Linear Equations in one Variable

इस खंड में, हम बीजीय व्यंजक और समीकरण के बीच के अंतर को दोहराएंगे और महत्वपूर्ण शब्दावली को समझेंगे।

• व्यंजक (Expression): संख्याओं, चरों और गणितीय संक्रियाओं (जोड़, घटाव, गुणा, भाग) का एक संयोजन। इसमें कोई समानता (=) चिह्न नहीं होता।
• उदाहरण: \(2x + 3\), \(5y - 7\), \(x^2 + 2x + 1\)
• समीकरण (Equation): एक गणितीय कथन जो यह बताता है कि दो व्यंजक बराबर हैं। इसमें हमेशा एक समानता (=) चिह्न होता है।
• उदाहरण: \(2x + 3 = 7\), \(5y - 7 = 13\), \(x^2 + 2x + 1 = 0\)
• चर (Variable): एक प्रतीक (आमतौर पर एक अक्षर जैसे \(x, y, z\)) जो एक अज्ञात मान का प्रतिनिधित्व करता है।
• स्थिरांक (Constant): एक निश्चित संख्यात्मक मान वाला पद।
• गुणांक (Coefficient): एक चर के साथ गुणा की गई संख्यात्मक मान।
• उदाहरण: \(5x\) में, \(5\) गुणांक है और \(x\) चर है।
• पद (Term): एक व्यंजक का एक हिस्सा जो जोड़ या घटाव के संकेतों से अलग होता है।
• उदाहरण: \(2x + 3y - 5\) में, \(2x\), \(3y\) और \(-5\) पद हैं।
• समान पद (Like Terms): वे पद जिनमें एक ही चर और एक ही घात होती है। उन्हें जोड़ा या घटाया जा सकता है।
• उदाहरण: \(3x\) और \(5x\) समान पद हैं। \(3x\) और \(5x^2\) समान पद नहीं हैं।
• रैखिक व्यंजक (Linear Expression): एक व्यंजक जिसमें चर की उच्चतम घात \(1\) होती है।
• उदाहरण: \(2x + 5\), \(3y\), \(z - 1\)
• रैखिक समीकरण (Linear Equation): एक समीकरण जिसमें चर की उच्चतम घात \(1\) होती है।
• उदाहरण: \(2x + 5 = 9\), \(3y = 12\), \(z - 1 = 4\)

एक चर में रैखिक समीकरण (Linear Equation in One Variable): एक रैखिक समीकरण जिसमें केवल एक प्रकार का चर होता है।

• उदाहरण: \(3x + 5 = 11\) (केवल \(x\) चर है), \(2y - 1 = 7\) (केवल \(y\) चर है)।

समीकरण का हल (Solution of an Equation): चर का वह मान जो समीकरण को सत्य बनाता है (यानी, बायां हाथ पक्ष (LHS) दायां हाथ पक्ष (RHS) के बराबर हो जाता है)।

समीकरण को हल करने के नियम:

1. समीकरण के दोनों पक्षों में एक ही संख्या जोड़ी या घटाई जा सकती है।
2. समीकरण के दोनों पक्षों को एक ही गैर-शून्य संख्या से गुणा या भाग किया जा सकता है।
3. समीकरण के दोनों पक्षों को एक ही व्यंजक से जोड़ा या घटाया जा सकता है (जिसमें चर शामिल हो सकते हैं)।

इन नियमों का उपयोग करके, हम समीकरण को सरल बनाते हैं ताकि चर को एक तरफ अलग किया जा सके।

पक्षांतरण विधि (Transposition Method):

• जब किसी पद को समीकरण के एक पक्ष से दूसरे पक्ष में ले जाया जाता है, तो उसका चिह्न बदल जाता है।
• जोड़ \(\rightarrow\) घटाव
• घटाव \(\rightarrow\) जोड़
• गुणा \(\rightarrow\) भाग
• भाग \(\rightarrow\) गुणा
• यह विधि मूल रूप से दोनों पक्षों से एक ही संख्या जोड़ने/घटाने या गुणा/भाग करने का एक छोटा तरीका है।
• उदाहरण: \(x + 5 = 10\)
• पक्षांतरण: \(x = 10 - 5 \implies x = 5\)
• मूल विधि: \(x + 5 - 5 = 10 - 5 \implies x = 5\)

