Rational Numbers

संख्या प्रणालियों का पुनरीक्षण

• प्राकृत संख्याएँ (Natural Numbers): गिनती वाली संख्याएँ। \(N = \{1, 2, 3, ...\}\)
• पूर्ण संख्याएँ (Whole Numbers): प्राकृत संख्याएँ और शून्य। \(W = \{0, 1, 2, 3, ...\}\)
• पूर्णांक (Integers): पूर्ण संख्याएँ और ऋणात्मक प्राकृत संख्याएँ। \(Z = \{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}\)

परिमेय संख्याएँ क्या हैं?

• एक संख्या जिसे \(p/q\) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ \(p\) और \(q\) पूर्णांक हैं और \(q \neq 0\), उसे परिमेय संख्या कहते हैं।
• उदाहरण: \(1/2, -3/4, 5, 0, -7/1\)
• सभी प्राकृत संख्याएँ, पूर्ण संख्याएँ और पूर्णांक परिमेय संख्याएँ हैं क्योंकि उन्हें \(q=1\) के साथ \(p/q\) के रूप में लिखा जा सकता है।
• \(5 = 5/1\)
• \(0 = 0/1\)
• \(-3 = -3/1\)

परिमेय संख्याओं के प्रकार

• धनात्मक परिमेय संख्याएँ: वे परिमेय संख्याएँ जिनमें अंश और हर दोनों धनात्मक या दोनों ऋणात्मक होते हैं।
• उदाहरण: \(3/4, -2/-5\)
• ऋणात्मक परिमेय संख्याएँ: वे परिमेय संख्याएँ जिनमें अंश और हर में से कोई एक ऋणात्मक होता है।
• उदाहरण: \(-3/4, 2/-5\)
• शून्य: न तो धनात्मक और न ही ऋणात्मक परिमेय संख्या है।

समतुल्य परिमेय संख्याएँ

• यदि हम किसी परिमेय संख्या के अंश और हर को एक ही गैर-शून्य पूर्णांक से गुणा या भाग करते हैं, तो हमें एक समतुल्य परिमेय संख्या प्राप्त होती है।
• उदाहरण: \(2/3 = (2 \times 2)/(3 \times 2) = 4/6\)
• \(10/15 = (10 \div 5)/(15 \div 5) = 2/3\)

मानक रूप में परिमेय संख्याएँ

• एक परिमेय संख्या को मानक रूप में कहा जाता है यदि उसका हर धनात्मक पूर्णांक हो और अंश और हर में 1 के अलावा कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड न हो।
• किसी परिमेय संख्या को मानक रूप में बदलने के लिए:

1. हर को धनात्मक बनाएँ (यदि आवश्यक हो)।
2. अंश और हर को उनके महत्तम समापवर्तक (HCF) से भाग दें।

उदाहरण:

• \(-15/20\) को मानक रूप में बदलें।

1. हर पहले से धनात्मक है।
2. 15 और 20 का HCF 5 है।
3. \(-15/20 = (-15 \div 5)/(20 \div 5) = -3/4\)

संवरक गुणधर्म (Closure Property)

• यदि दो संख्याओं पर एक संक्रिया (जैसे जोड़ना) करने पर परिणाम उसी संख्या प्रणाली में आता है, तो वह प्रणाली उस संक्रिया के तहत संवरक होती है।

| संख्या प्रणाली | जोड़ (+) | घटाव (-) | गुणा (×) | भाग (÷) | |---|---|---|---|---| | पूर्ण संख्याएँ | हाँ | नहीं | हाँ | नहीं | | पूर्णांक | हाँ | हाँ | हाँ | नहीं | | परिमेय संख्याएँ | हाँ | हाँ | हाँ | नहीं (शून्य से भाग को छोड़कर) |

स्पष्टीकरण:

• पूर्ण संख्याएँ:
• जोड़: \(2 + 3 = 5\) (पूर्ण संख्या) - संवरक
• घटाव: \(2 - 3 = -1\) (पूर्ण संख्या नहीं) - संवरक नहीं
• गुणा: \(2 \times 3 = 6\) (पूर्ण संख्या) - संवरक
• भाग: \(2 \div 3 = 2/3\) (पूर्ण संख्या नहीं) - संवरक नहीं
• पूर्णांक:
• जोड़: \(-2 + 5 = 3\) (पूर्णांक) - संवरक
• घटाव: \(-2 - 5 = -7\) (पूर्णांक) - संवरक
• गुणा: \(-2 \times 5 = -10\) (पूर्णांक) - संवरक
• भाग: \(-2 \div 5 = -2/5\) (पूर्णांक नहीं) - संवरक नहीं
• परिमेय संख्याएँ:
• जोड़: \(1/2 + 3/4 = 5/4\) (परिमेय संख्या) - संवरक
• घटाव: \(1/2 - 3/4 = -1/4\) (परिमेय संख्या) - संवरक
• गुणा: \(1/2 \times 3/4 = 3/8\) (परिमेय संख्या) - संवरक
• भाग: \(1/2 \div 0\) अपरिभाषित है। इसलिए, परिमेय संख्याएँ भाग के तहत संवरक नहीं हैं। - संवरक नहीं

क्रमविनिमेयता गुणधर्म (Commutativity Property)

• किसी संक्रिया में संख्याओं का क्रम बदलने पर भी परिणाम वही रहता है, तो वह संक्रिया क्रमविनिमेय होती है।
• \(a + b = b + a\) (जोड़)
• \(a \times b = b \times a\) (गुणा)

| संख्या प्रणाली | जोड़ (+) | घटाव (-) | गुणा (×) | भाग (÷) | |---|---|---|---|---| | पूर्ण संख्याएँ | हाँ | नहीं | हाँ | नहीं | | पूर्णांक | हाँ | नहीं | हाँ | नहीं | | परिमेय संख्याएँ | हाँ | नहीं | हाँ | नहीं |

स्पष्टीकरण:

• पूर्ण संख्याएँ:
• जोड़: \(2 + 3 = 5\), \(3 + 2 = 5\) - क्रमविनिमेय
• घटाव: \(2 - 3 = -1\), \(3 - 2 = 1\) (असमान) - क्रमविनिमेय नहीं
• पूर्णांक:
• जोड़: \(-2 + 5 = 3\), \(5 + (-2) = 3\) - क्रमविनिमेय
• घटाव: \(-2 - 5 = -7\), \(5 - (-2) = 7\) (असमान) - क्रमविनिमेय नहीं
• परिमेय संख्याएँ:
• जोड़: \(1/2 + 3/4 = 5/4\), \(3/4 + 1/2 = 5/4\) - क्रमविनिमेय
• घटाव: \(1/2 - 3/4 = -1/4\), \(3/4 - 1/2 = 1/4\) (असमान) - क्रमविनिमेय नहीं
• गुणा: \(1/2 \times 3/4 = 3/8\), \(3/4 \times 1/2 = 3/8\) - क्रमविनिमेय
• भाग: \(1/2 \div 3/4 = 2/3\), \(3/4 \div 1/2 = 3/2\) (असमान) - क्रमविनिमेय नहीं

साहचर्य गुणधर्म (Associativity Property)

• तीन या अधिक संख्याओं पर एक संक्रिया करते समय, संख्याओं के समूहन का तरीका बदलने पर भी परिणाम वही रहता है, तो वह संक्रिया साहचर्य होती है।
• \((a + b) + c = a + (b + c)\) (जोड़)
• \((a \times b) \times c = a \times (b \times c)\) (गुणा)

| संख्या प्रणाली | जोड़ (+) | घटाव (-) | गुणा (×) | भाग (÷) | |---|---|---|---|---| | पूर्ण संख्याएँ | हाँ | नहीं | हाँ | नहीं | | पूर्णांक | हाँ | नहीं | हाँ | नहीं | | परिमेय संख्याएँ | हाँ | नहीं | हाँ | नहीं |

