PRACTICE QUESTIONS

प्रायिकता किसी घटना के घटित होने की संभावना का संख्यात्मक माप है।

• सूत्र: \(P(E) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल संभव परिणामों की संख्या}}\) जहाँ \(P(E)\) घटना E की प्रायिकता है।
• प्रायिकता का मान:
• किसी भी घटना की प्रायिकता हमेशा 0 और 1 के बीच होती है, अर्थात \(0 \le P(E) \le 1\).
• असंभव घटना की प्रायिकता = 0 (जैसे सूरज का पश्चिम से निकलना).
• निश्चित घटना की प्रायिकता = 1 (जैसे सूरज का पूरब से निकलना).
• पूरक घटनाएँ:
• घटना E के 'नहीं' होने की प्रायिकता को \(P(\bar{E})\) या \(P(E')\) से दर्शाते हैं।
• \(P(E) + P(\bar{E}) = 1\).
• इसलिए, \(P(\bar{E}) = 1 - P(E)\).
• यादृच्छिक प्रयोग: एक प्रयोग जिसके परिणाम का अनुमान पहले से नहीं लगाया जा सकता है।
• प्रतिदर्श समष्टि (Sample Space): एक यादृच्छिक प्रयोग के सभी संभव परिणामों का समुच्चय।
• उदाहरण: एक सिक्के को उछालने पर प्रतिदर्श समष्टि = {H, T}
• दो सिक्कों को उछालने पर प्रतिदर्श समष्टि = {HH, HT, TH, TT}
• घटना (Event): प्रतिदर्श समष्टि का कोई भी उपसमुच्चय।

प्रायिकता के प्रकार

• अनुभवात्मक प्रायिकता (Empirical Probability): प्रेक्षणों और डेटा पर आधारित।
• \(P(E) = \frac{\text{प्रयोगों की संख्या जिसमें घटना घटित हुई}}{\text{प्रयोगों की कुल संख्या}}\) (कक्षा 9 में पढ़ा गया).
• सैद्धांतिक प्रायिकता (Theoretical Probability): तार्किक तर्क पर आधारित, बिना प्रयोग किए।
• \(P(E) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल संभव परिणामों की संख्या}}\) (कक्षा 10 में मुख्य रूप से यही है).

महत्वपूर्ण शब्दावली

• समान रूप से संभावित परिणाम (Equally Likely Outcomes): जब प्रत्येक परिणाम के घटित होने की संभावना समान हो।
• उदाहरण: एक निष्पक्ष सिक्के को उछालने पर हेड या टेल आने की प्रायिकता समान होती है।
• परस्पर अपवर्जी घटनाएँ (Mutually Exclusive Events): दो घटनाएँ जो एक साथ घटित नहीं हो सकतीं।
• उदाहरण: एक सिक्के को उछालने पर हेड और टेल का एक साथ आना।
• स्वतंत्र घटनाएँ (Independent Events): एक घटना का घटित होना दूसरी घटना के घटित होने की प्रायिकता को प्रभावित नहीं करता।
• उदाहरण: दो सिक्कों को उछालने पर पहले सिक्के पर हेड आना और दूसरे सिक्के पर टेल आना।

एक पासे को फेंकने पर संभव परिणाम: {1, 2, 3, 4, 5, 6}. कुल संभव परिणाम = 6.

दो पासे फेंकने पर

• कुल संभव परिणाम: \(6 \times 6 = 36\).
• प्रतिदर्श समष्टि (Sample Space):

(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6) (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6) (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6) (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6) (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6) (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)

योगफल पर आधारित घटनाएँ

| योगफल | अनुकूल परिणाम | संख्या | |:------|:--------------|:-------| | 2 | (1,1) | 1 | | 3 | (1,2), (2,1) | 2 | | 4 | (1,3), (2,2), (3,1) | 3 | | 5 | (1,4), (2,3), (3,2), (4,1) | 4 | | 6 | (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1) | 5 | | 7 | (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) | 6 |\ | 8 | (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2) | 5 | | 9 | (3,6), (4,5), (5,4), (6,3) | 4 |\ | 10 | (4,6), (5,5), (6,4) | 3 | | 11 | (5,6), (6,5) | 2 | | 12 | (6,6) | 1 |

• सबसे अधिक प्रायिकता: योगफल 7 की (6/36 = 1/6).
• सबसे कम प्रायिकता: योगफल 2 या 12 की (1/36).

