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AP · Class 10 · 🧮 Maths · Chapter 14

Probability

ప్రయోగాత్మక సంభావ్యతసైద్ధాంతిక సంభావ్యతఈవెంట్‌ల రకాలునాణేల సమస్యలుపాచికల సమస్యలుకార్డుల సమస్యలు

సంభావ్యత అనేది ఒక సంఘటన జరిగే అవకాశం ఎంత ఉందో కొలవడానికి ఉపయోగించే గణిత శాఖ. ఈ అధ్యాయంలో, విద్యార్థులు ప్రయోగాత్మక మరియు సైద్ధాంతిక సంభావ్యత మధ్య వ్యత్యాసాన్ని నేర్చుకుంటారు. వివిధ రకాల సంఘటనలు (ఖచ్చితమైన, అసాధ్యమైన, సమానంగా సంభవించే, పరస్పర విరుద్ధమైన) మరియు వాటి ఉదాహరణలను అర్థం చేసుకుంటారు. నాణేలు, పాచికలు మరియు ప్లేయింగ్ కార్డ్‌లకు సంబంధించిన సంభావ్యత సమస్యలను ఎలా పరిష్కరించాలో నేర్చుకుంటారు. రోజువారీ జీవితంలో సంభావ్యత యొక్క అనువర్తనాలను కూడా ఈ అధ్యాయం వివరిస్తుంది, ఇది గణిత భావనలను నిజ-ప్రపంచ దృశ్యాలకు అనుసంధానించడంలో సహాయపడుతుంది.

प्रायिकता — एक सैद्धांतिक दृष्टिकोण

प्रायिकता किसी घटना के घटित होने की संभावना का संख्यात्मक माप है। यह 0 (असंभव घटना) से 1 (निश्चित घटना) के बीच होती है।

मूलभूत पद

  • परीक्षण (Trial): एक क्रिया जिसके एक या अधिक परिणाम होते हैं।
  • उदाहरण: एक सिक्का उछालना, एक पांसा फेंकना।
  • परिणाम (Outcome): एक परीक्षण का संभावित नतीजा।
  • उदाहरण: सिक्के पर हेड आना, पांसे पर 3 आना।
  • घटना (Event): एक परीक्षण के एक या अधिक परिणामों का संग्रह।
  • उदाहरण: सिक्के पर हेड आना, पांसे पर सम संख्या आना।
  • प्रतिदर्श समष्टि (Sample Space, S): एक परीक्षण के सभी संभावित परिणामों का समुच्चय।
  • उदाहरण: एक सिक्के के लिए S = {H, T}, एक पांसे के लिए S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}।

प्रायिकता के प्रकार

1. सैद्धांतिक प्रायिकता (Theoretical Probability)

  • पूर्व ज्ञान या तर्क पर आधारित प्रायिकता।
  • यह मानती है कि सभी परिणाम समान रूप से संभावित (equally likely) हैं।
  • सूत्र:

$$P(E) = \frac{\text{घटना E के अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल संभावित परिणामों की संख्या}}$$

  • उदाहरण: एक निष्पक्ष सिक्के के लिए, P(हेड) = 1/2।

2. प्रायोगिक प्रायिकता (Experimental Probability)

  • वास्तविक प्रयोगों या प्रेक्षणों के परिणामों पर आधारित प्रायिकता।
  • इसे अनुभवजन्य प्रायिकता (Empirical Probability) भी कहते हैं।
  • सूत्र:

$$P(E) = \frac{\text{जितनी बार घटना घटित हुई}}{\text{परीक्षणों की कुल संख्या}}$$

  • उदाहरण: यदि एक सिक्के को 10 बार उछाला गया और 6 बार हेड आया, तो P(हेड) = 6/10 = 0.6।

महत्वपूर्ण संबंध

  • जैसे-जैसे परीक्षणों की संख्या बढ़ती है, प्रायोगिक प्रायिकता सैद्धांतिक प्रायिकता के करीब आती जाती है। इसे बड़ी संख्याओं का नियम (Law of Large Numbers) कहते हैं।
❗ముఖ్యమైనది

किसी भी घटना E के लिए, 0 \le P(E) \le 1 अर्थात, प्रायिकता का मान 0 और 1 के बीच होता है, जिसमें 0 और 1 भी शामिल हैं।

📖నిర్వచనం

समान रूप से संभावित घटनाएँ (Equally Likely Events): वे घटनाएँ जिनके घटित होने की संभावना समान होती है। उदाहरण: एक निष्पक्ष सिक्के पर हेड या टेल आना।