समीकरण की जाँच (Checking the Solution):

• हल किए गए चर के मान को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करें।
• यदि LHS = RHS, तो आपका हल सही है।

एक चर वाले रैखिक समीकरणों को हल करने का लक्ष्य चर को समीकरण के एक तरफ अलग करना है।

चरण-दर-चरण विधि:

1. यदि आवश्यक हो तो कोष्ठकों को हटाएँ। (वितरण गुण का उपयोग करके)
2. समान पदों को एक साथ इकट्ठा करें (यदि एक ही पक्ष में हों)।
3. चर वाले पदों को एक तरफ ले जाएँ (आमतौर पर LHS) और स्थिरांक पदों को दूसरी तरफ ले जाएँ (आमतौर पर RHS) पक्षांतरण विधि का उपयोग करके।

• याद रखें: जब आप एक पद को एक पक्ष से दूसरे पक्ष में ले जाते हैं, तो उसका चिह्न बदल जाता है।

1. दोनों पक्षों पर समान पदों को सरल करें।
2. चर के गुणांक से दोनों पक्षों को भाग दें ताकि चर को अलग किया जा सके।
3. अपने हल की जाँच करें कि यह मूल समीकरण को संतुष्ट करता है या नहीं।

उदाहरण: \(2x - 3 = 7\) को हल करें।

• चरण 1: (कोष्ठक नहीं हैं)
• चरण 2: (समान पद नहीं हैं)
• चरण 3: स्थिरांक \(-3\) को RHS में ले जाएँ।
• \(2x = 7 + 3\)
• चरण 4: सरल करें।
• \(2x = 10\)
• चरण 5: \(x\) के गुणांक (\(2\)) से दोनों पक्षों को भाग दें।
• \(x = \frac{10}{2}\)
• \(x = 5\)
• चरण 6: जाँच करें।
• LHS = \(2(5) - 3 = 10 - 3 = 7\)
• RHS = \(7\)
• चूंकि LHS = RHS, हल \(x=5\) सही है।

भिन्नात्मक गुणांक वाले समीकरण:

• यदि समीकरण में भिन्न हैं, तो सभी पदों के हरों का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करें।
• समीकरण के दोनों पक्षों को LCM से गुणा करें। यह हरों को हटा देगा और समीकरण को सरल बना देगा।

उदाहरण: \(\frac{x}{3} + 1 = \frac{7x}{15} + 3\) को हल करें।

• चरण 1: हर \(3, 15\) का LCM \(15\) है।
• चरण 2: समीकरण के दोनों पक्षों को \(15\) से गुणा करें।
• \(15 \left( \frac{x}{3} + 1 \right) = 15 \left( \frac{7x}{15} + 3 \right)\)
• \(15 \cdot \frac{x}{3} + 15 \cdot 1 = 15 \cdot \frac{7x}{15} + 15 \cdot 3\)
• \(5x + 15 = 7x + 45\)
• चरण 3: चर वाले पदों को एक तरफ और स्थिरांकों को दूसरी तरफ ले जाएँ।
• \(15 - 45 = 7x - 5x\)
• चरण 4: सरल करें।
• \(-30 = 2x\)
• चरण 5: \(x\) के गुणांक (\(2\)) से भाग दें।
• \(x = \frac{-30}{2}\)
• \(x = -15\)
• चरण 6: जाँच करें।
• LHS = \(\frac{-15}{3} + 1 = -5 + 1 = -4\)
• RHS = \(\frac{7(-15)}{15} + 3 = -7 + 3 = -4\)
• चूंकि LHS = RHS, हल \(x=-15\) सही है।