स्पष्टीकरण:

• पूर्ण संख्याएँ:
• जोड़: \((2 + 3) + 4 = 5 + 4 = 9\), \(2 + (3 + 4) = 2 + 7 = 9\) - साहचर्य
• घटाव: \((5 - 3) - 1 = 2 - 1 = 1\), \(5 - (3 - 1) = 5 - 2 = 3\) (असमान) - साहचर्य नहीं
• पूर्णांक:
• जोड़: \((-2 + 3) + 4 = 1 + 4 = 5\), \(-2 + (3 + 4) = -2 + 7 = 5\) - साहचर्य
• घटाव: \((-2 - 3) - 4 = -5 - 4 = -9\), \(-2 - (3 - 4) = -2 - (-1) = -1\) (असमान) - साहचर्य नहीं
• परिमेय संख्याएँ:
• जोड़: \((1/2 + 1/3) + 1/4 = 5/6 + 1/4 = 13/12\), \(1/2 + (1/3 + 1/4) = 1/2 + 7/12 = 13/12\) - साहचर्य
• घटाव: \((1/2 - 1/3) - 1/4 = 1/6 - 1/4 = -1/12\), \(1/2 - (1/3 - 1/4) = 1/2 - 1/12 = 5/12\) (असमान) - साहचर्य नहीं
• गुणा: \((1/2 \times 1/3) \times 1/4 = 1/6 \times 1/4 = 1/24\), \(1/2 \times (1/3 \times 1/4) = 1/2 \times 1/12 = 1/24\) - साहचर्य
• भाग: \((1/2 \div 1/3) \div 1/4 = 3/2 \div 1/4 = 6\), \(1/2 \div (1/3 \div 1/4) = 1/2 \div 4/3 = 3/8\) (असमान) - साहचर्य नहीं

शून्य (0) - योज्य तत्समक (Additive Identity)

• जब किसी परिमेय संख्या में शून्य जोड़ा जाता है, तो परिणाम वही परिमेय संख्या होती है।
• \(a + 0 = 0 + a = a\)
• उदाहरण:
• \(5 + 0 = 5\)
• \(-7 + 0 = -7\)
• \(3/4 + 0 = 3/4\)
• शून्य को योज्य तत्समक कहते हैं क्योंकि यह जोड़ संक्रिया के तहत संख्या की पहचान को नहीं बदलता है।

एक (1) - गुणात्मक तत्समक (Multiplicative Identity)

• जब किसी परिमेय संख्या को एक से गुणा किया जाता है, तो परिणाम वही परिमेय संख्या होती है।
• \(a \times 1 = 1 \times a = a\)
• उदाहरण:
• \(5 \times 1 = 5\)
• \(-7 \times 1 = -7\)
• \(3/4 \times 1 = 3/4\)
• एक को गुणात्मक तत्समक कहते हैं क्योंकि यह गुणा संक्रिया के तहत संख्या की पहचान को नहीं बदलता है।

ऋणात्मक या योज्य प्रतिलोम

• किसी परिमेय संख्या \(a/b\) का ऋणात्मक या योज्य प्रतिलोम वह संख्या है जिसे \(a/b\) में जोड़ने पर शून्य प्राप्त होता है।
• \(a/b + (-a/b) = 0\)
• इसलिए, \(a/b\) का योज्य प्रतिलोम \(-a/b\) है, और \(-a/b\) का योज्य प्रतिलोम \(a/b\) है।
• उदाहरण:
• \(5\) का योज्य प्रतिलोम \(-5\) है क्योंकि \(5 + (-5) = 0\)
• \(-7\) का योज्य प्रतिलोम \(7\) है क्योंकि \(-7 + 7 = 0\)
• \(3/4\) का योज्य प्रतिलोम \(-3/4\) है क्योंकि \(3/4 + (-3/4) = 0\)
• \(-2/5\) का योज्य प्रतिलोम \(2/5\) है क्योंकि \(-2/5 + 2/5 = 0\)