घटनाओं के प्रकार

प्रायिकता में विभिन्न प्रकार की घटनाएँ होती हैं, जिन्हें समझना समस्याओं को हल करने के लिए महत्वपूर्ण है।

1. निश्चित घटना (Sure/Certain Event)

  • एक घटना जो निश्चित रूप से घटित होगी।
  • इसकी प्रायिकता 1 होती है।
  • उदाहरण: एक पांसा फेंकने पर 7 से कम संख्या प्राप्त करना। P(<7) = 6/6 = 1।

2. असंभव घटना (Impossible Event)

  • एक घटना जो कभी घटित नहीं हो सकती।
  • इसकी प्रायिकता 0 होती है।
  • उदाहरण: एक पांसा फेंकने पर 7 प्राप्त करना। P(7) = 0/6 = 0।

3. प्राथमिक घटना (Elementary Event)

  • एक घटना जिसमें परीक्षण का केवल एक ही परिणाम होता है।
  • उदाहरण: एक पांसा फेंकने पर '3' प्राप्त करना।

4. पूरक घटनाएँ (Complementary Events)

  • एक घटना E और 'E नहीं' (E' या Eᶜ) एक-दूसरे की पूरक घटनाएँ होती हैं।
  • E' का अर्थ है 'घटना E का न घटित होना'।
  • सूत्र: P(E) + P(E') = 1 या P(E') = 1 - P(E)
  • उदाहरण: यदि P(हेड) = 1/2, तो P(हेड नहीं) = P(टेल) = 1 - 1/2 = 1/2।

5. परस्पर अपवर्जी घटनाएँ (Mutually Exclusive Events)

  • दो या दो से अधिक घटनाएँ जो एक ही समय पर घटित नहीं हो सकतीं।
  • अर्थात, उनमें कोई भी उभयनिष्ठ परिणाम नहीं होता।
  • उदाहरण: एक पांसा फेंकने पर 'सम संख्या' ({2, 4, 6}) और 'विषम संख्या' ({1, 3, 5}) प्राप्त करना। ये एक साथ नहीं हो सकतीं।

6. समान रूप से संभावित घटनाएँ (Equally Likely Events)

  • वे घटनाएँ जिनके घटित होने की संभावना समान होती है।
  • उदाहरण: एक निष्पक्ष सिक्के पर हेड या टेल आना। एक निष्पक्ष पांसे पर कोई भी संख्या (1, 2, 3, 4, 5, 6) आना।
💡సూచన

पूरक घटनाओं का सूत्र P(E') = 1 - P(E) अक्सर गणनाओं को सरल बनाने के लिए उपयोग किया जाता है, खासकर जब P(E) की गणना करना मुश्किल हो।

🚧తప్పుడు అభిప్రాయం

छात्र अक्सर 'परस्पर अपवर्जी' और 'स्वतंत्र' घटनाओं के बीच भ्रमित होते हैं। परस्पर अपवर्जी घटनाएँ एक साथ नहीं हो सकतीं, जबकि स्वतंत्र घटनाएँ एक-दूसरे के घटित होने को प्रभावित नहीं करतीं।

सिक्कों पर आधारित समस्याएँ

सिक्के उछालने की समस्याएँ प्रायिकता के मूलभूत सिद्धांतों को समझने के लिए आदर्श हैं। एक निष्पक्ष सिक्के के लिए, हेड (H) और टेल (T) आने की संभावना समान होती है।

1. एक सिक्का उछालना

  • प्रतिदर्श समष्टि (S): {H, T}
  • कुल परिणाम: 2
  • P(H) = 1/2
  • P(T) = 1/2

2. दो सिक्के उछालना

  • प्रतिदर्श समष्टि (S): {HH, HT, TH, TT}
  • कुल परिणाम: 2^2 = 4
  • संभावित घटनाएँ और उनकी प्रायिकताएँ:
  • P(दो हेड) = P(HH) = 1/4
  • P(दो टेल) = P(TT) = 1/4
  • P(एक हेड और एक टेल) = P(HT, TH) = 2/4 = 1/2
  • P(कम से कम एक हेड) = P(HH, HT, TH) = 3/4
  • P(अधिकतम एक हेड) = P(HT, TH, TT) = 3/4

3. तीन सिक्के उछालना

  • प्रतिदर्श समष्टि (S): {HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}
  • कुल परिणाम: 2^3 = 8
  • संभावित घटनाएँ और उनकी प्रायिकताएँ:
  • P(तीन हेड) = P(HHH) = 1/8
  • P(तीन टेल) = P(TTT) = 1/8
  • P(ठीक दो हेड) = P(HHT, HTH, THH) = 3/8
  • P(ठीक एक हेड) = P(HTT, THT, TTH) = 3/8
  • P(कम से कम दो हेड) = P(HHH, HHT, HTH, THH) = 4/8 = 1/2
  • P(अधिकतम दो हेड) = P(HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT) = 7/8