एक अच्छी तरह से फेंटे गए ताश के पत्तों के डेक में 52 पत्ते होते हैं।

• रंग: 26 लाल पत्ते (13 ईंट, 13 पान) और 26 काले पत्ते (13 चिड़ी, 13 हुकुम).
• सूट (Suits): प्रत्येक सूट में 13 पत्ते होते हैं:
• ईंट (Diamonds - ♦)
• पान (Hearts - ♥)
• चिड़ी (Clubs - ♣)
• हुकुम (Spades - ♠)
• पत्ते के प्रकार (प्रत्येक सूट में):
• इक्का (Ace - A)
• 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
• गुलाम (Jack - J)
• रानी (Queen - Q)
• बादशाह (King - K)
• फेस कार्ड (Face Cards): गुलाम, रानी, बादशाह को फेस कार्ड कहते हैं।
• प्रत्येक सूट में 3 फेस कार्ड होते हैं।
• कुल फेस कार्ड = \(3 \times 4 = 12\).
• चित्र पत्ते (Picture Cards): फेस कार्ड ही होते हैं।

महत्वपूर्ण बिंदु

• एक डेक से एक पत्ता निकालने पर कुल संभव परिणाम = 52.
• 'या' (OR) वाली घटनाओं में अनुकूल परिणामों को जोड़ा जाता है (यदि वे परस्पर अपवर्जी न हों तो ओवरलैप घटाया जाता है)।
• 'और' (AND) वाली घटनाओं में प्रायिकता को गुणा किया जाता है (यदि वे स्वतंत्र हों)।

इस प्रकार के प्रश्नों में, एक थैले या जार में विभिन्न रंगों की वस्तुएं (गेंदें, मार्बल्स, टॉफियां आदि) होती हैं।

• कुल संभव परिणाम: थैले में सभी वस्तुओं की कुल संख्या।
• अनुकूल परिणाम: मांगी गई विशिष्ट प्रकार की वस्तुओं की संख्या।

हल करने के चरण

1. कुल संख्या ज्ञात करें: थैले में मौजूद सभी वस्तुओं की कुल संख्या।
2. अनुकूल संख्या ज्ञात करें: जिस घटना की प्रायिकता पूछी गई है, उसके अनुकूल वस्तुओं की संख्या।
3. सूत्र लागू करें: \(P(E) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल संभव परिणामों की संख्या}}\) .

'और' / 'या' के संयोजन

• 'या' (OR): यदि आपको 'लाल या नीली गेंद' निकालने की प्रायिकता पूछी जाती है, तो लाल गेंदों की संख्या और नीली गेंदों की संख्या को जोड़ें (यदि वे अलग-अलग प्रकार की गेंदें हैं)।
• 'नहीं' (NOT): यदि आपको 'लाल गेंद नहीं' निकालने की प्रायिकता पूछी जाती है, तो \(1 - P(\text{लाल गेंद})\) का उपयोग करें, या कुल गेंदों में से लाल गेंदों को घटाकर अनुकूल परिणाम निकालें।

उदाहरण: एक थैले में 3 लाल और 5 नीली गेंदें हैं।

• कुल गेंदें = \(3+5=8\).
• लाल गेंद निकालने की प्रायिकता = \(3/8\).
• नीली गेंद निकालने की प्रायिकता = \(5/8\).
• लाल गेंद नहीं निकालने की प्रायिकता = \(1 - 3/8 = 5/8\) (जो कि नीली गेंद निकालने की प्रायिकता के बराबर है).