रैखिक समीकरणों का उपयोग वास्तविक जीवन की विभिन्न समस्याओं को हल करने के लिए किया जाता है। शब्द समस्याओं को हल करने के लिए एक व्यवस्थित दृष्टिकोण का पालन करें।

शब्द समस्याओं को हल करने के चरण:

1. समस्या को ध्यान से पढ़ें: समस्या को अच्छी तरह से समझें कि क्या दिया गया है और क्या खोजना है।
2. चर को पहचानें: अज्ञात मात्रा को एक चर (जैसे \(x\)) के रूप में परिभाषित करें।
3. एक समीकरण बनाएँ: समस्या में दी गई जानकारी का उपयोग करके एक रैखिक समीकरण स्थापित करें। कुंजी शब्दों पर ध्यान दें जैसे 'से अधिक', 'से कम', 'का गुणा', 'का भाग', 'बराबर है', 'योग', 'अंतर', 'उत्पाद', 'भागफल'।
4. समीकरण को हल करें: चर के मान को खोजने के लिए समीकरण को हल करें।
5. हल की जाँच करें: सुनिश्चित करें कि आपका उत्तर समस्या के संदर्भ में समझ में आता है।

सामान्य प्रकार की शब्द समस्याएँ:

• संख्या-आधारित समस्याएँ: लगातार पूर्णांक, भिन्नों से संबंधित समस्याएँ।
• लगातार पूर्णांक: \(x, x+1, x+2, \dots\)
• लगातार सम पूर्णांक: \(x, x+2, x+4, \dots\)
• लगातार विषम पूर्णांक: \(x, x+2, x+4, \dots\)
• आयु-आधारित समस्याएँ: वर्तमान, भविष्य या अतीत की आयु से संबंधित।
• परिमाप/क्षेत्रफल-आधारित समस्याएँ: ज्यामितीय आकृतियों के माप से संबंधित।
• पैसे/लागत-आधारित समस्याएँ: वस्तुओं की लागत, कुल पैसे आदि।
• अनुपात-आधारित समस्याएँ: दो या दो से अधिक मात्राओं के बीच अनुपात।

उदाहरण: तीन लगातार पूर्णांकों का योग \(51\) है। पूर्णांक ज्ञात कीजिए।

• चरण 1: लगातार पूर्णांकों का योग \(51\) है।
• चरण 2: मान लीजिए पहला पूर्णांक \(x\) है।
• तो, दूसरा पूर्णांक \(x+1\) होगा।
• और तीसरा पूर्णांक \(x+2\) होगा।
• चरण 3: समीकरण बनाएँ।
• \(x + (x+1) + (x+2) = 51\)
• चरण 4: समीकरण को हल करें।
• \(3x + 3 = 51\)
• \(3x = 51 - 3\)
• \(3x = 48\)
• \(x = \frac{48}{3}\)
• \(x = 16\)
• इसलिए, पूर्णांक हैं: \(16, 16+1=17, 16+2=18\)
• चरण 5: जाँच करें।
• \(16 + 17 + 18 = 51\)
• हल सही है।

अब हम उन समीकरणों पर विचार करेंगे जहाँ चर समीकरण के दोनों पक्षों पर दिखाई देते हैं।

हल करने के चरण:

1. सभी चर वाले पदों को समीकरण के एक पक्ष में ले जाएँ (आमतौर पर LHS)।
2. सभी स्थिरांक पदों को समीकरण के दूसरे पक्ष में ले जाएँ (आमतौर पर RHS)।

• याद रखें: पक्षांतरण करते समय चिह्न बदलें।

1. दोनों पक्षों पर समान पदों को सरल करें।
2. चर के गुणांक से दोनों पक्षों को भाग दें।
3. अपने हल की जाँच करें।