सामान्यीकरण

  • यदि n सिक्के उछाले जाते हैं, तो कुल संभावित परिणामों की संख्या 2^n होती है।
⭐గుర్తుంచుకోండి

'कम से कम' (At least): इसका मतलब है 'उतना या उससे अधिक'। उदाहरण: 'कम से कम एक हेड' का मतलब है 1 हेड या 2 हेड या 3 हेड, आदि।

'अधिकतम' (At most): इसका मतलब है 'उतना या उससे कम'। उदाहरण: 'अधिकतम एक हेड' का मतलब है 0 हेड या 1 हेड।

पांसे पर आधारित समस्याएँ

पांसे फेंकने की समस्याएँ भी प्रायिकता में बहुत आम हैं। एक निष्पक्ष पांसे के लिए, प्रत्येक संख्या (1 से 6) के आने की संभावना समान होती है।

1. एक पांसा फेंकना

  • प्रतिदर्श समष्टि (S): {1, 2, 3, 4, 5, 6}
  • कुल परिणाम: 6
  • संभावित घटनाएँ और उनकी प्रायिकताएँ:
  • P(कोई भी विशिष्ट संख्या) = 1/6
  • P(सम संख्या) = P({2, 4, 6}) = 3/6 = 1/2
  • P(विषम संख्या) = P({1, 3, 5}) = 3/6 = 1/2
  • P(अभाज्य संख्या) = P({2, 3, 5}) = 3/6 = 1/2
  • P(4 से कम संख्या) = P({1, 2, 3}) = 3/6 = 1/2

2. दो पांसे फेंकना

  • प्रतिदर्श समष्टि (S): {(1,1), (1,2), ..., (6,6)}
  • कुल परिणाम: 6^2 = 36
  • परिणामों को व्यवस्थित करने के लिए तालिका:

| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |---|---|---|---|---|---| | (1,1) | (1,2) | (1,3) | (1,4) | (1,5) | (1,6) | | (2,1) | (2,2) | (2,3) | (2,4) | (2,5) | (2,6) | | (3,1) | (3,2) | (3,3) | (3,4) | (3,5) | (3,6) | | (4,1) | (4,2) | (4,3) | (4,4) | (4,5) | (4,6) | | (5,1) | (5,2) | (5,3) | (5,4) | (5,5) | (5,6) | | (6,1) | (6,2) | (6,3) | (6,4) | (6,5) | (6,6) |

  • संभावित घटनाएँ और उनकी प्रायिकताएँ:
  • P(योग 7) = P({(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)}) = 6/36 = 1/6
  • P(योग 2) = P({(1,1)}) = 1/36
  • P(योग 12) = P({(6,6)}) = 1/36
  • P(योग 13) = 0/36 = 0 (असंभव घटना)
  • P(दोनों पर समान संख्या / डबलेट) = P({(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)}) = 6/36 = 1/6
  • P(पहली संख्या दूसरी से बड़ी) = P({(2,1), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2), (4,3), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5)}) = 15/36 = 5/12

सामान्यीकरण

  • यदि n पांसे फेंके जाते हैं, तो कुल संभावित परिणामों की संख्या 6^n होती है।
💡సూచన

दो पांसे फेंकने पर परिणामों की 6x6 तालिका बनाना अनुकूल परिणामों की गणना करने का सबसे आसान तरीका है। इसे अभ्यास करें!

ताश के पत्तों पर आधारित समस्याएँ

ताश के पत्तों पर आधारित समस्याएँ अक्सर छात्रों को भ्रमित करती हैं, लेकिन यदि आप डेक की संरचना को समझते हैं, तो वे सीधी होती हैं।

मानक ताश का डेक (Standard Deck of Cards)

  • कुल पत्ते: 52
  • रंग:
  • 26 लाल पत्ते (लाल पान और ईंट)
  • 26 काले पत्ते (हुकुम और चिड़ी)
  • सूट (Suits): 4 सूट, प्रत्येक में 13 पत्ते।
  • लाल सूट:
  • पान (Hearts, ♥): 13 पत्ते
  • ईंट (Diamonds, ♦): 13 पत्ते
  • काले सूट:
  • हुकुम (Spades, ♠): 13 पत्ते
  • चिड़ी (Clubs, ♣): 13 पत्ते
  • पत्ते के प्रकार (प्रत्येक सूट में):
  • इक्का (Ace, A): 1
  • संख्या पत्ते (Number Cards): 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 (कुल 9 पत्ते)
  • फेस कार्ड (Face Cards): गुलाम (Jack, J), बेगम (Queen, Q), बादशाह (King, K) (कुल 3 पत्ते)

