Algebraic expressions

बीजीय व्यंजक (Algebraic expressions) संख्याओं और चर (variables) के संयोजन होते हैं, जो गणितीय संक्रियाओं (operations) जैसे जोड़, घटाव, गुणा और भाग से जुड़े होते हैं।

• चर (Variables): वे अक्षर जो अज्ञात मानों (unknown values) का प्रतिनिधित्व करते हैं, जैसे \(x, y, a, b\) आदि। इनका मान बदल सकता है।
• अचर (Constants): वे संख्याएँ जिनका मान निश्चित होता है और बदलता नहीं है, जैसे \(5, 100, -3\) आदि।
• संक्रियाएँ (Operations): जोड़ (+), घटाव (-), गुणा (×), भाग (÷)।

व्यंजक कैसे बनाएँ:

1. कथन को समझें: दिए गए शाब्दिक कथन (verbal statement) में अज्ञात मात्राओं (unknown quantities) और उनके बीच के संबंधों को पहचानें।
2. चर असाइन करें: अज्ञात मात्राओं के लिए उपयुक्त चर (जैसे \(x, y\)) चुनें।
3. गणितीय संक्रियाएँ लागू करें: कथन के अनुसार चर और अचरों को गणितीय संक्रियाओं से जोड़ें।

उदाहरण:

• "एक संख्या में 5 जोड़ना" → \(x + 5\)
• "एक संख्या का 3 गुना" → \(3x\)
• "एक संख्या के 2 गुने में से 7 घटाना" → \(2x - 7\)
• "दो संख्याओं का गुणनफल" → \(xy\)

याद रखें: चर कोई भी अक्षर हो सकता है, लेकिन आमतौर पर \(x, y, z\) का उपयोग किया जाता है।

व्यंजक कैसे बनते हैं, इसका वर्णन करने का अर्थ है कि उसमें कौन से चर, अचर और संक्रियाएँ शामिल हैं, यह बताना।

वर्णन करने के चरण:

1. चरों की पहचान करें: व्यंजक में उपयोग किए गए सभी चरों को सूचीबद्ध करें।
2. संक्रियाओं की पहचान करें: व्यंजक में उपयोग की गई गणितीय संक्रियाओं (जोड़, घटाव, गुणा, भाग) को सूचीबद्ध करें।
3. क्रमबद्ध तरीके से व्याख्या करें: बताएं कि चर और अचरों को किन संक्रियाओं के साथ किस क्रम में जोड़ा गया है।

उदाहरण:

• व्यंजक: \(2x + 7(x-y)\)
• चर: \(x, y\)
• संक्रियाएँ: गुणा, घटाव, जोड़
• वर्णन: पहले \(x\) और \(y\) का अंतर \((x-y)\) ज्ञात करें। फिर \(x\) को 2 से गुणा करें \((2x)\) और \((x-y)\) को 7 से गुणा करें \((7(x-y))\)। अंत में, दोनों गुणनफलों को जोड़ें।

• व्यंजक: \(4a - 3b\)
• चर: \(a, b\)
• संक्रियाएँ: गुणा, घटाव
• वर्णन: पहले \(a\) को 4 से गुणा करें \((4a)\) और \(b\) को 3 से गुणा करें \((3b)\)। फिर \(3b\) को \(4a\) में से घटाएँ।

बीजीय व्यंजक को समझने के लिए उसके पदों (terms) और गुणनखंडों (factors) को पहचानना महत्वपूर्ण है।

• पद (Terms): व्यंजक के वे भाग जो जोड़ या घटाव के चिह्नों से अलग होते हैं। एक पद एक संख्या, एक चर, या संख्याओं और चरों का गुणनफल हो सकता है।
• उदाहरण: \(5x + 2y - 7\) में, पद \(5x, 2y\) और \(-7\) हैं।
• गुणनखंड (Factors): जब दो या दो से अधिक संख्याएँ या चर गुणा होते हैं, तो उनमें से प्रत्येक को गुणनफल का गुणनखंड कहा जाता है।
• उदाहरण: \(5x\) में, गुणनखंड \(5\) और \(x\) हैं। \(2y\) में, गुणनखंड \(2\) और \(y\) हैं।