व्युत्क्रम या गुणात्मक प्रतिलोम

• किसी गैर-शून्य परिमेय संख्या \(a/b\) का व्युत्क्रम या गुणात्मक प्रतिलोम वह संख्या है जिसे \(a/b\) से गुणा करने पर एक प्राप्त होता है।
• \(a/b \times (b/a) = 1\)
• इसलिए, \(a/b\) का व्युत्क्रम \(b/a\) है।
• उदाहरण:
• \(5\) का व्युत्क्रम \(1/5\) है क्योंकि \(5 \times 1/5 = 1\)
• \(-7\) का व्युत्क्रम \(-1/7\) है क्योंकि \(-7 \times (-1/7) = 1\)
• \(3/4\) का व्युत्क्रम \(4/3\) है क्योंकि \(3/4 \times 4/3 = 1\)
• \(-2/5\) का व्युत्क्रम \(-5/2\) है क्योंकि \(-2/5 \times (-5/2) = 1\)
• महत्वपूर्ण: शून्य \((0)\) का कोई व्युत्क्रम नहीं होता क्योंकि \(1/0\) अपरिभाषित है।

गुणन का योग पर वितरण गुणधर्म

• यह गुणधर्म बताता है कि गुणन संक्रिया योग या घटाव संक्रिया पर वितरित हो सकती है।
• \(a \times (b + c) = (a \times b) + (a \times c)\)
• \(a \times (b - c) = (a \times b) - (a \times c)\)
• यह गुणधर्म गणनाओं को सरल बनाने में बहुत उपयोगी है।

उदाहरण:

• \(2 \times (5 + 7) = 2 \times 12 = 24\)
• वितरण गुणधर्म का उपयोग करके: \((2 \times 5) + (2 \times 7) = 10 + 14 = 24\)
• परिमेय संख्याओं के लिए:
• \(1/2 \times (3/4 + 1/5)\)
• \(= (1/2 \times 3/4) + (1/2 \times 1/5)\)
• \(= 3/8 + 1/10\)
• \(= 15/40 + 4/40 = 19/40\)

गुणन का घटाव पर वितरण गुणधर्म

• \(a \times (b - c) = (a \times b) - (a \times c)\)
• उदाहरण:
• \(2/3 \times (4/5 - 1/2)\)
• \(= (2/3 \times 4/5) - (2/3 \times 1/2)\)
• \(= 8/15 - 2/6\)
• \(= 8/15 - 1/3\)
• \(= 8/15 - 5/15 = 3/15 = 1/5\)

संख्या रेखा क्या है?

• एक सीधी रेखा जिस पर संख्याओं को समान दूरी पर चिह्नित किया जाता है।
• शून्य केंद्र में होता है। धनात्मक संख्याएँ दाईं ओर और ऋणात्मक संख्याएँ बाईं ओर होती हैं।

परिमेय संख्याओं का निरूपण कैसे करें?

• चरण 1: एक संख्या रेखा खींचें और उस पर पूर्णांकों को चिह्नित करें।
• चरण 2: दी गई परिमेय संख्या के हर को देखें। यह दर्शाता है कि प्रत्येक इकाई खंड (जैसे 0 से 1, 1 से 2) को कितने समान भागों में विभाजित किया जाना है।
• चरण 3: अंश को देखें। यह दर्शाता है कि शून्य से शुरू होकर हर द्वारा निर्धारित भागों में से कितने भाग लेने हैं।