फेस कार्ड (Face Cards)

  • प्रत्येक सूट में 3 फेस कार्ड होते हैं (J, Q, K)।
  • कुल फेस कार्ड: 3 फेस कार्ड/सूट * 4 सूट = 12 फेस कार्ड
  • 6 लाल फेस कार्ड
  • 6 काले फेस कार्ड

महत्वपूर्ण प्रायिकताएँ (उदाहरण)

  • P(लाल पत्ता) = 26/52 = 1/2
  • P(काला पत्ता) = 26/52 = 1/2
  • P(इक्का) = 4/52 = 1/13
  • P(हुकुम का पत्ता) = 13/52 = 1/4
  • P(फेस कार्ड) = 12/52 = 3/13
  • P(लाल फेस कार्ड) = 6/52 = 3/26
  • P(हुकुम की बेगम) = 1/52
  • P(इक्का नहीं) = 1 - P(इक्का) = 1 - 1/13 = 12/13
⭐గుర్తుంచుకోండి

डेक की संरचना को याद रखना महत्वपूर्ण है: 52 कुल पत्ते, 4 सूट, 2 रंग, 12 फेस कार्ड। एक बार जब आप इसे याद कर लेते हैं, तो कार्ड की समस्याएँ आसान हो जाती हैं।

प्रायिकता के कुछ और अनुप्रयोग

प्रायिकता केवल सिक्कों, पांसों और ताश के पत्तों तक ही सीमित नहीं है; इसके दैनिक जीवन में व्यापक अनुप्रयोग हैं।

1. रंगीन वस्तुओं पर आधारित समस्याएँ (जैसे गेंदें, मार्बल्स)

  • एक बैग में विभिन्न रंगों की वस्तुएँ होती हैं। किसी विशेष रंग की वस्तु निकालने की प्रायिकता ज्ञात करनी होती है।
  • विधि:
  1. बैग में कुल वस्तुओं की संख्या ज्ञात करें।
  2. अनुकूल रंग की वस्तुओं की संख्या ज्ञात करें।
  3. सूत्र P(E) = अनुकूल परिणाम / कुल परिणाम का उपयोग करें।
  • उदाहरण: एक बैग में 3 लाल, 5 हरी और 2 नीली गेंदें हैं।
  • कुल गेंदें = 3 + 5 + 2 = 10
  • P(हरी गेंद) = 5/10 = 1/2
  • P(लाल या नीली गेंद) = (3+2)/10 = 5/10 = 1/2

2. स्पिनिंग व्हील (Spinning Wheel)

  • एक पहिया जिसे घुमाया जाता है और वह एक निश्चित सेक्टर पर रुकता है।
  • विधि:
  1. कुल सेक्टरों की संख्या ज्ञात करें।
  2. अनुकूल सेक्टरों की संख्या ज्ञात करें।
  3. सूत्र P(E) = अनुकूल परिणाम / कुल परिणाम का उपयोग करें।
  • उदाहरण: एक पहिए में 8 समान सेक्टर हैं (3 लाल, 2 नीले, 3 पीले)।
  • कुल सेक्टर = 8
  • P(पीले पर रुकना) = 3/8

3. जन्मदिन की समस्याएँ

  • किसी समूह में दो लोगों के एक ही जन्मदिन होने की प्रायिकता।
  • यह अक्सर पूरक प्रायिकता का उपयोग करके हल किया जाता है: P(कम से कम दो का जन्मदिन समान) = 1 - P(सभी का जन्मदिन अलग-अलग)।

4. लॉटरी और खेल

  • लॉटरी जीतने की प्रायिकता, खेल में जीत/हार की संभावना।

5. मौसम का पूर्वानुमान

  • मौसम विज्ञानी प्रायिकता का उपयोग यह अनुमान लगाने के लिए करते हैं कि बारिश होगी या नहीं।

6. चिकित्सा निदान

  • किसी बीमारी के होने की प्रायिकता, परीक्षण के सही होने की प्रायिकता।
❗ముఖ్యమైనది

जब 'या' (OR) शब्द का उपयोग किया जाता है (जैसे 'लाल या नीली गेंद'), तो अनुकूल परिणामों को जोड़ा जाता है। यदि घटनाएँ परस्पर अपवर्जी हैं, तो P(A या B) = P(A) + P(B)।

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