ट्री आरेख (Tree Diagram) का उपयोग करके पद और गुणनखंड ज्ञात करना: ट्री आरेख एक दृश्य तरीका है जिससे व्यंजक के पदों और उनके गुणनखंडों को दर्शाया जाता है।

उदाहरण: व्यंजक \(5x + 2\)

`mermaid graph TD A[5x + 2] --> B[5x] A --> C[2] B --> D[5] B --> E[x] `

• पद: \(5x\) और \(2\)
• \(5x\) के गुणनखंड: \(5, x\)
• \(2\) के गुणनखंड: \(2\)

उदाहरण: व्यंजक \(3xy - 4z\)

`mermaid graph TD A[3xy - 4z] --> B[3xy] A --> C[-4z] B --> D[3] B --> E[x] B --> F[y] C --> G[-4] C --> H[z] `

• पद: \(3xy\) और \(-4z\)
• \(3xy\) के गुणनखंड: \(3, x, y\)
• \(-4z\) के गुणनखंड: \(-4, z\)

व्यंजकों में पदों को आगे अचर (constants) और गुणांकों (coefficients) में वर्गीकृत किया जा सकता है।

• अचर पद (Constant Term): व्यंजक में वह पद जिसमें कोई चर नहीं होता है। इसका मान निश्चित होता है।
• उदाहरण: \(5x + 2y - 7\) में, \(-7\) एक अचर पद है।
• गुणांक (Coefficient): एक चर पद में, चर के साथ गुणा की गई संख्यात्मक मान को उसका संख्यात्मक गुणांक (numerical coefficient) कहते हैं।
• उदाहरण: \(5x\) में, \(5\) \(x\) का संख्यात्मक गुणांक है। \(2y\) में, \(2\) \(y\) का संख्यात्मक गुणांक है।
• यदि कोई संख्यात्मक गुणांक नहीं लिखा गया है, तो उसे \(1\) माना जाता है (जैसे \(x\) का गुणांक \(1\) है, \(-y\) का गुणांक \(-1\) है)।

पहचान कैसे करें: व्यंजक: \(7x - 5\)

• पद: \(7x\) और \(-5\)
• अचर पद: \(-5\)
• संख्यात्मक गुणांक: \(x\) का गुणांक \(7\) है।

व्यंजक: \(3a + 8b - 12\)

• पद: \(3a, 8b, -12\)
• अचर पद: \(-12\)
• संख्यात्मक गुणांक: \(a\) का गुणांक \(3\) है, \(b\) का गुणांक \(8\) है।

ध्यान दें: अचर पद को भी एक प्रकार का गुणांक माना जा सकता है, जहाँ चर की घात \(0\) होती है (जैसे \(-5 = -5x^0\))।

व्यंजकों को सरल बनाने के लिए समान पदों (like terms) और असमान पदों (unlike terms) को समझना आवश्यक है।

• समान पद (Like Terms): वे पद जिनमें चर भाग (variable part) समान होता है और प्रत्येक चर की घात (power) भी समान होती है। संख्यात्मक गुणांक अलग हो सकते हैं।
• उदाहरण: \(5x\) और \(-3x\) समान पद हैं (चर \(x\) समान है)।
• उदाहरण: \(2xy\) और \(7xy\) समान पद हैं (चर भाग \(xy\) समान है)।
• उदाहरण: \(4x^2\) और \(-x^2\) समान पद हैं (चर भाग \(x^2\) समान है)।
• उदाहरण: \(8\) और \(-12\) समान पद हैं (दोनों अचर पद हैं, जिनमें चर की घात \(0\) है)।

• असमान पद (Unlike Terms): वे पद जिनमें चर भाग अलग होता है, या चर समान होते हैं लेकिन उनकी घात अलग होती है।
• उदाहरण: \(5x\) और \(5y\) असमान पद हैं (चर अलग हैं)।
• उदाहरण: \(2xy\) और \(7x\) असमान पद हैं (चर भाग अलग हैं)।
• उदाहरण: \(4x^2\) और \(4x\) असमान पद हैं (चर \(x\) समान है, लेकिन घात अलग हैं)।

समान पदों का संयोजन (Combining Like Terms): समान पदों को केवल उनके संख्यात्मक गुणांकों को जोड़कर या घटाकर संयोजित किया जा सकता है। असमान पदों को संयोजित नहीं किया जा सकता।

