FRACTIONS AND DECIMALS

जब एक भिन्न को एक पूर्ण संख्या से गुणा करते हैं, तो:

• पूर्ण संख्या को भिन्न के अंश (numerator) से गुणा किया जाता है।
• हर (denominator) वही रहता है।

उदाहरण: \(3 \times \frac{2}{5}\)

• अंश को गुणा करें: \(3 \times 2 = 6\)
• हर वही रहेगा: \(5\)
• परिणाम: \(\frac{6}{5}\)

मिश्रित भिन्न (Mixed Fraction) का पूर्ण संख्या से गुणा:

1. पहले मिश्रित भिन्न को विषम भिन्न (improper fraction) में बदलें।
2. फिर पूर्ण संख्या को विषम भिन्न के अंश से गुणा करें।

उदाहरण: \(2 \frac{1}{3} \times 4\)

1. \(2 \frac{1}{3} = \frac{(2 \times 3) + 1}{3} = \frac{7}{3}\)
2. \(\frac{7}{3} \times 4 = \frac{7 \times 4}{3} = \frac{28}{3}\)

'का' (of) का अर्थ गुणा (Multiplication) होता है।

• उदाहरण: \(\frac{1}{2}\) का \(10\) मतलब \(\frac{1}{2} \times 10 = 5\)
• यह अक्सर शब्दों की समस्याओं में उपयोग होता है।

दो भिन्नों को गुणा करने के लिए:

• अंशों को एक साथ गुणा करें।
• हरों को एक साथ गुणा करें।
• परिणाम को \(\frac{\text{अंशों का गुणनफल}}{\text{हरों का गुणनफल}}\)

उदाहरण: \(\frac{2}{3} \times \frac{4}{5}\)

• अंशों का गुणनफल: \(2 \times 4 = 8\)
• हरों का गुणनफल: \(3 \times 5 = 15\)
• परिणाम: \(\frac{8}{15}\)

मिश्रित भिन्नों का गुणा:

1. पहले सभी मिश्रित भिन्नों को विषम भिन्न में बदलें।
2. फिर सामान्य भिन्न गुणा नियम का पालन करें।

उदाहरण: \(1 \frac{1}{2} \times 2 \frac{3}{4}\)

1. \(1 \frac{1}{2} = \frac{3}{2}\)
2. \(2 \frac{3}{4} = \frac{11}{4}\)
3. \(\frac{3}{2} \times \frac{11}{4} = \frac{3 \times 11}{2 \times 4} = \frac{33}{8}\)

गुणनफल का मान (Value of the Product):

• दो उचित भिन्नों (Proper Fractions) का गुणनफल: गुणनफल प्रत्येक भिन्न से छोटा होता है।
• उदाहरण: \(\frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6}\). यहाँ \(\frac{1}{6} < \frac{1}{2}\) और \(\frac{1}{6} < \frac{1}{3}\)
• दो विषम भिन्नों (Improper Fractions) का गुणनफल: गुणनफल प्रत्येक भिन्न से बड़ा होता है।
• उदाहरण: \(\frac{7}{3} \times \frac{5}{2} = \frac{35}{6}\). यहाँ \(\frac{35}{6} > \frac{7}{3}\) और \(\frac{35}{6} > \frac{5}{2}\)
• एक उचित और एक विषम भिन्न का गुणनफल: गुणनफल विषम भिन्न से छोटा और उचित भिन्न से बड़ा होता है।
• उदाहरण: \(\frac{2}{3} \times \frac{7}{5} = \frac{14}{15}\). यहाँ \(\frac{14}{15} < \frac{7}{5}\) और \(\frac{14}{15} > \frac{2}{3}\)

• किसी भिन्न का व्युत्क्रम (reciprocal) प्राप्त करने के लिए, उसके अंश और हर को आपस में बदल दिया जाता है। इसे 'उलटना' (inverting) भी कहते हैं।
• एक संख्या और उसके व्युत्क्रम का गुणनफल हमेशा 1 होता है।

उदाहरण:

• \(\frac{2}{3}\) का व्युत्क्रम \(\frac{3}{2}\) है। (जांच: \(\frac{2}{3} \times \frac{3}{2} = 1\))
• \(5\) (या \(\frac{5}{1}\)) का व्युत्क्रम \(\frac{1}{5}\) है।
• \(\frac{1}{7}\) का व्युत्क्रम \(7\) (या \(\frac{7}{1}\)) है।