उदाहरण: \(2x - 3 = x + 2\) को हल करें।

• चरण 1: चर पद \(x\) को RHS से LHS में ले जाएँ।
• \(2x - x - 3 = 2\)
• चरण 2: स्थिरांक पद \(-3\) को LHS से RHS में ले जाएँ।
• \(2x - x = 2 + 3\)
• चरण 3: सरल करें।
• \(x = 5\)
• चरण 4: (चर का गुणांक \(1\) है, इसलिए भाग देने की आवश्यकता नहीं है)
• चरण 5: जाँच करें।
• LHS = \(2(5) - 3 = 10 - 3 = 7\)
• RHS = \(5 + 2 = 7\)
• चूंकि LHS = RHS, हल \(x=5\) सही है।

कोष्ठकों और भिन्नों वाले समीकरण:

• यदि समीकरण में कोष्ठक हैं, तो वितरण गुण का उपयोग करके उन्हें पहले हटाएँ।
• यदि समीकरण में भिन्न हैं, तो सभी पदों के हरों का LCM ज्ञात करें और समीकरण के दोनों पक्षों को LCM से गुणा करें ताकि हरों को हटाया जा सके।

उदाहरण: \(3(x - 3) = 4(2x + 1)\) को हल करें।

• चरण 1: कोष्ठकों को हटाएँ।
• \(3x - 9 = 8x + 4\)
• चरण 2: चर पदों को एक तरफ और स्थिरांकों को दूसरी तरफ ले जाएँ।
• \(-9 - 4 = 8x - 3x\)
• चरण 3: सरल करें।
• \(-13 = 5x\)
• चरण 4: \(x\) के गुणांक (\(5\)) से भाग दें।
• \(x = \frac{-13}{5}\)
• चरण 5: जाँच करें।
• LHS = \(3\left(\frac{-13}{5} - 3\right) = 3\left(\frac{-13 - 15}{5}\right) = 3\left(\frac{-28}{5}\right) = \frac{-84}{5}\)
• RHS = \(4\left(2\left(\frac{-13}{5}\right) + 1\right) = 4\left(\frac{-26}{5} + 1\right) = 4\left(\frac{-26 + 5}{5}\right) = 4\left(\frac{-21}{5}\right) = \frac{-84}{5}\)
• चूंकि LHS = RHS, हल \(x = \frac{-13}{5}\) सही है।

कुछ समीकरण सीधे रैखिक रूप में नहीं होते हैं, लेकिन उन्हें सरल करके रैखिक रूप में बदला जा सकता है। इसमें अक्सर कोष्ठकों को हटाना, भिन्नों को हटाना और समान पदों को संयोजित करना शामिल होता है।

रणनीति:

1. वितरण गुण (Distributive Property): यदि समीकरण में कोष्ठक हैं, तो उन्हें गुणा करके हटा दें।

• उदाहरण: \(0.25(4f - 3) = 0.05(10f - 9)\)
• \(0.25 \times 4f - 0.25 \times 3 = 0.05 \times 10f - 0.05 \times 9\)
• \(f - 0.75 = 0.5f - 0.45\)

1. हरों को हटाना (Clearing Denominators): यदि समीकरण में भिन्न हैं, तो सभी हरों का LCM ज्ञात करें और समीकरण के दोनों पक्षों को उससे गुणा करें।

• उदाहरण: \(\frac{x+3}{6} + 1 = \frac{6x-1}{3}\)
• LCM of \(6, 3\) is \(6\).
• \(6 \left( \frac{x+3}{6} + 1 \right) = 6 \left( \frac{6x-1}{3} \right)\)
• \((x+3) + 6 = 2(6x-1)\)
• \(x+9 = 12x-2\)

1. समान पदों को संयोजित करना (Combining Like Terms): समीकरण के प्रत्येक पक्ष पर समान पदों को एक साथ जोड़ें या घटाएँ।
2. चर को अलग करना (Isolating the Variable): चर वाले पदों को एक तरफ और स्थिरांकों को दूसरी तरफ ले जाएँ, फिर चर के गुणांक से भाग दें।