• उदाहरण: \(7x + 2x = (7+2)x = 9x\)
• उदाहरण: \(5xy - 3xy = (5-3)xy = 2xy\)
• उदाहरण: \(4a + 7b - 3a\)
• समान पद हैं: \(4a\) और \(-3a\)
• संयोजित करें: \((4-3)a + 7b = 1a + 7b = a + 7b\)

महत्वपूर्ण: केवल समान पदों को ही जोड़ा या घटाया जा सकता है।

पदों की संख्या के आधार पर बीजीय व्यंजकों को विभिन्न प्रकारों में वर्गीकृत किया जाता है।

• एकपदी (Monomial): एक व्यंजक जिसमें केवल एक पद होता है।
• उदाहरण: \(2x, -5y^2, 7, 3xy\)
• द्विपदी (Binomial): एक व्यंजक जिसमें दो पद होते हैं।
• उदाहरण: \(2x + 5, a - 3b, x^2 + y^2\)
• त्रिपदी (Trinomial): एक व्यंजक जिसमें तीन पद होते हैं।
• उदाहरण: \(4x + 7 + 2z, x^2 + 2xy + y^2, a - b + c\)
• बहुपद (Polynomial): एक व्यंजक जिसमें एक या एक से अधिक पद होते हैं (और चरों की घात गैर-ऋणात्मक पूर्णांक होती है)। एकपदी, द्विपदी और त्रिपदी सभी बहुपदों के विशेष प्रकार हैं।
• उदाहरण: \(6x + 2y + 7 + 9a\) (चार पद), \(x^3 - 2x^2 + 5x - 1\)

पदों की संख्या की गणना कैसे करें: व्यंजक में जोड़ (+) या घटाव (-) के चिह्नों से अलग किए गए भागों को गिनें।

• \(2x\) → 1 पद → एकपदी
• \(5x + y\) → 2 पद → द्विपदी
• \(4x + 7 + 2z\) → 3 पद → त्रिपदी
• \(6x + 2y + 7 + 9a\) → 4 पद → बहुपद (या चतुष्पदी, लेकिन आमतौर पर 'बहुपद' कहा जाता है)

याद रखें: गुणा या भाग से जुड़े पद एक ही पद का हिस्सा होते हैं। जैसे \(3xy\) एक पद है, \(x/y\) एक पद है।

किसी व्यंजक का मूल्यांकन करने का अर्थ है, उसमें दिए गए चरों के मानों को प्रतिस्थापित करके व्यंजक का संख्यात्मक मान ज्ञात करना।

एक चर वाले व्यंजक का मूल्यांकन करने के चरण:

1. चर का मान प्रतिस्थापित करें: व्यंजक में चर के स्थान पर उसका दिया गया संख्यात्मक मान रखें।
2. सरल करें: गणितीय संक्रियाओं के क्रम (BODMAS/PEMDAS) का पालन करते हुए व्यंजक को सरल करें।

उदाहरण: \(2a + 10 - 3a\) का मान ज्ञात करें, यदि \(a = 2\)

1. प्रतिस्थापन: \(2(2) + 10 - 3(2)\)
2. गुणा करें: \(4 + 10 - 6\)
3. जोड़ें/घटाएँ (बाएँ से दाएँ): \(14 - 6 = 8\)

अतः, जब \(a = 2\) हो, तो \(2a + 10 - 3a\) का मान \(8\) है।

एक और उदाहरण: \(5x + 12\) का मान ज्ञात करें, यदि \(x = 3\)

1. प्रतिस्थापन: \(5(3) + 12\)
2. गुणा करें: \(15 + 12\)
3. जोड़ें: \(27\)

अतः, जब \(x = 3\) हो, तो \(5x + 12\) का मान \(27\) है।

टिप: प्रतिस्थापन करते समय, विशेष रूप से ऋणात्मक मानों के लिए, कोष्ठकों (brackets) का उपयोग करें ताकि गलतियाँ न हों।

दो या अधिक चरों वाले व्यंजकों का मूल्यांकन भी उसी सिद्धांत पर आधारित है: चरों के मानों को प्रतिस्थापित करें और फिर व्यंजक को सरल करें।

दो चर वाले व्यंजक का मूल्यांकन करने के चरण:

1. प्रत्येक चर का मान प्रतिस्थापित करें: व्यंजक में प्रत्येक चर के स्थान पर उसका दिया गया संख्यात्मक मान रखें।
2. सरल करें: गणितीय संक्रियाओं के क्रम (BODMAS/PEMDAS) का पालन करते हुए व्यंजक को सरल करें।

उदाहरण: \(6a + 2b + 12\) का मान ज्ञात करें, यदि \(a = 3\) और \(b = -1\)

1. प्रतिस्थापन: \(6(3) + 2(-1) + 12\)
2. गुणा करें: \(18 - 2 + 12\)
3. जोड़ें/घटाएँ (बाएँ से दाएँ): \(16 + 12 = 28\)

अतः, जब \(a = 3\) और \(b = -1\) हो, तो \(6a + 2b + 12\) का मान \(28\) है।

एक और उदाहरण: \(m^2 + 2n + n^2\) का मान ज्ञात करें, यदि \(m = 3\) और \(n = 5\)

1. प्रतिस्थापन: \((3)^2 + 2(5) + (5)^2\)
2. घात और गुणा करें: \(9 + 10 + 25\)
3. जोड़ें: \(44\)

अतः, जब \(m = 3\) और \(n = 5\) हो, तो \(m^2 + 2n + n^2\) का मान \(44\) है।

सावधानी: ऋणात्मक मानों के लिए घातों की गणना करते समय विशेष ध्यान दें। जैसे \((-1)^2 = 1\) लेकिन \(-1^2 = -1\)।

बड़े या अधिक जटिल व्यंजकों का मूल्यांकन करने के लिए भी वही सिद्धांत लागू होते हैं, लेकिन इसमें अधिक चरण और सावधानी की आवश्यकता होती है।

बड़े व्यंजकों का मूल्यांकन करने के चरण:

1. सभी चरों के मान प्रतिस्थापित करें: व्यंजक में सभी चरों को उनके दिए गए संख्यात्मक मानों से बदलें। कोष्ठकों का उपयोग करें।
2. कोष्ठकों को सरल करें: BODMAS/PEMDAS नियम के अनुसार, सबसे पहले छोटे कोष्ठकों (parentheses) को, फिर मंझले कोष्ठकों (braces) को, और अंत में बड़े कोष्ठकों (brackets) को सरल करें।
3. घातों की गणना करें: यदि कोई चर घात में है, तो पहले उसकी गणना करें।
4. गुणा और भाग करें: बाएँ से दाएँ क्रम में गुणा और भाग की संक्रियाएँ करें।
5. जोड़ और घटाव करें: अंत में, बाएँ से दाएँ क्रम में जोड़ और घटाव की संक्रियाएँ करें।

उदाहरण: \((2x+5) - x^2 - x + 2\) का मान ज्ञात करें, यदि \(x = -1\)

1. प्रतिस्थापन: \((2(-1)+5) - (-1)^2 - (-1) + 2\)
2. कोष्ठक और घात सरल करें:

• \((2(-1)+5) = (-2+5) = 3\)
• \((-1)^2 = 1\)
• \(-(-1) = +1\)

व्यंजक अब है: \(3 - 1 + 1 + 2\)

1. जोड़ें/घटाएँ (बाएँ से दाएँ):

• \(3 - 1 = 2\)
• \(2 + 1 = 3\)
• \(3 + 2 = 5\)

अतः, जब \(x = -1\) हो, तो \((2x+5) - x^2 - x + 2\) का मान \(5\) है।

एक और उदाहरण: \(x^3 + 2x^2 - x + 6\) का मान ज्ञात करें, यदि \(x = -2\)

1. प्रतिस्थापन: \((-2)^3 + 2(-2)^2 - (-2) + 6\)
2. घात सरल करें:

• \((-2)^3 = -8\)
• \((-2)^2 = 4\)
• \(-(-2) = +2\)

व्यंजक अब है: \(-8 + 2(4) + 2 + 6\)

1. गुणा करें: \(-8 + 8 + 2 + 6\)
2. जोड़ें/घटाएँ (बाएँ से दाएँ):

• \(-8 + 8 = 0\)
• \(0 + 2 = 2\)
• \(2 + 6 = 8\)

अतः, जब \(x = -2\) हो, तो \(x^3 + 2x^2 - x + 6\) का मान \(8\) है।