सामान्य वर्ष (Non-Leap Year)

• दिनों की संख्या = 365 दिन।
• सप्ताहों की संख्या = \(365 \div 7 = 52\) सप्ताह और 1 अतिरिक्त दिन।
• यह अतिरिक्त दिन रविवार, सोमवार, मंगलवार, बुधवार, गुरुवार, शुक्रवार या शनिवार में से कोई भी हो सकता है।
• 53 मंगलवार होने की प्रायिकता: \(1/7\) (क्योंकि 1 अतिरिक्त दिन मंगलवार हो सकता है).

लीप वर्ष (Leap Year)

• दिनों की संख्या = 366 दिन।
• सप्ताहों की संख्या = \(366 \div 7 = 52\) सप्ताह और 2 अतिरिक्त दिन।
• ये 2 अतिरिक्त दिन निम्नलिखित 7 युग्मों में से कोई भी हो सकते हैं:
• (रविवार, सोमवार)
• (सोमवार, मंगलवार)
• (मंगलवार, बुधवार)
• (बुधवार, गुरुवार)
• (गुरुवार, शुक्रवार)
• (शुक्रवार, शनिवार)
• (शनिवार, रविवार)
• 53 मंगलवार होने की प्रायिकता:
• अनुकूल युग्म जिनमें मंगलवार आता है: (सोमवार, मंगलवार), (मंगलवार, बुधवार).
• अनुकूल परिणामों की संख्या = 2.
• कुल संभव परिणामों की संख्या = 7.
• प्रायिकता = \(2/7\).

लीप वर्ष की पहचान

• वह वर्ष जो 4 से पूर्णतः विभाज्य हो, एक लीप वर्ष होता है (जैसे 2004, 2008, 2020).
• शताब्दी वर्ष (जैसे 1900, 2000) के लिए, वह 400 से पूर्णतः विभाज्य होना चाहिए।
• उदाहरण: 2000 एक लीप वर्ष था, लेकिन 1900 एक लीप वर्ष नहीं था।

ज्यामितीय प्रायिकता वह प्रायिकता है जो किसी ज्यामितीय माप (जैसे लंबाई, क्षेत्रफल या आयतन) पर आधारित होती है।

• सूत्र: \(P(E) = \frac{\text{अनुकूल क्षेत्र का माप}}{\text{कुल क्षेत्र का माप}}\) .

हल करने के चरण

1. कुल क्षेत्र ज्ञात करें: वह पूरा क्षेत्र जिसमें बिंदु को यादृच्छिक रूप से चुना जा सकता है।
2. अनुकूल क्षेत्र ज्ञात करें: वह क्षेत्र जिसमें घटना के घटित होने के लिए बिंदु का होना आवश्यक है।
3. प्रायिकता की गणना करें: दोनों क्षेत्रों के अनुपात का उपयोग करके।

उदाहरण: एक वर्ग के अंदर एक वृत्त है। यदि वर्ग के अंदर एक बिंदु यादृच्छिक रूप से चुना जाता है, तो उसके वृत्त के अंदर होने की प्रायिकता क्या है?

• मान लीजिए वर्ग की भुजा 'a' है। तो वर्ग का क्षेत्रफल = \(a^2\).
• यदि वृत्त वर्ग के अंदर पूरी तरह से फिट होता है, तो वृत्त का व्यास 'a' होगा, इसलिए त्रिज्या \(r = a/2\).
• वृत्त का क्षेत्रफल = \(\pi r^2 = \pi (a/2)^2 = \frac{\pi a^2}{4}\).
• प्रायिकता = \(\frac{\text{वृत्त का क्षेत्रफल}}{\text{वर्ग का क्षेत्रफल}} = \frac{\pi a^2 / 4}{a^2} = \frac{\pi}{4}\).

यह अवधारणा अक्सर छायांकित क्षेत्रों से संबंधित प्रश्नों में उपयोग की जाती है।