उदाहरण: \(0.25(4f - 3) = 0.05(10f - 9)\) को सरल और हल करें।

• चरण 1: कोष्ठकों को हटाएँ।
• \(f - 0.75 = 0.5f - 0.45\)
• चरण 2: चर पदों को एक तरफ और स्थिरांकों को दूसरी तरफ ले जाएँ।
• \(f - 0.5f = -0.45 + 0.75\)
• चरण 3: सरल करें।
• \(0.5f = 0.30\)
• चरण 4: \(f\) के गुणांक (\(0.5\)) से भाग दें।
• \(f = \frac{0.30}{0.5}\)
• \(f = \frac{30}{50} = \frac{3}{5} = 0.6\)
• चरण 5: जाँच करें।
• LHS = \(0.25(4(0.6) - 3) = 0.25(2.4 - 3) = 0.25(-0.6) = -0.15\)
• RHS = \(0.05(10(0.6) - 9) = 0.05(6 - 9) = 0.05(-3) = -0.15\)
• हल सही है।

कुछ समीकरण सीधे रैखिक नहीं होते हैं, लेकिन उन्हें क्रॉस-गुणा (cross-multiplication) या अन्य बीजगणितीय तकनीकों का उपयोग करके रैखिक रूप में बदला जा सकता है।

प्रकार 1: \(\frac{Ax+B}{Cx+D} = \frac{P}{Q}\) रूप के समीकरण

• इन समीकरणों को क्रॉस-गुणा करके रैखिक रूप में बदला जा सकता है।
• \(Q(Ax+B) = P(Cx+D)\)
• फिर, वितरण गुण का उपयोग करें और चर को अलग करें।

उदाहरण: \(\frac{x-2}{x+1} = \frac{1}{2}\) को हल करें।

• चरण 1: क्रॉस-गुणा करें।
• \(2(x-2) = 1(x+1)\)
• चरण 2: कोष्ठकों को हटाएँ।
• \(2x - 4 = x + 1\)
• चरण 3: चर पदों को एक तरफ और स्थिरांकों को दूसरी तरफ ले जाएँ।
• \(2x - x = 1 + 4\)
• चरण 4: सरल करें।
• \(x = 5\)
• चरण 5: जाँच करें।
• LHS = \(\frac{5-2}{5+1} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)
• RHS = \(\frac{1}{2}\)
• हल सही है।

प्रकार 2: \(\frac{Ax+B}{Cx+D} = E\) रूप के समीकरण

• यह प्रकार 1 का एक विशेष मामला है जहाँ \(E = \frac{E}{1}\) के रूप में लिखा जा सकता है।
• \(Ax+B = E(Cx+D)\)

उदाहरण: \(\frac{3y+4}{2-6y} = \frac{-2}{5}\) को हल करें।

• चरण 1: क्रॉस-गुणा करें।
• \(5(3y+4) = -2(2-6y)\)
• चरण 2: कोष्ठकों को हटाएँ।
• \(15y + 20 = -4 + 12y\)
• चरण 3: चर पदों को एक तरफ और स्थिरांकों को दूसरी तरफ ले जाएँ।
• \(15y - 12y = -4 - 20\)
• चरण 4: सरल करें।
• \(3y = -24\)
• चरण 5: \(y\) के गुणांक (\(3\)) से भाग दें।
• \(y = \frac{-24}{3}\)
• \(y = -8\)
• चरण 6: जाँच करें।
• LHS = \(\frac{3(-8)+4}{2-6(-8)} = \frac{-24+4}{2+48} = \frac{-20}{50} = \frac{-2}{5}\)
• RHS = \(\frac{-2}{5}\)
• हल सही है।

महत्वपूर्ण विचार:

• क्रॉस-गुणा केवल तभी लागू होता है जब समीकरण के दोनों पक्षों में एकल भिन्न हो।
• सुनिश्चित करें कि हर शून्य न हो। यदि आपका हल हर को शून्य बनाता है, तो वह एक अमान्य हल है। (इस स्तर पर ऐसे मामले दुर्लभ हैं, लेकिन उच्च कक्षाओं में महत्वपूर्ण होंगे)।