^2 - 56a^2b^4) \div (-7a^2b^2)\)
• \(\frac{21a^3b^3}{-7a^2b^2} + rac{35a^4b^2}{-7a^2b^2} - rac{56a^2b^4}{-7a^2b^2}\)
• \(-3ab - 5a^2 + 8b^2\)

• विधि 2: उभयनिष्ठ गुणनखंड विधि (यदि संभव हो)
• अंश में बहुपद से उभयनिष्ठ गुणनखंड बाहर निकालें।
• यदि उभयनिष्ठ गुणनखंड हर के समान या उसका एक गुणनखंड है, तो उसे रद्द करें।

• उदाहरण 3: \((24x^2yz + 24xy^2z + 24xyz^2) \div 8xyz\)
• अंश से \(24xyz\)​ उभयनिष्ठ निकालें:
• \(24xyz(x + y + z)\)
• अब भाग करें:
• \(\frac{24xyz(x + y + z)}{8xyz}\)
• \(\frac{24}{8} \times \frac{xyz}{xyz} \times (x + y + z)\)
• \(3 \times 1 \times (x + y + z)\)
• \(3(x + y + z)\)

• टिप: यदि बहुपद के सभी पदों में हर का एक गुणनखंड है, तो उभयनिष्ठ गुणनखंड विधि अधिक कुशल हो सकती है। अन्यथा, प्रत्येक पद को अलग-अलग विभाजित करना बेहतर है।

एक बहुपद को दूसरे बहुपद से विभाजित करने के लिए, हम अक्सर गुणनखंडन का उपयोग करते हैं।

• चरण-दर-चरण विधि:

1. अंश में दिए गए बहुपद का गुणनखंडन करें।
2. हर में दिए गए बहुपद का गुणनखंडन करें (यदि आवश्यक हो)।
3. अंश और हर में उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें।

• उदाहरण 1: \((7x^2 + 14x) \div (x + 2)\)
• अंश का गुणनखंडन करें: \(7x^2 + 14x = 7x(x + 2)\)
• अब भाग करें: \(\frac{7x(x + 2)}{(x + 2)}\)
• उभयनिष्ठ गुणनखंड \((x+2)\)​ को रद्द करने पर:
• \(7x\)

• उदाहरण 2: \(44(x^4 - 5x^3 - 24x^2) \div 11x(x - 8)\)
• अंश का गुणनखंडन करें: \(44(x^4 - 5x^3 - 24x^2)\)
• पहले \(x^2\)​ उभयनिष्ठ निकालें: \(44x^2(x^2 - 5x - 24)\)
• अब \(x^2 - 5x - 24\)​ का गुणनखंडन करें (\(P = -5, Q = -24\)​, संख्याएँ -8 और 3 हैं):
• \(x^2 - 5x - 24 = (x - 8)(x + 3)\)
• तो, अंश है: \(44x^2(x - 8)(x + 3)\)
• अब भाग करें: \(\frac{44x^2(x - 8)(x + 3)}{11x(x - 8)}\)
• उभयनिष्ठ गुणनखंडों \(11\)​, \(x\)​ और \((x - 8)\)​ को रद्द करने पर:
• \(\frac{44}{11} \times \frac{x^2}{x} \times \frac{(x - 8)}{(x - 8)} \times (x + 3)\)
• \(4x(x + 3)\)

• महत्वपूर्ण: यह विधि तभी काम करती है जब अंश और हर में उभयनिष्ठ गुणनखंड हों। यदि कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है, तो भागफल एक भिन्न के रूप में ही रहेगा या लंबी भाग विधि का उपयोग करना होगा (जो इस कक्षा के दायरे से बाहर है)।

• जाँच: यदि संभव हो, तो भागफल को हर से गुणा करके मूल अंश प्राप्त करने का प्रयास करें।