व्युत्क्रम का वर्गीकरण:

• उचित भिन्न (Proper fraction) का व्युत्क्रम: हमेशा एक विषम भिन्न (improper fraction) होता है।
• उदाहरण: \(\frac{3}{7}\) का व्युत्क्रम \(\frac{7}{3}\) है (विषम भिन्न)।
• विषम भिन्न (Improper fraction) का व्युत्क्रम: हमेशा एक उचित भिन्न होता है।
• उदाहरण: \(\frac{9}{7}\) का व्युत्क्रम \(\frac{7}{9}\) है (उचित भिन्न)।
• पूर्ण संख्या (Whole number) का व्युत्क्रम: हमेशा एक उचित भिन्न होता है (सिवाय 1 के, जिसका व्युत्क्रम 1 है)।
• उदाहरण: \(8\) का व्युत्क्रम \(\frac{1}{8}\) है (उचित भिन्न)।

भिन्नों को भाग करने के लिए, हम भाजक (divisor) के व्युत्क्रम से गुणा करते हैं।

1. पूर्ण संख्या का भिन्न से भाग (Division of a Whole Number by a Fraction):

• पूर्ण संख्या को भाजक भिन्न के व्युत्क्रम से गुणा करें।

उदाहरण: \(3 \div \frac{1}{4}\)

• \(\frac{1}{4}\) का व्युत्क्रम \(\frac{4}{1}\) है।
• \(3 \div \frac{1}{4} = 3 \times \frac{4}{1} = 12\)

2. भिन्न का पूर्ण संख्या से भाग (Division of a Fraction by a Whole Number):

• भिन्न को पूर्ण संख्या के व्युत्क्रम से गुणा करें।

उदाहरण: \(\frac{3}{4} \div 3\)

• \(3\) का व्युत्क्रम \(\frac{1}{3}\) है।
• \(\frac{3}{4} \div 3 = \frac{3}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}\)

3. भिन्न का भिन्न से भाग (Division of a Fraction by another Fraction):

• पहले भिन्न को दूसरे भिन्न के व्युत्क्रम से गुणा करें।

उदाहरण: \(\frac{1}{3} \div \frac{6}{5}\)

• \(\frac{6}{5}\) का व्युत्क्रम \(\frac{5}{6}\) है।
• \(\frac{1}{3} \div \frac{6}{5} = \frac{1}{3} \times \frac{5}{6} = \frac{5}{18}\)

मिश्रित भिन्नों का भाग:

1. पहले सभी मिश्रित भिन्नों को विषम भिन्न में बदलें।
2. फिर उपरोक्त भाग नियमों का पालन करें।

दशमलव संख्याओं को गुणा करने के लिए:

1. दशमलव बिंदुओं को अनदेखा करते हुए संख्याओं को पूर्ण संख्या के रूप में गुणा करें।
2. गुणनफल में दशमलव बिंदु लगाएं। दशमलव बिंदु के बाद के अंकों की संख्या, गुणा की गई संख्याओं में दशमलव बिंदु के बाद के कुल अंकों की संख्या के बराबर होनी चाहिए।

उदाहरण: \(1.2 \times 2.5\)

1. दशमलव बिंदुओं को अनदेखा करें: \(12 \times 25 = 300\)
2. \(1.2\) में दशमलव के बाद 1 अंक है।
3. \(2.5\) में दशमलव के बाद 1 अंक है।
4. कुल अंक: \(1 + 1 = 2\)
5. \(300\) में दाएं से 2 अंक गिनकर दशमलव लगाएं: \(3.00\) या \(3\)

उदाहरण: \(2.5 \times 1.25\)

1. \(25 \times 125 = 3125\)
2. \(2.5\) में 1 दशमलव स्थान।
3. \(1.25\) में 2 दशमलव स्थान।
4. कुल \(1 + 2 = 3\) दशमलव स्थान।
5. परिणाम: \(3.125\)

जब एक दशमलव संख्या को 10, 100, 1000 आदि से गुणा किया जाता है, तो:

• दशमलव बिंदु दाहिनी ओर उतने स्थान खिसक जाता है जितने 10, 100, 1000 में शून्य होते हैं।

नियम:

• 10 से गुणा: दशमलव बिंदु 1 स्थान दाहिनी ओर खिसकता है (क्योंकि 10 में एक शून्य है)।
• उदाहरण: \(1.76 \times 10 = 17.6\)
• 100 से गुणा: दशमलव बिंदु 2 स्थान दाहिनी ओर खिसकता है (क्योंकि 100 में दो शून्य हैं)।
• उदाहरण: \(1.76 \times 100 = 176.0\) या \(176\)
• 1000 से गुणा: दशमलव बिंदु 3 स्थान दाहिनी ओर खिसकता है (क्योंकि 1000 में तीन शून्य हैं)।
• उदाहरण: \(1.76 \times 1000 = 1760.0\) या \(1760\)

यदि पर्याप्त अंक न हों:

• यदि दाहिनी ओर खिसकने के लिए पर्याप्त अंक नहीं हैं, तो शून्य (0) जोड़ें।
• उदाहरण: \(0.5 \times 100 = 50\) (दशमलव बिंदु 2 स्थान दाहिनी ओर खिसका, एक शून्य जोड़ा गया)।

दशमलव संख्याओं को भाग करने के लिए विभिन्न स्थितियाँ होती हैं।

1. दशमलव संख्या का 10, 100, 1000 से भाग (Division by 10, 100 and 1000):

• जब एक दशमलव संख्या को 10, 100, 1000 आदि से भाग किया जाता है, तो दशमलव बिंदु बाईं ओर उतने स्थान खिसक जाता है जितने 10, 100, 1000 में शून्य होते हैं।

नियम:

• 10 से भाग: दशमलव बिंदु 1 स्थान बाईं ओर खिसकता है।
• उदाहरण: \(31.5 \div 10 = 3.15\)
• 100 से भाग: दशमलव बिंदु 2 स्थान बाईं ओर खिसकता है।
• उदाहरण: \(31.5 \div 100 = 0.315\)
• 1000 से भाग: दशमलव बिंदु 3 स्थान बाईं ओर खिसकता है।
• उदाहरण: \(31.5 \div 1000 = 0.0315\)

यदि पर्याप्त अंक न हों:

• यदि बाईं ओर खिसकने के लिए पर्याप्त अंक नहीं हैं, तो शून्य (0) जोड़ें।
• उदाहरण: \(2.38 \div 1000 = 0.00238\)

2. दशमलव संख्या का पूर्ण संख्या से भाग (Division of a Decimal Number by a Whole Number):

1. दशमलव बिंदु को अनदेखा करते हुए, पूर्ण संख्या के रूप में भाग करें।
2. भागफल में दशमलव बिंदु को भाज्य (dividend) के दशमलव बिंदु के ठीक ऊपर रखें।

उदाहरण: \(6.4 \div 2\)

1. \(64 \div 2 = 32\)
2. \(6.4\) में दशमलव के बाद 1 अंक है, इसलिए \(32\) में भी 1 अंक के बाद दशमलव लगाएं: \(3.2\)

3. दशमलव संख्या का दशमलव संख्या से भाग (Division of a Decimal Number by another Decimal Number):

1. भाजक (divisor) को एक पूर्ण संख्या में बदलने के लिए, भाजक और भाज्य दोनों में दशमलव बिंदु को दाहिनी ओर उतने स्थान खिसकाएँ जितने भाजक में दशमलव के बाद अंक हैं।
2. फिर सामान्य भाग करें।

उदाहरण: \(25.5 \div 0.5\)

1. भाजक \(0.5\) में दशमलव के बाद 1 अंक है।
2. दोनों संख्याओं में दशमलव बिंदु को 1 स्थान दाहिनी ओर खिसकाएँ: \(255 \div 5\)
3. \(255 \div 5 = 51\)

उदाहरण: \(27 \div 0.03\)

1. भाजक \(0.03\) में दशमलव के बाद 2 अंक हैं।
2. \(27\) को \(27.00\) लिखें।
3. दोनों संख्याओं में दशमलव बिंदु को 2 स्थान दाहिनी ओर खिसकाएँ: \(2700 \div 3\)
4. \(2700 \div 3 = 900\)