उदाहरण 1: \(3/4\) का निरूपण करें

1. \(3/4\) 0 और 1 के बीच है।
2. हर 4 है, इसलिए 0 और 1 के बीच के खंड को 4 समान भागों में विभाजित करें।
3. अंश 3 है, इसलिए 0 से शुरू होकर तीसरे विभाजन को चिह्नित करें। यह बिंदु \(3/4\) को दर्शाता है।

उदाहरण 2: \(-5/6\) का निरूपण करें

1. \(-5/6\) 0 और -1 के बीच है।
2. हर 6 है, इसलिए 0 और -1 के बीच के खंड को 6 समान भागों में विभाजित करें।
3. अंश 5 है (ऋणात्मक दिशा में), इसलिए 0 से शुरू होकर बाईं ओर पाँचवें विभाजन को चिह्नित करें। यह बिंदु \(-5/6\) को दर्शाता है।

दो परिमेय संख्याओं के बीच कितनी परिमेय संख्याएँ होती हैं?

• किन्हीं भी दो परिमेय संख्याओं के बीच अनंत परिमेय संख्याएँ होती हैं।

दो परिमेय संख्याओं के बीच परिमेय संख्याएँ ज्ञात करने की विधियाँ

विधि 1: समान हर बनाना (LCM विधि)

1. दी गई परिमेय संख्याओं के हरों का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करें।
2. दोनों परिमेय संख्याओं को समतुल्य परिमेय संख्याओं में बदलें जिनका हर LCM हो।
3. यदि आवश्यक संख्याएँ अभी भी नहीं मिलती हैं, तो अंश और हर को एक बड़ी संख्या (जैसे 10) से गुणा करें ताकि उनके बीच अधिक संख्याएँ मिल सकें।

उदाहरण: \(1/3\) और \(1/2\) के बीच 5 परिमेय संख्याएँ ज्ञात करें।

1. हर 3 और 2 का LCM 6 है।
2. \(1/3 = (1 \times 2)/(3 \times 2) = 2/6\)
3. \(1/2 = (1 \times 3)/(2 \times 3) = 3/6\)
4. \(2/6\) और \(3/6\) के बीच कोई पूर्णांक अंश वाली संख्या नहीं है।
5. अंश और हर को 10 से गुणा करें (या किसी बड़ी संख्या से):

• \(2/6 = 20/60\)
• \(3/6 = 30/60\)

1. अब, \(20/60\) और \(30/60\) के बीच की संख्याएँ हैं: \(21/60, 22/60, 23/60, 24/60, 25/60\) आदि।

विधि 2: माध्य विधि (Mean Method)

• दो परिमेय संख्याओं \(a\) और \(b\) के बीच एक परिमेय संख्या \((a+b)/2\) होती है।
• इस प्रक्रिया को दोहराकर अधिक संख्याएँ ज्ञात की जा सकती हैं।

उदाहरण: \(1/3\) और \(1/2\) के बीच 3 परिमेय संख्याएँ ज्ञात करें।

1. पहली संख्या: \((1/3 + 1/2)/2 = ( (2+3)/6 )/2 = (5/6)/2 = 5/12\)
2. दूसरी संख्या (\(1/3\) और \(5/12\) के बीच): \((1/3 + 5/12)/2 = ( (4+5)/12 )/2 = (9/12)/2 = 9/24 = 3/8\)
3. तीसरी संख्या (\(5/12\) और \(1/2\) के बीच): \((5/12 + 1/2)/2 = ( (5+6)/12 )/2 = (11/12)/2 = 11/24\)

• तो, \(1/3\) और \(1/2\) के बीच की तीन संख्याएँ \(3/8, 5/12, 11/24\) हैं।

कौन सी विधि बेहतर है?

• यदि आपको कुछ संख्याएँ (जैसे 2 या 3) ज्ञात करनी हैं, तो माध्य विधि आसान हो सकती है।
• यदि आपको अधिक संख्याएँ (जैसे 5 या 10) ज्ञात करनी हैं, तो समान हर बनाने की विधि अक्सर अधिक कुशल होती है।